ある二重超幾何級数の和公式について
今回は以下を示す.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a+\rho)\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}
\end{align}
が成り立つ.
これは元々$\rho=0$の場合が示せていたもので, それをChatGPTに送ったところ見つかったものである.
まず, $\rho=0$の場合を示す.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{n(a,d)_n}{n!(2a+1)_n}\F32{-n,1+d-b,1+d-c}{b,c}{1}\\
&=\frac{\Gamma(2a+1)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}
\end{align}
が成り立つ.
以下の証明はChatGPTによって新たに得られたものである.
まず,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(d)_n}{n!}x^n\F32{-n,1+d-b,1+d-c}{b,c}1\\
&=\sum_{0\leq n}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(1+d-b,1+d-c)_k}{k!(b,c)_k}\frac{(d)_n}{(n-k)!}x^n\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(1+d-b,1+d-c)_k}{k!(b,c)_k}\sum_{0\leq n}\frac{(d)_{n+k}}{n!}x^{n+k}\qquad n\mapsto n+k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(d,1+d-b,1+d-c)_k}{k!(b,c)_k}x^k(1-x)^{-d-k}\\
&=(1-x)^{-d}\F32{d,1+d-b,1+d-c}{b,c}{\frac{x}{x-1}}
\end{align}
となる. よって, 両辺を$a$に関して微分して$x^a(1-x)^a$を掛けて区間$(0,1)$で項別積分すると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a)\Gamma(a+1)}{\Gamma(2a+1)}\sum_{0\leq n}\frac{n(a,d)_n}{n!(2a+1)_n}\F32{-n,1+d-b,1+d-c}{b,c}{1}\\
&=\int_0^1x^a(1-x)^a\frac{d}{dx}\left((1-x)^{-d}\F32{d,1+d-b,1+d-c}{b,c}{\frac{x}{x-1}}\right)\,dx\\
\end{align}
となる. ここで, Mellin-Barnes積分によって,
\begin{align}
&\F32{d,1+d-b,1+d-c}{b,c}{\frac{x}{x-1}}\\
&=\frac 1{2\pi i}\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(1+d-b+s)\Gamma(1+d-c+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}x^s(1-x)^{-s}\,ds
\end{align}
と表し, これを代入してFubiniの定理を用いると,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a)\Gamma(a+1)}{\Gamma(2a+1)}\sum_{0\leq n}\frac{n(a,d)_n}{n!(2a+1)_n}\F32{-n,1+d-b,1+d-c}{b,c}{1}\\
&=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)}\int_0^1x^a(1-x)^a\frac{d}{dx}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(1+d-b+s)\Gamma(1+d-c+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}x^s(1-x)^{-d-s}\,ds\,dx\\
&=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(1+d-b+s)\Gamma(1+d-c+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}\\
&\qquad\cdot\int_0^1(sx^{a+s-1}(1-x)^{a-d-s}+(d+s)x^{a+s}(1-x)^{a-d-s-1})\,dx\,ds\\
&=\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)}\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(d+s)\Gamma(1+d-b+s)\Gamma(1+d-c+s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}\\
&\qquad\cdot \left(s\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(1+a-d-s)}{\Gamma(1+2a-d)}+(d+s)\frac{\Gamma(a+s+1)\Gamma(a-d-s)}{\Gamma(1+2a-d)}\right)\,ds\\
&=\frac{a\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)\Gamma(1+2a-d)}\\
&\qquad\cdot\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+d)\Gamma(d+s)\Gamma(1+d-b+s)\Gamma(1+d-c+s)\Gamma(a+s)\Gamma(a-d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}\,ds\\
\end{align}
ここで,
Dougallの${}_5F_4$和公式のMellin-Barnes積分類似
より,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{(2s+d)\Gamma(d+s)\Gamma(1+d-b+s)\Gamma(1+d-c+s)\Gamma(a+s)\Gamma(a-d-s)\Gamma(-s)}{\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)}\,ds\\
&=\frac{\Gamma(a)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}
\end{align}
となるから, これを代入して
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a)\Gamma(a+1)}{\Gamma(2a+1)}\sum_{0\leq n}\frac{n(a,d)_n}{n!(2a+1)_n}\F32{-n,1+d-b,1+d-c}{b,c}{1}\\
&=\frac{a\Gamma(b)\Gamma(c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)\Gamma(1+2a-d)}\frac{\Gamma(a)\Gamma(1+d-b)\Gamma(1+d-c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}\\
&=\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}
\end{align}
よって, 両辺を$\displaystyle\frac{\Gamma(a)\Gamma(a+1)}{\Gamma(2a+1)}$で割って示すべき等式を得る.
$\rho$が一般の場合は, $\rho=0$の場合を用いると簡潔に示すことができる.
補題1の最初の議論と全く同様に,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(d+\rho)_n}{n!}x^n\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}&=(1-x)^{-d-\rho}\F32{d,1+d-b,1+d-c}{b,c}{\frac{x}{x-1}}
\end{align}
である. $(1-x)^{-d-\rho}=(1-x)^{-\rho}(1-x)^{-d}$と分けて係数比較すると,
\begin{align}
\frac{(d+\rho)_n}{n!}\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}=\sum_{k=0}^n\frac{(\rho)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(d)_k}{k!}\F32{-k,1+d-b,1+d-c}{b,c}1
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a)_n}{(2a+\rho+1)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(\rho)_{n-k}}{(n-k)!}\frac{(d)_k}{k!}\F32{-k,1+d-b,1+d-c}{b,c}1\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(d)_k}{k!}\F32{-k,1+d-b,1+d-c}{b,c}1\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a)_n}{(2a+\rho+1)_n}\frac{(\rho)_{n-k}}{(n-k)!}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,d)_k}{k!(2a+\rho+1)_k}\F32{-k,1+d-b,1+d-c}{b,c}1\sum_{0\leq n}\frac{(n+k-\rho)(a+k,\rho)_n}{n!(2a+\rho+1+k)_n}\qquad n\mapsto n+k
\end{align}
となる. ここで, Gaussの超幾何定理より
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n+k-\rho)(a+k,\rho)_n}{n!(2a+\rho+1+k)_n}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(a+k,\rho)_n}{(n-1)!(2a+\rho+1+k)_n}+(k-\rho)\sum_{0\leq n}\frac{(a+k,\rho)_n}{n!(2a+\rho+1+k)_n}\\
&=\frac{(a+k)\rho}{(2a+\rho+1+k)}\frac{\Gamma(2a+\rho+2+k)\Gamma(a)}{\Gamma(a+\rho+1)\Gamma(2a+1+k)}+(k-\rho)\frac{\Gamma(2a+\rho+1+k)\Gamma(a+1)}{\Gamma(a+\rho+1)\Gamma(2a+1+k)}\\
&=k\frac{\Gamma(2a+\rho+1+k)\Gamma(a)}{\Gamma(a+\rho)\Gamma(2a+1+k)}\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(a)}{\Gamma(a+\rho)\Gamma(2a+1)}\frac{k(2a+\rho+1)_k}{(2a+1)_k}
\end{align}
となる. これを代入すると,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}\\
&=\frac{\Gamma(2a+\rho+1)\Gamma(a)}{\Gamma(a+\rho)\Gamma(2a+1)}\sum_{0\leq k}\frac{k(a,d)_k}{k!(2a+1)_k}\F32{-k,1+d-b,1+d-c}{b,c}1
\end{align}
となるので, この右辺に補題2を用いると定理を得る.
補題2の別の形
補題2の${}_3F_2$に
Whippleの変換公式
の系
\begin{align}
\F32{a,b,-n}{d,e}1=\frac{(e-a)_n}{(e)_n}\F32{a,d-b,-n}{d,1-n+a-e}1
\end{align}
を適用すると,
\begin{align}
\F32{-n,1+d-b,1+d-c}{b,c}{1}&=\frac{(2c-d-1)_n}{(c)_n}\F32{1+d-c,2b-d-1,-n}{b,2+d-2c-n}1\\
&=\frac{n!}{(c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1+d-c,2b-d-1)_k}{k!(b)_k}\frac{(2c-d-1)_{n-k}}{(n-k)!}
\end{align}
と書き換えられる. よって補題2は以下のように書き換えられる.
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{n(a,d)_n}{(2a+1,c)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1+d-c,2b-d-1)_k}{k!(b)_k}\frac{(2c-d-1)_{n-k}}{(n-k)!}\\
&=\frac{\Gamma(2a+1)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a)\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}
\end{align}
が成り立つ.
ここで, $c=\frac{d+1}2$とすると左辺は
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{n(a,d)_n}{\left(2a+1,\frac{d+1}2\right)_n}\frac{\left(\frac{d+1}2,2b-d-1\right)_n}{n!(b)_n}\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{n\left(a,d,2b-d-1\right)_n}{n!(2a+1,b)_n}\\
&=\frac{ad(2b-d-1)}{(2a+1)b}\F32{a+1,d+1,2b-d}{2a+2,b+1}1
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
\F32{a+1,d+1,2b-d}{2a+2,b+1}1&=\frac{\Gamma(2a+2)\Gamma(b+1)\Gamma\left(\frac{d+1}2\right)\Gamma(1+a-b)\Gamma\left(\frac 12+a-\frac d2\right)}{2\Gamma(a+1)\Gamma(d+1)\Gamma(1+2a-d)\Gamma\left(\frac 12+b-\frac{d}2\right)\Gamma\left(\frac 32+a+\frac d2-b\right)}
\end{align}
これは
Watsonの${}_3F_2$和公式
と同値である. つまり, 定理1はWatsonの${}_3F_2$和公式を一般化していると言える.
漸近公式への変形
定理1の${}_4F_3$に
Whippleのnearly-poised変換公式
を適用すると,
\begin{align}
&\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}\\
&=\frac{(\rho)_n}{(d+\rho)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(b+c-d-1,1-\rho,-n)_k(d)_{2k}}{k!(b,c)_k(1-n-\rho)_{2k}}\\
&=\frac{n!}{(d+\rho)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(b+c-d-1,1-\rho)_k(d)_{2k}(\rho)_{n-2k}}{k!(b,c)_k(n-k)!}\\
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}\\
&=\sum_{n=0}^N\frac{(n-\rho)(a)_n}{(2a+\rho+1)_n}\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(b+c-d-1,1-\rho)_k(d)_{2k}(\rho)_{n-2k}}{k!(b,c)_k(n-k)!}\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(-1)^k(b+c-d-1,1-\rho)_k(d)_{2k}}{k!(b,c)_k}\sum_{n=0}^{N-k}\frac{(n+k-\rho)(a)_{n+k}(\rho)_{n-k}}{(2a+\rho+1)_{n+k}n!}\qquad n\mapsto n+k\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b+c-d-1)_k(d)_{2k}}{k!(b,c,2a+\rho+1)_k}\sum_{n=0}^{N-k}\frac{(n+k-\rho)(a+k,\rho-k)_{n}}{(2a+\rho+1+k)_{n}n!}\\
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
&\frac{(n+k-\rho)(a+k,\rho-k)_{n}}{(2a+\rho+1+k)_{n}n!}\\
&=-\frac 1{a+k}\frac{((n+a+k)(n+\rho-k)-n(n+2a+\rho+k))(a+k,\rho-k)_{n}}{(2a+\rho+1+k)_{n}n!}\\
&=-\frac 1{a+k}\left(\frac{(a+k,\rho-k)_{n+1}}{(2a+\rho+1+k)_{n}n!}-\frac{(a+k,\rho-k)_{n}}{(2a+\rho+1+k)_{n-1}(n-1)!}\right)
\end{align}
であるから, 望遠鏡和により,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-k}\frac{(n+k-\rho)(a+k,\rho-k)_{n}}{(2a+\rho+1+k)_{n}n!}\\
&=-\frac 1{a+k}\frac{(a+k,\rho-k)_{N-k+1}}{(2a+\rho+1+k)_{N-k}(N-k)!}\\
&=-\frac{(a+1)_N(\rho)_{N+1}}{N!(2a+\rho+1)_N}\frac{(2a+\rho+1,1-\rho,-N)_k}{(a+1)_k(-N-\rho)_{2k}}\\
\end{align}
となる. よって,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{(n-\rho)(a,d+\rho)_n}{n!(2a+\rho+1)_n}\F43{-n,d,1+d-b,1+d-c}{d+\rho,b,c}{1}\\
&=-\frac{(a+1)_N(\rho)_{N+1}}{N!(2a+\rho+1)_N}\sum_{0\leq k}\frac{(a,b+c-d-1)_k(d)_{2k}}{k!(b,c,2a+\rho+1)_k}\frac{(2a+\rho+1,1-\rho,-N)_k}{(a+1)_k(-N-\rho)_{2k}}\\
&=-\frac{(a+1)_N(\rho)_{N+1}}{N!(2a+\rho+1)_N}\F65{a,b+c-d-1,1-\rho,\frac d2,\frac{d+1}2,-N}{a+1,b,c,-\frac{N+\rho}2,\frac{1-N-\rho}2}{1}
\end{align}
となる. $N\to\infty$において
\begin{align}
\frac{(a+1)_N(\rho)_{N+1}}{N!(2a+\rho+1)_N}\sim\frac{\Gamma(2a+\rho+1)}{\Gamma(a+1)\Gamma(\rho)}N^{-a}
\end{align}
であるから, 定理1は以下のように書き換えられる.
\begin{align}
&\lim_{N\to\infty}N^{-a}\F65{a,b+c-d-1,1-\rho,\frac d2,\frac{d+1}2,-N}{a+1,b,c,-\frac{N+\rho}2,\frac{1-N-\rho}2}{1}\\
&=-\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(\rho)\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(1+a-b)\Gamma(1+a-c)}{\Gamma(a+\rho)\Gamma(d)\Gamma(1+2a-d)\Gamma(b+c-d-1)\Gamma(2+a+d-b-c)}
\end{align}
が成り立つ.
このような漸近公式を一般化していくことは興味深い課題と言えるかもしれない.
