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五角数定理に関するRamanujanの恒等式

Eulerの五角数定理は
$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{n (3 n - 1)}{2}} \end{aligned}$
によって与えられる恒等式である. 五角数は, 整数 $n$ を用いて $\frac{n (3 n - 1)}{2}$ で表される数のことであり, それはmod 5で0,1,2のいずれかと合同であるという性質を持つ. よって,

$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} & = a (q^{5}) + b (q^{5}) q + c (q^{5}) q^{2} \end{aligned}$
のように, べき級数 $a, b, c$ を用いて表されるので, このそれぞれに積表示があるかという問題が考えられる. それを与えるのが次の公式である.

Ramanujanの恒等式

$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} & = \frac{(q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty}}{(q^{5}, q^{20}; q^{25})_{\infty}} - q (q^{25}; q^{25})_{\infty} - q^{2} \frac{(q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty}}{(q^{10}, q^{15}; q^{25})_{\infty}} \end{aligned}$

Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} \prod_{0 < n} (1 - 2 q^{n} \cos 2 θ + q^{2 n}) (1 - q^{n}) & = \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} \frac{\sin (2 n + 1) θ}{\sin θ} q^{\frac{n (n + 1)}{2}} \end{aligned}$
であるから, これに $θ = \frac{2 π}{5}$ を代入すると, $α = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, β = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ として,
$\begin{aligned} \prod_{0 < n} (1 + α q^{n} + q^{2 n}) (1 - q^{n}) \\ = \sum_{0 \leq m} \frac{(- 1)^{5 m} \sin \frac{2 π (10 m + 1)}{5}}{\sin \frac{2 π}{5}} q^{(25 m^{2} + 5 m) / 2} \\ + \sum_{0 < m} (- 1)^{5 m - 1} \frac{\sin \frac{2 π (10 m - 1)}{5}}{\sin \frac{2 π}{5}} q^{((5 m - 1)^{2} + (5 m - 1)) / 2} \\ + \sum_{0 \leq m} \frac{(- 1)^{5 m + 1} \sin \frac{2 π (10 m + 3)}{5}}{\sin \frac{2 π}{5}} q^{((5 m + 1)^{2} + (5 m + 1)) / 2} \\ + \sum_{0 < m} (- 1)^{5 m - 2} \frac{\sin \frac{2 π (10 m - 3)}{5}}{\sin \frac{2 π}{5}} q^{((5 m - 2)^{2} + (5 m - 2)) / 2} \\ = \sum_{0 \leq m} (- 1)^{m} q^{(25 m^{2} + 5 m) / 2} + \sum_{0 < m} (- 1)^{m} q^{(25 m^{2} - 5 m) / 2} \\ - β (\sum_{0 \leq m} (- 1)^{m} q^{((5 m + 1)^{2} + (5 m + 1)) / 2} + \sum_{0 \leq m} (- 1)^{m} q^{((5 m - 1)^{2} - (5 m - 1)) / 2}) \\ = \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} q^{(25 m^{2} + 5 m) / 2} - β \sum_{m \in Z} (- 1)^{m} q^{((5 m + 1)^{2} + (5 m + 1)) / 2} \\ = (q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty} - β q (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty} \end{aligned}$
ここで, 最後の等号はJacobiの三重積による. 係数の $\sqrt{5}$ を $- \sqrt{5}$ に置き換えたものと合わせて,
$\begin{aligned} \prod_{0 < n} (1 + α q^{n} + q^{2 n}) (1 - q^{n}) & = (q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty} - β q (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty} \\ \prod_{0 < n} (1 + β q^{n} + q^{2 n}) (1 - q^{n}) & = (q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty} - α q (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty} \end{aligned}$
が成り立つ. この2つを掛け合わせると, $(1 + α q^{n} + q^{2 n}) (1 + β q^{n} + q^{2 n}) = \frac{1 - q^{5 n}}{1 - q^{n}}$ より,
$\begin{aligned} (q; q)_{\infty} (q^{5}; q^{5})_{\infty} \\ = ((q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty} - β q (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty}) ((q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty} - α q (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty}) \\ = (q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty}^{2} - q (q^{5}, q^{10}, q^{15}, q^{20}, q^{25}, q^{25}; q^{25})_{\infty} - q^{2} (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty}^{2} \\ = (q^{10}, q^{15}, q^{25}; q^{25})_{\infty}^{2} - q (q^{5}; q^{5})_{\infty} (q^{25}; q^{25})_{\infty} - q^{2} (q^{5}, q^{20}, q^{25}; q^{25})_{\infty}^{2} \end{aligned}$
両辺を $(q^{5}; q^{5})_{\infty}$ で割って, 定理を得る.

Hirschhornの論文においては, 定理1の応用として, Ramanujanによる恒等式
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} p (5 n + 4) q^{n} & = 5 \frac{(q^{5}; q^{5})_{\infty}^{5}}{(q; q)_{\infty}^{6}} \end{aligned}$
が導かれている.