ラマヌジャンの論文24：ベルトランの仮説の証明

$$\psi (x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{p^n\le x}\log p$$
と表せることに注意するとルジャンドルの公式から
$$\begin{array}{rl}\log \lfloor x\rfloor !& =\sum _p\log p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lfloor \frac{x}{p^n}\rfloor \\ & =\sum _p\log p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k\le x/p^n}1\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{p^n\le x/k}\log p\\ & =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\psi \left(\frac{x}{k}\right)\end{array}$$
とわかる。

$$\frac{d^2}{d{x}^2}\log \mathrm{\Gamma }(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{(x+n{)}^2}>0$$
より
$$\log \mathrm{\Gamma }(x)-2\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{x+1}{2}\right),\log \mathrm{\Gamma }(x+1)-2\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{x+1}{2}\right)$$
はそれぞれ単調増加であることに注意する。
　また
$$n+\frac{1}{2}\le \frac{x}{2}<n+\frac{3}{2}$$
において
$$\begin{array}{rl}\log \lfloor x\rfloor !-2\log \lfloor x/2\rfloor !=& \log (2n+1)!-2\log n!,\log (2n+2)!-2\log (n+1)!\\ =& \log (2n+1)!-2\log n!,\log (2n+1)!-2\log n!-\log \frac{n+1}{2}\end{array}$$
となることに注意すると
$$\begin{array}{rl}\log \mathrm{\Gamma }(x)-2\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{x+1}{2}\right)& <\log \mathrm{\Gamma }(2n+3)-2\log \mathrm{\Gamma }(n+2)\\ & \le \log \lfloor x\rfloor !-2\log \lfloor x/2\rfloor !\\ & \le \log \mathrm{\Gamma }(2n+2)-2\log \mathrm{\Gamma }(n+1)\\ & \le \log \mathrm{\Gamma }(x+1)-2\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{x+1}{2}\right)\end{array}$$
とわかる。

　スターリングの公式
$$\log \mathrm{\Gamma }(x)=(x-\frac{1}{2})\log x-x+\frac{1}{2}\log 2\pi +O\left(\frac{1}{x}\right)$$
および$\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$から
$$\begin{array}{rl}\log \mathrm{\Gamma }(x)-2\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{x+1}{2}\right)& =x\log 2-\frac{1}{2}\log x-\frac{1}{2}\log 2\pi +1+O\left(\frac{1}{x}\right)\\ \log \mathrm{\Gamma }(x+1)-2\log \mathrm{\Gamma }\left(\frac{x+1}{2}\right)& =x\log 2+\frac{1}{2}\log x-\frac{1}{2}\log 2\pi +1+O\left(\frac{1}{x}\right)\end{array}$$
が成り立つので$\log 2=0.6931\dots$に注意するとわかる(多分)。

　補題3より
$$\begin{array}{rl}\log \lfloor x\rfloor !-2\log \lfloor x/2\rfloor !& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\psi \left(\frac{x}{n}\right)\\ & =\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\psi \left(\frac{x}{2n-1}\right)-\psi (\frac{x}{2n}))\\ & =\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\psi \left(\frac{x}{3}\right)-\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}(\psi \left(\frac{x}{2n+1}\right)-\psi (\frac{x}{2n}))\end{array}$$
と表せることに注意すると
$$\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)\le \log \lfloor x\rfloor !-2\log \lfloor x/2\rfloor !\le \psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\psi \left(\frac{x}{3}\right)$$
が成り立つので補題5より前者の不等式を得る。
　また後者の不等式については
$$\begin{array}{rl}\psi (x)& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\psi \left(\frac{x}{2^n}\right)-\psi \left(\frac{x}{2^{n+1}}\right))\\ & <\frac{3}{4}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{2^n}=\frac{3}{2}x\end{array}$$
とわかる。

　上と同様にして
$$\psi (x)-2\psi (\sqrt{x})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\vartheta (x^{\frac{1}{n}})$$
から
$$\psi (x)-2\psi (\sqrt{x})\le \vartheta (x)\le \psi (x)$$
が成り立つので
$$\begin{array}{rl}\frac{2}{3}x& <\psi (x)-\psi \left(\frac{x}{2}\right)+\psi \left(\frac{x}{3}\right)\\ & <\vartheta (x)-\vartheta \left(\frac{x}{2}\right)+2\psi (\sqrt{x})+\psi \left(\frac{x}{3}\right)\\ & <\vartheta (x)-\vartheta \left(\frac{x}{2}\right)+3\sqrt{x}+\frac{x}{2}\end{array}$$
つまり
$$\vartheta (x)-\vartheta \left(\frac{x}{2}\right)>\frac{x}{6}-3\sqrt{x}(x>300)$$
を得る。
　特に$x\ge {18}^2=324$において
$$\frac{x}{6}-3\sqrt{x}\ge 0$$
が成り立つので
$$\vartheta (2x)-\vartheta (x)>0(x\ge 162)$$
を得る。

　 この記事 の定理4
$$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-{\int }_2^x\frac{\pi (t)}{t}dt$$
から
$$\begin{array}{rl}\vartheta (x)-\vartheta \left(\frac{x}{2}\right)& =(\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right))\log x+\pi \left(\frac{x}{2}\right)\log 2-{\int }_{x/2}^x\frac{\pi (t)}{t}dt\\ & \le (\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right))\log x+\pi \left(\frac{x}{2}\right)(\log 2-{\int }_{x/2}^x\frac{dt}{t})\\ & =(\pi (x)-\pi \left(\frac{x}{2}\right))\log x\end{array}$$
が成り立つことに注意するとわかる。