Chu-Zhangの隣接関係式5: 2ψ2の部分和

前の記事 で, Chu-Zhangの隣接関係式から
\begin{align} \Xi(b,c|d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}\left(\frac{de}{bcq}\right)^n \end{align}
の隣接関係式を導いた. また, その 次の記事 で, それを特殊化することによって,
\begin{align} \omega(a,b|x):=\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}x^n \end{align}
の隣接関係式を導いた.
\begin{align} \Lambda(b,c|d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}q^n \end{align}
とすると, 前の記事 で示した定理4は以下のように表される.

定理1において$c\mapsto d/c, e\mapsto bq^2/e$として$\Lambda$に関して整理すると,
\begin{align} \Lambda(b,c|d,e)=\frac{1-q/e}{1-bq/e}\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)+\frac{q}{e(1-bq/e)}\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\omega(d/c,bq^2/e|cq/e) \end{align}
となる. 今回はこの関係式を用いることによって, $\Lambda$の隣接関係式を得ようと思う. 用いるのは前2つの記事( Chu-Zhangの隣接関係式3 , Chu-Zhangの隣接関係式4 )で示した以下の3つの隣接関係式である.

これらと定理1を用いることによって,
\begin{align} &\Lambda(bq,c|d,e)\\ &=\frac{1-q/e}{1-bq^2/e}\Xi(bq,d/c|d,bq^3/e)+\frac{q}{e(1-bq^2/e)}\frac{(bq,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\omega(d/c,bq^3/e|cq/e)\\ &=\frac{1-q/e}{1-bq^2/e}\frac{(1-bq^2/e)(1-bq/d)}{(1-b)(1-bcq^2/de)}\left(\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)-\frac{1-d/q}{1-d/bq}\right)\\ &\qquad+\frac{q}{e(1-bq^2/e)}\frac{(bq,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{bq(1-bq^2/e)(1-d/bq)}{d(1-bcq^2/de)}\left(\frac 1{1-d/bq}-\omega(d/c,bq^2/e|cq/e)\right)\\ &=\frac{(1-q/e)(1-bq/d)}{(1-b)(1-bcq^2/de)}\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)+\frac{bq(1-q/e)(1-d/q)}{d(1-b)(1-bcq^2/de)}\\ &\qquad+\frac{bq^2}{de}\frac{(bq,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{1}{1-bcq^2/de}+\frac{q}{e}\frac{(bq,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{1-bq/d}{1-bcq^2/de}\omega(d/c,bq^2/e|cq/e)\\ &=\frac{(1-bq/d)(1-bq/e)}{(1-b)(1-bcq^2/de)}\left(\frac{1-q/e}{1-bq/e}\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)+\frac{q}{e(1-bq/e)}\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\omega(d/c,bq^2/e|cq/e)\right)\\ &\qquad-\frac{b(1-q/d)(1-q/e)}{(1-b)(1-bcq^2/de)}+\frac{bq^2}{de}\frac{(bq,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{1}{1-bcq^2/de}\\ &=\frac{(1-bq/d)(1-bq/e)}{(1-b)(1-bcq^2/de)}\Lambda(b,c|d,e)\\ &\qquad-\frac{b(1-q/d)(1-q/e)}{(1-b)(1-bcq^2/de)}+\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{bq^2}{de(1-b)(1-bcq^2/de)} \end{align}
と,
\begin{align} &\Lambda(b,c|dq,e)\\ &=\frac{1-q/e}{1-bq/e}\Xi(b,dq/c|dq,bq^2/e)+\frac{q}{e(1-bq/e)}\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(dq,e;q)_{\infty}}\omega(dq/c,bq^2/e|cq/e)\\ &=\frac{1-q/e}{1-bq/e}\frac{(1-de/bcq)(1-d)}{(1-d/c)(1-d/b)}\left(\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)-\frac{1-bq/e}{1-bcq/de}\right)\\ &\qquad+\frac{q}{e(1-bq/e)}\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(dq,e;q)_{\infty}}\frac{de(1-bcq/de)}{bcq(1-d/c)(1-d/b)}\left(\frac{1-bq/e}{1-bcq/de}-\omega(d/c,bq^2/e|cq/e)\right)\\ &=\frac{1-q/e}{1-bq/e}\frac{(1-de/bcq)(1-d)}{(1-d/b)(1-d/c)}\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)+\frac{de(1-q/e)(1-d)}{bcq(1-d/b)(1-d/c)}\\ &\qquad+\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{d(1-d)}{bc(1-d/b)(1-d/c)}\\ &\qquad+\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{q(1-de/bcq)(1-d)}{e(1-bq/e)(1-d/b)(1-d/c)}\omega(d/c,bq^2/e|cq/e)\\ &=\frac{(1-de/bcq)(1-d)}{(1-d/b)(1-d/c)}\left(\frac{1-q/e}{1-bq/e}\Xi(b,d/c|d,bq^2/e)+\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{q}{e(1-bq/e)}\omega(d/c,bq^2/e|cq/e)\right)\\ &\qquad+\frac{de(1-q/e)(1-d)}{bcq(1-d/b)(1-d/c)}+\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{d(1-d)}{bc(1-d/b)(1-d/c)}\\ &=\frac{(1-de/bcq)(1-d)}{(1-d/b)(1-d/c)}\Lambda(b,c|d,e)\\ &\qquad+\frac{de(1-q/e)(1-d)}{bcq(1-d/b)(1-d/c)}+\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{d(1-d)}{bc(1-d/b)(1-d/c)} \end{align}
を得る. まとめると以下のようになる.

このように隣接関係式に$b,c,d,e$の有理関数だけでなく,
\begin{align} \frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}} \end{align}
が現れてくるのは面白いと思う.

${}_2\psi_2$の隣接関係式

\begin{align} \widehat{\Xi}(b,c|d,e)&=\BQ22{b,c}{d,e}{\frac{de}{bcq}}\\ &=\Xi(b,c|d,e)+\Lambda(q/d,q/e|q/b,q/c)-1 \end{align}
とすると, 前の記事 で示した隣接関係式
\begin{align} \Xi(b,c|d,e)&=\frac{(1-d/q)(1-e/q)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}-\frac{(1-b)(1-de/bcq^2)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}\Xi(bq,c|d,e)\\ &=\frac{1-e/q}{1-de/bcq}+\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}\Xi(b,c|dq,e) \end{align}
と定理3から得られる隣接関係式
\begin{align} \Lambda(1/d,q/e|q/b,q/c)&=\frac{(1-1/d)(1-bcq/de)}{(1-b/d)(1-c/d)}\Lambda(q/d,q/e|q/b,q/c)\\ &\qquad+\frac{(1-b)(1-c)}{d(1-b/d)(1-c/d)}-\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{bc(1-1/d)}{d(1-b/d)(1-c/d)}\\ \Lambda(q/d,q/e|1/b,q/c)&=\frac{(1-d/bq)(1-e/bq)}{(1-de/bcq^2)(1-1/b)}\Lambda(q/d,q/e|q/b,q/c)\\ &\qquad+\frac{1-c}{1-bcq^2/de}-\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{de}{bq^2(1-1/b)(1-de/bcq^2)} \end{align}
を
\begin{align} &\Lambda(q/d,q/e|q/b,q/c)\\ &=-\frac{(1-de/bcq^2)(1-b)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}\Lambda(q/d,q/e|1/b,q/c)\\ &\qquad-\frac{(1-b)(1-c)}{c(1-bq/d)(1-bq/e)}+\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{b}{(1-bq/d)(1-bq/e)}\\ &=\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}\Lambda(1/d,q/e|q/b,q/c)\\ &\qquad+\frac{(1-b)(1-c)}{(1-d)(1-bcq/de)}+\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{bc}{d(1-bcq/de)} \end{align}
と書き換えたものと足し合わせると,
\begin{align} \widehat{\Xi}(b,c|d,e)&=-\frac{(1-b)(1-de/bcq^2)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}\widehat{\Xi}(bq,c|d,e)-\frac{(1-b)(1-de/bcq^2)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}-1\\ &\qquad+\frac{(1-d/q)(1-e/q)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}-\frac{(1-b)(1-c)}{c(1-bq/d)(1-bq/e)}+\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{b}{(1-bq/d)(1-bq/e)}\\ &=\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{b}{(1-bq/d)(1-bq/e)}-\frac{(1-b)(1-de/bcq^2)}{b(1-d/bq)(1-e/bq)}\widehat{\Xi}(bq,c|d,e) \end{align}
と
\begin{align} \widehat{\Xi}(b,c|d,e)&=\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}\widehat{\Xi}(b,c|dq,e)+\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}-1\\ &\qquad+\frac{1-e/q}{1-de/bcq}+\frac{(1-b)(1-c)}{(1-d)(1-bcq/de)}+\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{bc}{d(1-bcq/de)}\\ &=\frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}\frac{bc}{d(1-bcq/de)}+\frac{e(1-d/b)(1-d/c)}{q(1-d)(1-de/bcq)}\widehat{\Xi}(b,c|dq,e) \end{align}
を得る. つまり以下が得られる.

このように$\widehat{\Xi}$の隣接関係式においては$\Xi,\Lambda$の隣接関係式に現れていた有理関数の部分は打ち消し合って消えて,
\begin{align} \frac{(q/d,q/e;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}} \end{align}
に有理関数が掛かった部分が残るというのは興味深い. これらの関係式は本質的にChuの2011年の論文においても示されているものである.