級数の勉強ノート(2)〜おぞんさんmethod〜

目次

・はじめに
・準備
・内容
・まとめ
・最後に

はじめに

今回も 前回 に引き続き おぞんさんmethod を用いて級数を考察します。
特に$\zeta(2),\zeta(3),\zeta(5)$について考えます。
ここで登場する2,3の表示はWataruさんがすでに紹介しているし、内容はおぞんさんをtraceしただけのものなので正直言ってそんなに凄くはないです。

準備

ここでは以下のような変形を用いる。(手を動かせばわかるので最低限しか書かない)
\begin{align} f(a)&=h(a)-\frac{f(a-1)}{a}\\(-1)^aa!f(a)&=(-1)^aa!h(a)+(-1)^{a-1}(a-1)!f(a-1)\\f(a-1)&=\frac{(-1)^a}{(a-1)!}\sum_{a-1< k}(-1)^kk!h(k)\\f(a)&=\frac{(-1)^{a-1}}{a!}\sum_{a< k}(-1)^kk!h(k)\\f(0)&=\sum_{0< k}(-1)^{k-1}k!h(k) \end{align}

内容

\begin{align} f_k(a)&:=\sum_{a< n}\frac{1}{n^k}\frac{n!}{(n+a)!}\\ &=\frac{1}{a}\sum_{a< n}\frac{1}{n^{k-1}}\left(\frac{(n-1)!}{(n+a-1)!}-\frac{n!}{(n+a)!}\right)\\&=\frac{1}{a}\left(\sum_{a-1< n}\frac{1}{n^k}\frac{n!}{(n+a-1)!}-\frac{1}{a^k}\frac{a!}{(2a-1)!}\right)-\frac{1}{a}f_{k-1}(a)\\&=\frac{1}{a}f_k(a-1)-\frac{1}{a}f_{k-1}(a)-\frac{2}{a^{k}}\frac{a!}{(2a)!} \end{align}

$f_2(a)$において$a=0$とすれば
$\displaystyle \zeta(2)=\sum_{n=1}^\infty\frac{3}{n^2\binom{2n}{n}}$
$f_3(a)$において$a=0$とすれば
$\displaystyle \zeta(3)=\sum_{0< n_1< n_2}\frac{3}{n_1n_2^2\binom{2n_2}{n_2}}+\sum_{0< n}\frac{2}{n^3\binom{2n}{n}}$
を得る
ただし、これだけでは$\zeta(3)$以降の表示は厳しそうに感じる。
なのでおぞんさんの記事を真似て$\zeta(5)$を考察してみる。$\zeta(5)=\zeta(1,1,1,2)$を用いている。
\begin{align} g(a)&:=\sum_{a< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3n_4(n_4+a)(n_4+a)!}\\ &=\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3(n_4+a)!}\left(\frac{1}{n_4}-\frac{1}{n_4+a}\right)\\&=\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3n_4(n_4+a)!}-\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3(n_4+a)!(n_4+a)}\\&= \frac{a!}{a^5(2a)!}-\frac{1}{a}\left(\sum_{a\le n_1< n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}-\sum_{a< n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{an_2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}\right)\\&=\frac{a!}{a^5(2a)!}+\frac{1}{a^2}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}-\frac{1}{a}\left(\sum_{a\le n_1\le n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}-\sum_{a\le n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_2^2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}\right)\\&=\frac{a!}{a^5(2a)!}+\frac{1}{a^2}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a\le n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_2^2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}-\frac{1}{a}\left(\sum_{a\le n_1\le n_2\le n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}-\sum_{a\le n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_3^3(n_4+a)(n_4+a)!}\right)\\&=\frac{a!}{a^5(2a)!}+\frac{1}{a^2}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a\le n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_2^2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a\le n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_3^3(n_4+a)(n_4+a)!}-\frac{1}{a}\left(\sum_{a\le n_1\le n_2\le n_3\le n_4}\frac{n_4!}{n_1n_2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}-\sum_{a\le n_4}\frac{n_4!}{n_4^3(n_4+a)(n_4+a)!}\right)\\&=\frac{a!}{a^5(2a)!}+\frac{1}{a^2}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a\le n_2< n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_2^2n_3(n_4+a)(n_4+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a\le n_3< n_4}\frac{n_4!}{n_3^3(n_4+a)(n_4+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a\le n_4}\frac{n_4!}{n_4^3(n_4+a)(n_4+a)!}-\frac{f_3(a-1)}{a}\\&=\frac{3a!}{2a^5(2a)!}+\frac{1}{a^2}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}+\frac{1}{a^3}\sum_{a< n_1< n_2}\frac{n_2!}{n_1(n_2+a)(n_2+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1^2n_2(n_3+a)(n_3+a)!}+\frac{1}{a^4}\sum_{a< n_1}\frac{n_1!}{(n_1+a)(n_1+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2}\frac{n_2!}{n_1^3(n_2+a)(n_2+a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a< n_1}\frac{n_1!}{n_1^3(n_1+a)(n_1+a)!}-\frac{g(a-1)}{a}\\&=\frac{3a!}{2a^5(2a)!}+\frac{1}{a}\sum_{a< n}\frac{n!}{(n+a)(n+a)!}\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{n^3}\right)+\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2}\frac{n_2!}{n_1(n_2+a)(n_2+a)!}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{n_1^2}\right)+\frac{1}{a}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{n_1}\right)-\frac{g(a-1)}{a}\\&=\frac{5a!}{2a^5(2a)!}+\frac{1}{a^2}f_3(a)-\frac{1}{a^3}f_2(a)-\frac{g(a-1)}{a}+~〜 \end{align}
ここで$a=0$とすれば

\begin{align} \zeta(5)&=\sum_{0< a}\left(\frac{5}{2}\frac{(-1)^{a-1}}{a^5\binom{2a}{a}}+3\frac{(-1)^a}{a^3}\sum_{a< n}\frac{1}{n^2\binom{2n}{n}}+3\frac{(-1)^{a-1}}{a^2}\sum_{0< k}\frac{1}{a+k}\sum_{a< n}\frac{1}{(n+k)^2\binom{2n+2k}{n+k}}+2\frac{(-1)^{a-1}}{a^2}\sum_{a< n}\frac{1}{n^3\binom{2n}{n}}+\frac{(-1)^{a-1}a!}{a}\sum_{a< n_1< n_2}\frac{n_2!}{n_1(n_2+a)(n_2+a)!}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{n_1^2}\right)+\frac{(-1)^{a-1}a!}{a}\sum_{a< n_1< n_2< n_3}\frac{n_3!}{n_1n_2(n_3+a)(n_3+a)!}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{n_1}\right)\right) \end{align}
を得る。
\begin{align} \sum_{a< n}\frac{n!}{n^3(n+a)(n+a)!}&=\sum_{a< n}\frac{n!}{an^2(n+a)!}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)\\&=\frac{1}{a}f_3(a)-\frac{1}{a}\sum_{a< n}\frac{n!}{n^2(n+a)(n+a)!}\\&=\frac{1}{a}f_3(a)-\frac{1}{a^2}\sum_{a< n}\frac{n!}{n(n+a)!}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)\\&=\frac{1}{a}f_3(a)-\frac{1}{a^2}f_2(a)+\frac{1}{a^2}\sum_{a< n}\frac{n!}{n(n+a)(n+a)!}\\&=\frac{1}{a}f_3(a)-\frac{1}{a^2}f_2(a)+\frac{1}{a^3}\sum_{a< n}\frac{n!}{(n+a)!}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a}\right)\\&=\frac{1}{a}f_3(a)-\frac{1}{a^2}f_2(a)+\frac{1}{a^3}f_1(a)-\frac{1}{a^3}\sum_{a< n}\frac{n!}{(n+a)(n+a)!} \end{align}
という変形を用いている。

まとめ

最後に

言い訳になってしまうが最後の表示はもう少し粘れたと思う。
ここに考えだけ記しておく。

手順1

\begin{align} f(a)&:=\sum_{b< n}\frac{1}{n+a}\frac{n!}{(n+a)!}\\f(a)+\frac{1}{b+a}\frac{b!}{(b+a)!}&=\frac{1}{b+a}\frac{b!}{(b+a)!}+\sum_{b< n}\frac{1}{n+a}\frac{n!}{(n+a)!}\\&=\sum_{b-1< n}\frac{1}{n+a}\frac{n!}{(n+a)!}\\&=\sum_{b< n}\frac{1}{n-1+a}\frac{(n-1)!}{(n-1+a)!}\\&=\sum_{b< n}\frac{1}{n(n+a-1)}\frac{n!}{(n+a-1)!}\\&=\sum_{b< n}\frac{1}{a-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+a-1}\right)\frac{n!}{(n+a-1)!}\\&=\frac{1}{(a-1)^2}\frac{b!}{(a+b-1)!}-\frac{1}{a-1}f(a-1)\\f(a)&=\frac{1}{(a-1)^2}\frac{b!}{(a+b-1)!}-\frac{1}{b+a}\frac{b!}{(b+a)!}-\frac{1}{a-1}f(a-1)\\(-1)^aa!f(a+1)&= \frac{(-1)^a}{a^2}\frac{a!b!}{(a+b)!}-\frac{(-1)^a}{a+b+1}\frac{a!b!}{(a+b+1)!}+(-1)^{a-1}(a-1)!f(a)\\f(a)&=\frac{(-1)^{a-1}}{(a-1)!}\left(\sum_{a\le n} \frac{(-1)^n}{n^2}\frac{n!b!}{(n+b)!}+\sum_{a< n}\frac{(-1)^n}{n(n+b)}\frac{n!b!}{(n+b)!}\right) \end{align}
これを用いたら後半の汚い多重級数はなんとかなりそう。(おぞんさん曰く$f_4$と同じらしいが一応求めてみた)

手順2

weight5のMZVの他の関係式で同様の操作を行う。
これが個人的に一番重要だと思う。