2F1のx=0,1における接続公式のq類似2

前の記事 で${}_2F_1$の接続公式の$q$類似であるJacksonによる変換公式
\begin{align} \Q21{a,b}{c}{x}&=\frac{(c/a,c/b;q)_{\infty}}{(c,c/ab;q)_{\infty}}\Q32{a,b,abx/c}{abq/c,0}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,b,abx/c;q)_{\infty}}{(c,ab/c,x;q)_{\infty}}\Q32{c/a,c/b,x}{cq/ab,0}{q} \end{align}
を示した. 今回は逆にこの右辺の${}_3\phi_2$のMaclaurin展開を求めたいと思う.

導出

$q$二項定理より,
\begin{align} \Q32{a,b,x}{c,0}q&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}q^n(x;q)_n\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(q^{-n};q)_k}{(q;q)_k}(xq^n)^k\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{1}{(q;q)_k(q;q)_{n-k}}(-x)^kq^{\binom k2}\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{1}{(q;q)_k}(-x)^kq^{\binom k2}\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_{n+k}}{(c;q)_{n+k}(q;q)_n}q^{n+k}\qquad n\mapsto n+k\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b;q)_k}{(c,q;q)_k}(-x)^kq^{\binom {k+1}2}\sum_{0\leq n}\frac{(aq^k,bq^k;q)_{n}}{(cq^k,q;q)_n}q^{n} \end{align}
となる. ここで,
\begin{align} \Lambda(b,c|d,e):=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c;q)_n}{(d,e;q)_n}q^n \end{align}
とすると, 定義から
\begin{align} \Lambda(b,c|d,e)=1+\frac{(1-b)(1-c)}{(1-d)(1-e)}q\Lambda(bq,cq|dq,eq) \end{align}
である. ここに 前の記事 の定理3の2つ目の式を代入すると
\begin{align} &\frac{(1-d/b)(1-d/c)}{(1-de/bcq)(1-d)}\Lambda(b,c|dq,e)\\ &+\frac{1-q/e}{1-bcq/de}-\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(d,e;q)_{\infty}}\frac{d}{bc(1-de/bcq)}\\ &=1+\frac{(1-b)(1-c)}{(1-d)(1-e)}q\Lambda(bq,cq|dq,eq) \end{align}
となる. 両辺に$d$を掛けて$d\mapsto 1$とすると
\begin{align} &\frac{(1-1/b)(1-1/c)}{1-e/bcq}\Lambda(b,c|q,e)-\frac{(b,c;q)_{\infty}}{(e,q;q)_{\infty}}\frac{1}{bc(1-e/bcq)}\\ &=\frac{(1-b)(1-c)}{1-e}q\Lambda(bq,cq|q,eq) \end{align}
つまり
\begin{align} \Lambda(b,c|q,e)&=-\frac{1-bcq/e}{1-e}e\Lambda(bq,cq|q,eq)+\frac{(bq,cq;q)_{\infty}}{(e,q;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. よって,
\begin{align} &\frac{(bcq/e;q)_k}{(e;q)_k}(-e)^kq^{\binom k2}\Lambda(bq^k,cq^k|q,eq^k)-\frac{(bcq/e;q)_{k+1}}{(e;q)_{k+1}}(-e)^{k+1}q^{\binom{k+1}2}\Lambda(bq^{k+1},cq^{k+1}|q,eq^{k+1})\\ &=\frac{(bq,cq;q)_{\infty}}{(e,q;q)_{\infty}}\frac{(bcq/e;q)_k}{(bq,cq;q)_k}(-e)^kq^{\binom k2} \end{align}
と変形して$0\leq k\leq n-1$で足し合わせると
\begin{align} \Lambda(b,c|q,e)-\frac{(bcq/e;q)_n}{(e;q)_n}(-e)^nq^{\binom n2}\Lambda(bq^n,cq^n|q,eq^n)=\frac{(bq,cq;q)_{\infty}}{(e,q;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(bcq/e;q)_k}{(bq,cq;q)_k}(-e)^kq^{\binom k2} \end{align}
を得る. 記号を置き換えて, これは
\begin{align} \Q21{aq^n,bq^n}{cq^n}{q}=\frac{(c;q)_n}{(abq/c;q)_n}(-c)^{-n}q^{-\binom n2}\left(\Q21{a,b}{c}{q}-\frac{(aq,bq;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(abq/c;q)_k}{(aq,bq;q)_k}(-c)^kq^{\binom k2}\right) \end{align}
となる. よってこれを先ほどの式に代入すると,
\begin{align} &\Q32{a,b,x}{c,0}q\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{(a,b;q)_k}{(abq/c,q;q)_k}\left(\frac{xq}c\right)^k\left(\Q21{a,b}{c}{q}-\frac{(aq,bq;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(abq/c;q)_j}{(aq,bq;q)_j}(-c)^jq^{\binom j2}\right)\\ &=\Q21{a,b}{c}{q}\Q21{a,b}{abq/c}{\frac{xq}c}\\ &\qquad-\frac{(aq,bq;q)_{\infty}}{(c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(a,b;q)_k}{(abq/c,q;q)_k}\left(\frac{xq}{c}\right)^k\sum_{j=0}^{k-1}\frac{(abq/c;q)_j}{(aq,bq;q)_j}(-c)^jq^{\binom j2} \end{align}
となる. つまり以下が得られた.

この右辺第一項の古典極限はGaussの超幾何定理から
\begin{align} \F21{a,b}{c}1\F21{a,b}{1+a+b-c}{x}=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\F21{a,b}{1+a+b-c}{x} \end{align}
となることが分かる. 第二項の古典極限は, 古典的な接続公式との整合性を考えれば
\begin{align} &-\lim_{q\to 1}\frac{(q^{a+1},q^{b+1};q)_{\infty}}{(q^c,q;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(q^a,q^b;q)_n}{(q^{1+a+b-c},q;q)_n}\left(xq^{1-c}\right)^n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(q^{1+a+b-c};q)_k}{(q^{a+1},q^{b+1};q)_k}(-1)^kq^{\binom k2+ck}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(a+b-c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{c-a-b}\F21{c-a,c-b}{1+c-a-b}{x} \end{align}
となることが分かるが, これは一見してかなり非自明に見える.