モノイドについて２

$$s^c=s^{c+d}=s^c{s}^d=s^{c+d}{s}^d=s^{c+2d}=s^c{s}^{2d}=s^{c+d}{s}^{2d}=s^{c+3d}=\cdots$$
より, $s$を[$c+(d\text{の倍数})$]乗したものは$s^c$に等しい.
$s^i$倍を考えれば, $s$を[$c+i+(d\text{の倍数})$]乗したものは$s^{c+i}$に等しいことも分かる.
$C=\{s^c,s^{c+1},\cdots ,s^{c+d-1}\}$であり, $c$以上$c+d$未満の$d$の倍数を$\omega$とおけば, $s^{c+i+\omega }=s^{c+i}$である.
よって$s^{c+i}{s}^{\omega }=s^{c+i}=s^{\omega }{s}^{c+i}$となり, $s^{\omega }$は$C$の単位元である.
$2cd+id\ge 2c+i$より, $s^{2cd+id-c-i}\in C$であり,
$$s^{c+i}{s}^{2cd+id-c-i}=s^{2cd+id}=s^{2cd+id}{s}^{\omega }=s^{c+(\omega -c)+2cd+id}=s^{c+(\omega -c)}=s^{\omega }$$
よって, $s^{2cd+id-c-i}$は$s^{c+i}$の逆元であり, $C$は群になる.

$s^{\omega }$は$C$の単位元なので, 明らかに$s^{\omega }\in E(⟨s⟩)$.
$s^k\in E(⟨s⟩)$とすると, $s^k=s^{2k}$.
$c\le {}^{\mathrm{\#}}⟨s⟩={}^{\mathrm{\#}}\{s,s^2,\cdots ,s^{2k-1}\}<2k.$
よって, $s^{2k}\in C$. $s^k=s^{2k}$の逆元を$x$とすれば,
$s^k=s^k{s}^{\omega }=s^k{s}^{k}x=s^{2k}x=s^{\omega }$.

$s\in S$に対し, $\{s^{\omega }\}=E(⟨s⟩)\subset E(S)$.

$uev\in SE(S)S$ならば$uev=u{e}^{n}v\in S^{n+2}\subset S^n$.

$s_1{s}_2\cdots s_n\in S^n$とする.$t_1=s_1,t_2=s_1{s}_2,\cdots ,t_n=s_1{s}_2\cdots s_n$とおくと,
(i)$t_1\sim t_n$が相異なる場合と, (ii)$t_i=t_j$となる$i<j$が存在する場合が考えられる.
(i)$t_1\sim t_n$が相異なる場合, $\{t_1,\cdots ,t_n\}=S$より, $t_i\in E(S)\ne \mathrm{\varnothing }$となる$i$が存在する.このとき,
$$s_1{s}_2\cdots s_n=t_i\cdot t_i\cdot (t_i{s}_{i+1}\cdots s_n)\in SE(S)S.$$
(ii)$t_i=t_j$となる$i<j$が存在する場合, $x=s_{i+1}\cdots s_j$とおくと, $t_i=t_{i}x=t_i{x}^2=\cdots =t_i{x}^{\omega }=t_i{x}^{\omega +1}$.
$$s_1{s}_2\cdots s_n=t_{i}x{s}_{j+1}\cdots s_n=t_i{x}^{\omega +1}{s}_{j+1}\cdots s_n=t_i\cdot x^{\omega }\cdot (x{s}_{j+1}\cdots s_n)\in SE(S)S.$$

$e=e^3\in eSe.$
$ese\cdot ete=e(set)e\in eSe$ より$eSe$は積について閉じている.
$ese\cdot e=ese=e\cdot ese$ より$e$は単位元である.