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ラマヌジャンの論文24：ベルトランの仮説の証明

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はじめに

　この記事ではラマヌジャンの書いた論文"A proof of Bertrand’s postulate"を読んでいきます。
　タイトルの24という番号はハーディによる書籍"Collected Papers of Srinivasa Ramanujan"におけるナンバリングに準じています。ちなみに"Collected Papers"の全容についてはこちらのサイトやこちらのサイトにて閲覧することができます。
　なお各命題の証明については論文で示されている式変形以外は自力で考案したものとなるので至らぬ点もあるかもしれませんがあしからず。

概説

　ベルトランの仮説とは次のような主張のことを言います。

　任意の実数$x\geq1$に対し$x< p\leq2x$なる素数$p$が存在する。

　僅か2ページのこの論文ではベルトランの仮説のシンプルな証明を与えています。
　またその証明から
$$\pi(2x)-\pi(x)>\frac{x-9\sqrt{2x}}{3\log2x}\geq0\quad(x\geq162)$$
という不等式が得られるのでより強く以下の主張が示されます。

　任意の実数$x\geq1$に対し$x< p\leq 2x$なる素数が少なくとも$\dis\l\lfloor\frac{x-9\sqrt{2x}}{3\log2x}\r\rfloor$個存在する。

1.

　以下$\vt(x),\psi(x)$をチェビシェフ関数
$$\vt(x)=\sum_{p\leq x}\log p,\quad \psi(x)=\sum^\infty_{n=1}\vt(x^\frac1n)$$
とする。
　このときベルトランの仮説は
$$\vt(2x)-\vt(x)=\sum_{x< p\leq2x}\log p>0$$
と言い換えられることに注意する。

$\dis\log\lfloor x\rfloor!=\sum^\infty_{n=1}\psi\l(\frac xn\r)$

$$\psi(x)=\sum^\infty_{n=1}\sum_{p^n\leq x}\log p$$
と表せることに注意するとルジャンドルの公式から
\begin{align} \log\lfloor x\rfloor! &=\sum_p\log p\sum^\infty_{n=1}\l\lfloor\frac x{p^n}\r\rfloor\\ &=\sum_p\log p\sum^\infty_{n=1}\sum_{k\leq x/p^n}1\\ &=\sum^\infty_{k=1}\sum^\infty_{n=1}\sum_{p^n\leq x/k}\log p\\ &=\sum^\infty_{k=1}\psi\l(\frac xk\r) \end{align}
とわかる。

\begin{align} \log\G(x)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r) &\leq\log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor!\\ &\leq\log\G(x+1)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r) \end{align}

$$\frac{d^2}{dx^2}\log\G(x)=\sum^\infty_{n=0}\frac2{(x+n)^2}>0$$
より
$$\log\G(x)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r),\quad\log\G(x+1)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r)$$
はそれぞれ単調増加であることに注意する。
　また
$$n+\frac12\leq\frac x2< n+\frac32$$
において
\begin{align} \log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor! ={}&\log(2n+1)!-2\log n!, \quad\log(2n+2)!-2\log(n+1)!\\ ={}&\log(2n+1)!-2\log n!, \quad\log(2n+1)!-2\log n!-\log\frac{n+1}2\\ \end{align}
となることに注意すると
\begin{align} \log\G(x)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r) &<\log\G(2n+3)-2\log\G\l(n+2\r)\\ &\leq\log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor!\\ &\leq\log\G(2n+2)-2\log\G(n+1)\\ &\leq\log\G(x+1)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r) \end{align}
とわかる。

\begin{align} \log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor!&<\frac34x\quad(x>0)\\ \log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor!&>\frac23x\quad(x>300) \end{align}

　スターリングの公式
$$\log\G(x)=\l(x-\frac12\r)\log x-x+\frac12\log2\pi+O\l(\frac1x\r)$$
および$\G(x+1)=x\G(x)$から
\begin{align} \log\G(x)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r)&=x\log2-\frac12\log x-\frac12\log2\pi+1+O\l(\frac1x\r)\\ \log\G(x+1)-2\log\G\l(\frac{x+1}2\r)&=x\log2+\frac12\log x-\frac12\log2\pi+1+O\l(\frac1x\r) \end{align}
が成り立つので$\log2=0.6931\ldots$に注意するとわかる(多分)。

\begin{align} \psi(x)-\psi\l(\frac x2\r)&<\frac34x\quad(x>0)\\ \psi(x)-\psi\l(\frac x2\r)+\psi\l(\frac x3\r)&>\frac23x\quad(x>300) \end{align}
特に
$$\psi(x)<\frac32x\quad(x>0)$$

　補題3より
\begin{align} \log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor! &=\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\psi\l(\frac xn\r)\\ &=\psi(x)-\psi\l(\frac x2\r) +\sum^\infty_{n=2}(\psi\l(\frac x{2n-1}\r)-\psi\bigg(\frac x{2n}\bigg))\\ &=\psi(x)-\psi\l(\frac x2\r)+\psi\l(\frac x3\r) -\sum^\infty_{n=2}(\psi\l(\frac x{2n+1}\r)-\psi\bigg(\frac x{2n}\bigg)) \end{align}
と表せることに注意すると
$$\psi(x)-\psi\l(\frac x2\r) \leq\log\lfloor x\rfloor!-2\log\lfloor x/2\rfloor! \leq\psi(x)-\psi\l(\frac x2\r)+\psi\l(\frac x3\r)$$
が成り立つので補題5より前者の不等式を得る。
　また後者の不等式については
\begin{align} \psi(x) &=\sum^\infty_{n=0}(\psi\l(\frac x{2^n}\r)-\psi\l(\frac x{2^{n+1}}\r))\\ &<\frac34\sum^\infty_{n=0}\frac x{2^n}=\frac32x \end{align}
とわかる。

$$\vt(x)-\vt\l(\frac x2\r)>\frac x6-3\sqrt x\quad(x>300)$$
が成り立つ。特に
$$\vt(2x)-\vt(x)>0\quad(x\geq162)$$
を得る。

　上と同様にして
$$\psi(x)-2\psi(\sqrt x)=\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\vt(x^{\frac1n})$$
から
$$\psi(x)-2\psi(\sqrt x)\leq\vt(x)\leq\psi(x)$$
が成り立つので
\begin{align} \frac23x &<\psi(x)-\psi\l(\frac x2\r)+\psi\l(\frac x3\r)\\ &<\vt(x)-\vt\l(\frac x2\r)+2\psi(\sqrt x)+\psi\l(\frac x3\r)\\ &<\vt(x)-\vt\l(\frac x2\r)+3\sqrt x+\frac x2 \end{align}
つまり
$$\vt(x)-\vt\l(\frac x2\r)>\frac x6-3\sqrt x\quad(x>300)$$
を得る。
　特に$x\geq18^2=324$において
$$\frac x6-3\sqrt x\geq0$$
が成り立つので
$$\vt(2x)-\vt(x)>0\quad(x\geq162)$$
を得る。

2.

$$\pi(x)-\pi\l(\frac x2\r)>\frac{x-18\sqrt x}{6\log x}\quad(x>300)$$
が成り立つ。

　この記事の定理4
$$\vt(x)=\pi(x)\log x-\int^x_2\frac{\pi(t)}{t}dt$$
から
\begin{align} \vt(x)-\vt\l(\frac x2\r) &=(\pi(x)-\pi\l(\frac x2\r))\log x+\pi\l(\frac x2\r)\log2-\int^x_{x/2}\frac{\pi(t)}{t}dt\\ &\leq(\pi(x)-\pi\l(\frac x2\r))\log x+\pi\l(\frac x2\r)\l(\log2-\int^x_{x/2}\frac{dt}t\r)\\ &=(\pi(x)-\pi\l(\frac x2\r))\log x \end{align}
が成り立つことに注意するとわかる。

$$x_n=2,11,17,29,41,\ldots\quad(n=1,2,3,4,5,\ldots)$$
とおくと$x\geq x_n$において
$$\pi(x)-\pi\l(\frac x2\r)\geq n$$
が成り立つ。