直交多項式と超幾何関数(3)〜直交多項式と三項間漸化式・核多項式〜

上の注意から、$P_n(x)$はモニックの場合を示す。(一般の場合は係数で割るだけ)
多項式$xP_n(x)$を考える。これはモニックな$n+1$次多項式。
$\{P_k(x)\}_{k=0}^{n+1}$は直交多項式列であるので$n+1$次以下の多項式の空間を張る、という事実を思い出すと、この基底に関して展開ができる。
\begin{align*} xP_n(x) =\sum_{k=0}^{n+1}a_{n,k}P_k(x) \end{align*}
そこで各$P_l(x)$(ただし$0\le l\le n+1$)との内積を取ると、
\begin{align*} \langle xP_n(x), P_l(x)\rangle &=\sum_{k=0}^{n+1}a_{n,k}\langle P_k(x), P_l(x)\rangle \\ &=\sum_{k=0}^{n+1}a_{n,k}\mathscr{L}[P_k^2(x)]\delta_{k,l} \quad (\text{直交性}) \\ &=a_{n,l}\mathscr{L}[P_l^2(x)] \end{align*}
となるので、展開係数$a_{n,k}$の明示式$\displaystyle a_{n,k} = \frac{\langle xP_n(x), P_k(x)\rangle}{\mathscr{L}[P_k^2(x)]}$を得る。
ここで内積の定義から
\begin{align*} \langle xP_n(x), P_k(x)\rangle =\langle xP_k(x), P_n(x)\rangle \end{align*}
と交換ができて、$xP_k(x)$は$k+1$次式だから、直交性より$k$が$n-2$以下のときにこの展開係数$a_{n,k}=0$であることがわかる。
したがって、次の形の三項間漸化式が従うことがわかる。
\begin{align*} &xP_n(x)=P_{n+1}(x)+a_{n,n}P_n(x)+a_{n,n-1}P_{n-1}(x) \\ &\Leftrightarrow P_{n+1}(x)-(x-a_{n,n})P_n(x)+a_{n,n-1}P_{n-1}(x)=0 \end{align*}
さらに展開係数の明示式から、漸化式の係数を計算できる。
\begin{align*} a_{n,n} &=\frac{\langle xP_n(x), P_n(x)\rangle} {\mathscr{L}[P_n^2(x)]} =\frac{{\mathscr{L}[xP_n^2(x)]}}{{\mathscr{L}[P_n^2(x)]}} \\ a_{n,n-1} &=\frac{\langle xP_n(x), P_{n-1}(x)\rangle} {\mathscr{L}[P_{n-1}^2(x)]} \end{align*}
さて、最後の項の分子$\langle xP_n(x), P_{n-1}(x)\rangle$をもう少し綺麗な形にしたい。
そのために、今求めた漸化式の$n$を$1$下げて
\begin{align*} xP_{n-1}(x)=P_n(x)+a_{n-1,n-1}P_{n-1}(x)+a_{n-1,n-2}P_{n-2}(x) \end{align*}
を得る。以上より
\begin{align*} \langle xP_n(x), P_{n-1}(x)\rangle &=\langle xP_{n-1}(x), P_n(x)\rangle \quad (\text{内積の交換}) \\ &=\langle P_n(x)+a_{n-1,n-1}P_{n-1}(x)+a_{n-1,n-2}P_{n-2}(x), \, P_n(x)\rangle \\ &=\langle P_n(x), \, P_n(x)\rangle \quad (\text{直交性}) \\ &=\mathscr{L}[P_n^2(x)] \end{align*}
がわかり、$\displaystyle a_{n,n-1} =\frac{\mathscr{L}[P_n^2(x)]}{\mathscr{L}[P_{n-1}^2(x)]}$の式も導出することができた。

最後の文に関しては、$\langle P_0(x), P_1(x)\rangle=0$を考えると$\frac{\mathscr{L}[x]}{\mathscr{L}[1]}=\frac{a_0^{(1)}}{a_1^{(1)}}$が従う。
ここに関しては中括弧の中に$n=0$を代入したものと一致しているということがミソである。（証明終わり）

・まず最初に$n$次のモーメント$\mathscr{L}[x^n]=\mu_n$を作る。
$n=0$の時は仮定から$\mu_0=\lambda_0$ととる。
次に$n=1$の時は、$P_1(x)=x-c_0$なので
\begin{align*} 0&=\mathscr{L}[P_0(x)P_1(x)] \\ &=\mathscr{L}[x-c_0] \\ &=\mathscr{L}[x]-c_0\mathscr{L}[1] \\ &=\mu_1-c_0\mu_0 \\ \end{align*}
が直交性から従う。ゆえに$\mu_1=c_0\mu_0=c_0\lambda_0$とすべき。
同様に、帰納的に$\mu_{n+1}$を定めることを考えると
\begin{align*} 0&=\mathscr{L}[P_0(x)P_{n+1}(x)] \\ &=\mathscr{L}[P_{n+1}(x)] \\ &=\mathscr{L}\left[\sum_{k=0}^{n+1}a_kx^k\right] \quad (\text{$a_k$ は $\{c_n\}$ と $\{\lambda_n\}$ から作れる係数。ただし $a_{n+1}=1$})\\ &=\mathscr{L}[x^{n+1}]-\sum_{k=0}^na_k\mathscr{L}[x^k] \end{align*}
が従うので、$\mathscr{L}[x^{n+1}]=\sum_{k=0}^na_k\mu_k$とすべきである。

・次はこのように定めた線形汎函数$\mathscr{L}$が直交性を満たすことを示す。
$P_m(x)=\sum_{k=0}^ma_kx^k$とおき、さらに$m< n$とする。
この時
\begin{align*} \mathscr{L}[P_m(x)P_n(x)] &=\mathscr{L}\left[\sum_{k=0}^ma_kx^kP_n(x)\right] \\ &=\sum_{k=0}^ma_k\mathscr{L}[x^kP_n(x)] \end{align*}
であるので、各$0\le k\le m(< n)$なる$k$について$\mathscr{L}[x^kP_n(x)]=0$を示す。
$k=0$のとき、任意の$n\ge1$に対して$\mathscr{L}[P_n(x)]=0$であることは、上の$\mathscr{L}$の作り方からそうであった。
次に漸化式から
\begin{align*} xP_n(x)=P_{n+1}(x)+c_nP_n(x)+\lambda_nP_{n-1}(x) \end{align*}
と書けており、この式に$x^{k-1}$を掛け$\mathscr{L}$を作用させると
\begin{align*} \mathscr{L}[x^kP_n(x)] &=\mathscr{L}[x^{k-1}P_{n+1}(x)] +c_n\mathscr{L}[x^{k-1}P_n(x)] +\lambda_n\mathscr{L}[x^{k-1}P_{n-1}(x)] \\ &=0 \quad (\text{$k$ に関する帰納法の仮定より}) \end{align*}
がわかる。
以上より直交性$\mathscr{L}[P_m(x)P_n(x)]=0$が示された。（証明終わり）

直交多項式のモニック型三項間漸化式
\begin{align*} xP_k(x)=P_{k+1}(x)+c_kP_k(x)+\lambda_kP_{k-1}(x) \end{align*}
の両辺に$P_k(y)$を掛けて、次を得る。
\begin{align*} xP_k(x)P_k(y) =P_{k+1}(x)P_k(y)+c_kP_k(x)P_k(y)+\lambda_kP_{k-1}(x)P_k(y) \tag{1} \end{align*}
(1)式の両辺で変数$x$と$y$を入れ替えたものが(2)式である。
\begin{align*} yP_k(y)P_k(x) =P_{k+1}(y)P_k(x)+c_kP_k(y)P_k(x)+\lambda_kP_{k-1}(y)P_k(x) \tag{2} \end{align*}
(1)から(2)式を引くと、次のようになる。
\begin{align*} &(x-y)P_k(x)P_k(y) \\ &\quad= (P_{k+1}(x)P_k(y)-P_{k+1}(y)P_k(x)) +\lambda_k(P_{k-1}(x)P_k(y)-P_{k-1}(y)P_k(x)) \end{align*}
以下簡略のため$u_k(x,y)=P_{k+1}(x)P_k(y)-P_{k+1}(y)P_k(x)$とおく。
すると上の式は
\begin{align*} (x-y)P_k(x)P_k(y)=u_k(x,y)-\lambda_ku_{k-1}(x,y) \end{align*}
と書き表せる。
$x-y$と$\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_k$の両方で割って
\begin{align*} \frac{P_k(x)P_k(y)}{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_k} =\frac{1}{x-y}\left\{ \frac{u_k(x,y)}{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_k} -\frac{u_{k-1}(x,y)}{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_{k-1}} \right\} \end{align*}
である。そして和を取ることで右辺の途中項が消えていき
\begin{align*} \sum_{k=0}^n \frac{P_k(x)P_k(y)}{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_k} &=\frac{1}{x-y} \frac{u_n(x,y)}{\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n} \end{align*}
がわかり、Christoffel–Darboux の公式が示された。（証明終わり）

多項式$f(x)$を直交多項式$\{P_n(x)\}$で展開するときの係数を
\begin{align*} f(x)=\sum_{k=0}^Nc_kP_k(x) \end{align*}
とおくと($N\le n$に注意)、左辺は
\begin{align*} \mathcal{L}[f(x)K_n(x, y)] &= \int_a^b \left\{\sum_{k=0}^Nc_kP_k(x)\right\} \left\{\sum_{l=0}^n \frac{P_l(x)P_l(y)}{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_l}\right\} w(x)dx \\ &= \sum_{l=0}^n \frac{P_l(y)}{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_l} \sum_{k=0}^Nc_k \int_a^b P_k(x)P_l(x)w(x)dx \\ &= \sum_{l=0}^n \frac{P_l(y)}{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_l} \sum_{k=0}^Nc_k \mathcal{L}[P_k(x)^2]\delta_{kl} \quad (\text{直交性より}) \\ &= \sum_{l=0}^N \frac{P_l(y)}{\lambda_0\lambda_1\cdots\lambda_l} c_l\mathcal{L}[P_l(x)^2] \quad (\text{和を取る範囲は $N$ 以下になる}) \\ &= \sum_{l=0}^Nc_lP_l(y) =f(y) \end{align*}
のように変形ができる。(証明終わり)

上のように定義した多項式$P_n^*(\kappa; x)$がモニック多項式になることは明らか。
(因数定理を考えて分数は割れていて多項式になる、最高次係数は割って調節してある）
その次の$P_n^*(\kappa; x)$の書き換えは、Christoffel–Darboux の公式から従う。
よって、以下示すべきことは次の2つである：

• $\mathcal{L}_\kappa^*$のモーメントで直交多項式になる
• $\mathcal{L}_\kappa^*[P_n^*(\kappa; x)^2]$の値の計算

これは同時に示せる。以下$m\le n$とすると
\begin{align*} \mathcal{L}_\kappa^*[x^mP_n^*(\kappa; x)] &=\mathcal{L}[(x-\kappa)x^mP_n^*(\kappa; x)] \\ &=\mathcal{L}\left[(x-\kappa)x^m P_n(\kappa)^{-1} \frac{P_n(\kappa)P_{n+1}(x)-P_{n+1}(\kappa)P_n(x)}{x-\kappa}\right] \\ &=P_n(\kappa)^{-1} \mathcal{L}[x^m\{P_n(\kappa)P_{n+1}(x)-P_{n+1}(\kappa)P_n(x)\}] \\ &= \mathcal{L}[x^mP_{n+1}(x)] -\frac{P_{n+1}(\kappa)}{P_n(\kappa)}\mathcal{L}[x^mP_n(x)] \\ &= -\frac{P_{n+1}(\kappa)}{P_n(\kappa)}\mathcal{L}[P_n(x)^2]\delta_{mn} \quad (\text{直交性、$P_n(x)$: モニックに注意}) \end{align*}
となることから、直交性が示され、
さらに長さの2乗についても値を確かめることができた。(証明終わり)