モノイドについて２

$$s^c=s^{c+\textcolor{red}{d}}=s^cs^d=s^{c+d}s^d=s^{c+\textcolor{red}{2d}}=s^cs^{2d}=s^{c+d}s^{2d}=s^{c+\textcolor{red}{3d}}=\cdots$$
より, $s$を[$c+\textcolor{red}{(d\text{の倍数})}$]乗したものは$s^c$に等しい.
$s^i$倍を考えれば, $s$を[$c+i+\textcolor{red}{(d\text{の倍数})}$]乗したものは$s^{c+i}$に等しいことも分かる.
$C=\{s^c, s^{c+1}, \cdots, s^{c+d-1}\}$であり, $c$以上$c+d$未満の$d$の倍数を$\omega$とおけば, $s^{c+i+\textcolor{red}{\omega}}=s^{c+i}$である.
よって$s^{c+i} s^\omega = s^{c+i} = s^\omega s^{c+i}$となり, $s^\omega$は$C$の単位元である.
$2cd+id \geq 2c+i$より, $s^{2cd+id-c-i} \in C$であり,
$$s^{c+i}s^{2cd+id-c-i}=s^{2cd+id}=s^{2cd+id}s^\omega=s^{c+(\omega-c)+\textcolor{red}{2cd+id}}=s^{c+(\omega-c)}=s^\omega$$
よって, $s^{2cd+id-c-i}$は$s^{c+i}$の逆元であり, $C$は群になる.

$s^\omega$は$C$の単位元なので, 明らかに$s^\omega \in E(\langle s \rangle)$.
$s^k\in E(\langle s \rangle)$とすると, $s^k=s^{2k}$.
$c\ \leq {}^\#\langle s \rangle = {}^\# \{s, s^2, \cdots , s^{2k-1}\} < 2k.$
よって, $s^{2k}\in C$. $s^k=s^{2k}$の逆元を$x$とすれば,
$s^k=s^ks^\omega=s^ks^kx=s^{2k}x=s^\omega$.

$s \in S$に対し, $\{s^\omega\}=E(\langle s \rangle) \subset E(S)$.

$uev \in SE(S)S$ならば$uev=ue^nv \in S^{n+2} \subset S^n$.

$s_1 s_2 \cdots s_n \in S^n$とする.$t_1=s_1, \ t_2=s_1s_2, \ \cdots , \ t_n=s_1 s_2 \cdots s_n$とおくと,
(i)$t_1 \sim t_n$が相異なる場合と, (ii)$t_i=t_j$となる$i < j$が存在する場合が考えられる.
(i)$t_1 \sim t_n$が相異なる場合, $\{t_1, \cdots, t_n\}=S$より, $t_i \in E(S)\neq\emptyset$となる$i$が存在する.このとき,
$$s_1s_2 \cdots s_n=t_i \cdot t_i \cdot (t_i s_{i+1} \cdots s_n) \in SE(S)S.$$
(ii)$t_i=t_j$となる$i < j$が存在する場合, $x=s_{i+1} \cdots s_j$とおくと, $t_i=t_ix=t_ix^2=\cdots= t_ix^\omega=t_ix^{\omega+1}$.
$$s_1s_2 \cdots s_n=t_i \ x \ s_{j+1} \cdots s_n=t_i \ x^{\omega+1} \ s_{j+1} \cdots s_n = t_i \cdot x^\omega \cdot (xs_{j+1} \cdots s_n) \in SE(S)S.$$

$e = e^3 \in eSe.$
$ese \cdot ete=e(set)e \in eSe$ より$eSe$は積について閉じている.
$ese \cdot e = ese = e \cdot ese$ より$e$は単位元である.