ある二重超幾何級数の和公式について2: 2F1型の和
今回は, 前の記事( ある二重超幾何級数の和公式について )の議論を一般化して, より一般的な公式を与えたいと思う.
導出
次のような和を考える.
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z
\end{align}
まず,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}x^n\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a)_n}{n!}x^n\sum_{0\leq k}\frac{(-n,a_1,\dots,a_r)_k}{k!(b_1,\dots,b_r)_k}z^k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a_1,\dots,a_r)_k}{k!(b_1,\dots,b_r)_k}(-z)^k\sum_{0\leq n}\frac{(a)_{n+k}}{n!}x^{n+k}\qquad n\mapsto n+k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,a_1,\dots,a_r)_k}{k!(b_1,\dots,b_r)_k}(-zx)^k(1-x)^{-k-a}\\
&=(1-x)^{-a}\F{r+1}r{a,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{\frac{zx}{x-1}}
\end{align}
となる. よって, $x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}$を掛けて項別積分することにより,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z\\
&=\int_0^1x^{b-1}(1-x)^{c-a-b-1}\F{r+1}r{a,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{\frac{zx}{x-1}}\,dx
\end{align}
となる. ここで, Mellin-Barnes積分によって
\begin{align}
&\F{r+1}r{a,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}{\frac{zx}{x-1}}\,dx\\
&=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^sx^s(1-x)^{-s}\,ds
\end{align}
と表し, これを代入してFubiniの定理を用いると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z\\
&=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\int_0^1x^{b+s-1}(1-x)^{c-a-b-s-1}\,dx\,ds\\
&=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\frac{\Gamma(b+s)\Gamma(c-a-b-s)}{\Gamma(c-a)}\,ds
\end{align}
つまり以下を得る.
Mellin-Barnes積分表示
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(c)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)\Gamma(b)\Gamma(c-b)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(c-a-b-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\,ds
\end{align}
が成り立つ.
上と全く同様の議論により,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c)}\sum_{0\leq n}\frac{n(a,b)_n}{n!(c)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z\\
&=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\\
&\qquad\cdot\int_0^1x^{b-1}(1-x)^{c-b-1} x\frac{d}{dx}(x^s(1-x)^{-a-s})\,dx\,ds\\
&=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\\
&\qquad\cdot\left(s\frac{\Gamma(b+s)\Gamma(c-a-b-s)}{\Gamma(c-a)}+(a+s)\frac{\Gamma(b+s+1)\Gamma(c-a-b-s-1)}{\Gamma(c-a)}\right)\,ds\\
&=\frac{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{((c-1)s+ab)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(c-a-b-s-1)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\,ds
\end{align}
となることが分かる. つまり以下を得る.
Mellin-Barnes積分表示
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{n(a,b)_n}{n!(c)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}z\\
&=\frac{\Gamma(c)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)\Gamma(b)\Gamma(c-b)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{((c-1)s+ab)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(c-a-b-s-1)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}z^s\,ds
\end{align}
が成り立つ.
これは前の記事(
ある二重超幾何級数の和公式について
)の補題2の証明を一般化している. 定理1, 定理2を用いると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F{r+1}r{-n,a_1,\dots,a_r}{b_1,\dots,b_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\rho+1)\Gamma(d+\rho)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{((2a+\rho)s+a(d+\rho)-\rho(a-d-s))\Gamma(a+s)\Gamma(d+\rho+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}\,ds\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\rho)\Gamma(d+\rho)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+d)\Gamma(a+s)\Gamma(d+\rho+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}\,ds
\end{align}
となる. つまり,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F{r+1}r{-n,d,a_1,\dots,a_r}{d+\rho,b_1,\dots,b_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\rho)\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+d)\Gamma(a+s)\Gamma(d+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)}\,ds
\end{align}
となる. 特に, $b_i=1+d-a_i$とすると, このMellin-Barnes積分は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F{r+2}{r+1}{-n,d,a_1,\dots,a_r}{d+\rho,1+d-a_1,\dots,1+d-a_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(1+d-a_1)\cdots\Gamma(1+d-a_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\rho)\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+d)\Gamma(d+s)\Gamma(a+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(1+d-a_1+s)\cdots\Gamma(1+d-a_r+s)}\,ds
\end{align}
となり, very-well-poisedになる. 通常よく使われる変数に付け替えると, 以下のようになる.
Mellin-Barnes積分表示
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a+\rho,b)_n}{n!(2b+\rho+1)_n}\F{r+2}{r+1}{-n,a,b_1,\dots,b_r}{a+\rho,1+a-b_1,\dots,1+a-b_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho+1)\Gamma(1+a-b_1)\cdots\Gamma(1+a-b_r)}{\Gamma(b)\Gamma(b+\rho)\Gamma(a)\Gamma(1+2b-a)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+a)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(b-a-s)}{\Gamma(1+a-b_1+s)\cdots\Gamma(1+a-b_r+s)}\,ds
\end{align}
が成り立つ.
Non-terminating Dougallの和公式の書き換え
系2において, $b_1,\dots,b_r$を$c,d,e,f$として, $1+2a=b+c+d+e+f$を満たすとすると,
non-terminating Dougallの和公式のMellin-Barnes積分表示
より,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a+\rho,b)_n}{n!(2b+\rho+1)_n}\F65{-n,a,c,d,e,f}{a+\rho,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho+1)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{\Gamma(b)\Gamma(b+\rho)\Gamma(a)\Gamma(1+2b-a)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+a)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)\Gamma(e+s)\Gamma(f+s)\Gamma(-s)\Gamma(b-a-s)}{\Gamma(1+a-c+s)\Gamma(1+a-d+s)\Gamma(1+a-e+s)\Gamma(1+a-f+s)}\,ds\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho+1)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)}{\Gamma(b)\Gamma(b+\rho)\Gamma(a)\Gamma(1+2b-a)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)}\\
&\qquad\cdot\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(e)\Gamma(f)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho+1)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(b+\rho)\Gamma(a)\Gamma(1+2b-a)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}
\end{align}
となる. つまり, 以下が得られる.
$1+2a=b+c+d+e+f$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a+\rho,b)_n}{n!(2b+\rho+1)_n}\F65{-n,a,c,d,e,f}{a+\rho,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho+1)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(a)\Gamma(b+\rho)\Gamma(1+2b-a)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}
\end{align}
が成り立つ.
前の記事( ある二重超幾何級数の和公式について )の定理1はこの定理3において, $e,f$以外を固定して$f\to i\infty$とした場合になっている. $\rho=0$とすると以下の系を得る.
$1+2a=b+c+d+e+f$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{n(a,b)_n}{n!(2b+1)_n}\F54{-n,c,d,e,f}{1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(2b+1)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(a)\Gamma(b)\Gamma(1+2b-a)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}
\end{align}
が成り立つ.
Non-terminating Dougallの和公式の書き換え2
定理1において, $z=1, r\mapsto r+1, c=2a+\rho, b=d+\rho, a_{r+1}=d$として, $b_1,\dots,b_{r+1}$を$1+d-a_1,\dots,1+d-a_r,d+\rho$とすると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho)_n}\F{r+2}{r+1}{-n,d,a_1,\dots,a_r}{d+\rho,1+d-a_1,\dots,1+d-a_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho)\Gamma(1+d-a_1)\cdots\Gamma(1+d-a_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\rho)\Gamma(d)\Gamma(2a-d)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(d+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(1+d-a_1+s)\cdots\Gamma(1+d-a_r+s)}\,ds
\end{align}
が成り立つ. さらに$r\mapsto r+1$として, $a_{r+1}=1+\frac d2$とすると
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho)_n}\F{r+3}{r+2}{-n,d,1+\frac d2,a_1,\dots,a_r}{d+\rho,\frac d2,1+d-a_1,\dots,1+d-a_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho)\Gamma(1+d-a_1)\cdots\Gamma(1+d-a_r)}{\Gamma(a)\Gamma(a+\rho)\Gamma(d+1)\Gamma(2a-d)\Gamma(a_1)\cdots\Gamma(a_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+d)\Gamma(a+s)\Gamma(d+s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(1+d-a_1+s)\cdots\Gamma(1+d-a_r+s)}\,ds
\end{align}
となる. 記号を付け替えると以下のようになる.
Mellin-Barnes積分表示
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a+\rho,b)_n}{n!(2a+\rho)_n}\F{r+3}{r+2}{-n,a,1+\frac a2,b_1,\dots,b_r}{a+\rho,\frac a2,1+a-b_1,\dots,1+a-b_r}1\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho)\Gamma(1+a-b_1)\cdots\Gamma(1+a-b_r)}{\Gamma(b)\Gamma(b+\rho)\Gamma(a+1)\Gamma(2b-a)\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_r)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+a)\Gamma(a+s)\Gamma(b+s)\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_r+s)\Gamma(-s)\Gamma(b-a-s)}{\Gamma(1+a-b_1+s)\cdots\Gamma(1+a-b_r+s)}\,ds
\end{align}
が成り立つ.
これを用いると, 定理3と全く同様に以下が得られる.
$1+2a=b+c+d+e+f$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a+\rho,b)_n}{n!(2b+\rho)_n}\F76{-n,a,1+\frac a2,c,d,e,f}{a+\rho,\frac a2,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(2b+\rho)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b+\rho)\Gamma(2b-a)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}
\end{align}
が成り立つ.
$\rho=0$とすると以下の系を得る.
$1+2a=b+c+d+e+f$のとき,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(a,b)_n}{n!(2b)_n}\F65{-n,1+\frac a2,c,d,e,f}{\frac a2,1+a-c,1+a-d,1+a-e,1+a-f}1\\
&=\frac{\Gamma(2b)\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a-e)\Gamma(1+a-f)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)\Gamma(b+e-a)\Gamma(b+f-a)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b)\Gamma(2b-a)\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(1+a-c-e)\Gamma(1+a-c-f)\Gamma(1+a-d-e)\Gamma(1+a-d-f)\Gamma(1+a-e-f)}
\end{align}
が成り立つ.
