有限生成加群と有限生成代数

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可換環しか扱わないので、すべて環とよぶことにします。
$K$ 代数については $K$ 加群と $K$ 代数で解説しています。

有限生成加群

$A$ を環とする。 $A$ 加群 $M$ が有限生成 $A$ 加群(finitely generated A-module)であるとは、ある $r$ に対し、完全列 $A^{\oplus r} ⟶ M ⟶ 0$ が存在すること。

有限加群(finite A-module)や、A上有限(finite over A)な加群とも呼ばれます。有限生成加群の定義としては次の(3)の方が普通でしょう。ここで $x_{1}, . . ., x_{r}$ に対し、一次独立性を課していないことに注意してください。

$A$ 加群 $M$ に対し、次は同値。
(1) $M$ は有限生成 $A$ 加群
(2) $M$ は $A^{\oplus r}$ の剰余加群で表せる。
(3) $x_{1}, . . ., x_{r} \in M$ が存在して、 $M = {a_{1} x_{1} + \dots + a_{r} x_{r} | a_{1}, . . ., a_{r} \in A}$

(1) $⟹$ (2)
完全列により、全射 $A$ 準同型 $φ : A^{\oplus r} ⟶ M$ が存在する。準同型定理より、 $M$ は $A^{\oplus r}$ の剰余加群で表せる。

(1) $⟸$ (2)
$A^{\oplus r}$ の剰余加群から $M$ への $A$ 同型が存在するから、自然な射影との合成は $A^{\oplus r}$ から $M$ への $A$ 準同型となる。

(1) $⟹$ (3)
完全列により、全射 $A$ 準同型 $φ : A^{\oplus r} ⟶ M$ が存在する。 $A^{\oplus r}$ の基底として、 $t_{1}, . . ., t_{r}$ を取ると、
$Im φ = {φ (a_{1} t_{1} + \dots + a_{r} t_{r}) | a_{1}, . . ., a_{r} \in A} = {a_{1} φ (t_{1}) + \dots a_{r} φ (t_{r}) | a_{1}, . . ., a_{r} \in A}$

(1) $⟸$ (3)
$φ : A^{\oplus r} ⟶ M; (a_{1}, . . ., a_{r}) ⟼ a_{1} x_{1} + \dots + a_{r} x_{r}$ とおくと、これは全射 $A$ 準同型となる。

有限表示加群

$A$ を環とする。 $A$ 加群 $M$ が有限表示 $A$ 加群(finitely presented A-module)であるとは、ある $q, r$ に対し、完全列 $A^{\oplus q} ⟶ A^{\oplus r} ⟶ M ⟶ 0$ が存在すること。

定義より明らかに有限表示加群なら有限生成加群です。

$A$ 加群 $M$ に対し、次は同値。
(1) $M$ は有限表示 $A$ 加群
(2) $x_{1}, . . ., x_{r} \in M$ によって $M$ が生成されて、 $A^{\oplus r}$ の部分加群 ${(a_{1}, . . ., a_{r}) \in A^{\oplus r} | a_{1} x_{1} + \dots + a_{r} x_{r} = 0}$ は $q$ 個の元で生成される。

(1) $⟹$ (2)
$M$ は有限生成加群だからその生成元 $x_{1}, . . ., x_{r} \in M$ を取る。このとき、 ${(a_{1}, . . ., a_{r}) \in A^{\oplus r} | a_{1} x_{1} + \dots + a_{r} x_{r} = 0}$ は $A^{\oplus r}$ の部分加群である。これを $N$ とおくことにする。完全列より $N$ は準同型 $ψ : A^{\oplus q} ⟶ A^{\oplus r}$ の像と等しい。したがって $A^{\oplus q}$ の基底を $y_{1}, . . ., y_{q} \in A^{\oplus q}$ とおけば、 $N$ は $ψ (y_{1}), . . ., ψ (y_{q}) \in A^{\oplus r}$ によって生成される。

(1) $⟸$ (2)
$M$ は有限生成加群だから、完全列 $A^{\oplus r} ⟶ M ⟶ 0$ が存在する。この準同型 $φ : A^{\oplus r} ⟶ M$ に対し、 $A^{\oplus r}$ の基底の像を $x_{1}, . . ., x_{r} \in M$ とおくと、 $Ker φ = {(a_{1}, . . ., a_{r}) \in A^{\oplus r} | a_{1} x_{1} + \dots + a_{r} x_{r} = 0}$
このとき、 $A^{\oplus q}$ の基底を $y_{1}, . . ., y_{q}$ とおき、写像 $ψ : A^{\oplus q} ⟶ A^{\oplus r}$ を $y_{1}, . . ., y_{q}$ の像を $Ker φ$ の生成元に送るものとして定める。これは準同型で $Im ψ = Ker φ$ を満たす。

一般に有限生成加群の部分加群は有限生成ではありません。しかしNoether環上の有限生成加群はNoether加群ですから、次が成り立ちます。

Noether環上の加群において、有限生成加群であることと有限表示加群であることは同値である。

K代数の生成

$K$ を環、 $A$ を $K$ 代数とする。 $S \subset A$ が生成する部分 $K$ 代数 $K [S]$ を次で定める。

Sが有限集合 ${s_{1}, . . ., s_{r}}$ のとき
$K [S] = {f (s_{1}, . . ., s_{r}) | f (x_{1}, . . ., x_{r}) \in K [x_{1}, . . ., x_{r}]}$

Sが無限集合のとき
$K [S] = ⋃ K [S^{'}]$
ただし、 $S^{'}$ は $S$ のすべての有限部分集合を走るものとする。

$K [{s_{1}, . . ., s_{r}}]$ を単に $K [s_{1}, . . ., s_{r}]$ とかき、これを有限生成 $K$ 代数(finitely generated K-algebra)という。

有限生成 $K$ 代数のことを、有限型 $K$ 代数(finite type K-algebra)、 $K$ 上の有限生成環(finitely generated ring over K)と呼ぶこともあります。
次に、有限生成 $K$ 代数も完全列によって定義できることを示します。

$K$ を環とする。 $K$ 代数 $R$ に対し次は同値。
(1) $R$ は有限生成 $K$ 代数
(2)ある $r$ に対し、完全列 $K [x_{1}, . . ., x_{r}] ⟶ R ⟶ 0$ が存在する。
(3) $K [x_{1}, . . ., x_{r}] / Ker φ ≃ R$ を満たす $K$ 準同型 $φ : K [x_{1}, . . ., x_{r}] ⟶ R$ が存在する。

(1) $⟹$ (2)
$R = K [s_{1}, . . ., s_{r}]$ とおく。
写像 $φ : K [x_{1}, . . ., x_{r}] ⟶ R; f (x_{1}, . . ., x_{r}) ⟼ f (s_{1}, . . ., s_{r})$ は全射 $K$ 準同型

(1) $⟸$ (2)
完全列より、全射 $K$ 準同型 $φ : K [x_{1}, . . ., x_{r}] ⟶ R$ が存在する。これは $K$ 代数の準同型であるから、 $R$ の任意の元は $x_{1}, . . ., x_{r}$ の像の線型結合で書ける。すなわち $R = K [φ (x_{1}), . . ., φ (x_{r})]$