箱と玉の微分（３） 完全対称式と基本対称式の関係
こんにちは、Kambing ゆっくんです。
シリーズ「箱と玉の微分」の第三回です。
第一回
では、箱に玉を入れるというモデルが微分に似た数理構造を持つことを発見し、箱と玉の微分として定式化しました。
第二回
では、箱と玉の微分から自然に対称式が現れる様子を観察しました。
第三回では、箱と玉の微分を使って、完全対称式と基本対称式の関係を考えます。
前回までの振り返り
第一回では箱と玉の微分を定義しました。
$$ \begin{align} &\text{箱の可換則（和）}& &\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}+\boldsymbol{A}\\[8pt] &\text{箱の可換則（積）}& &\boldsymbol{AB}=\boldsymbol{BA}\\[8pt] &\text{玉の可換則}& &\bigcirc_n\bigcirc_m=\bigcirc_m\bigcirc_n\\[8pt] &\text{恒等変換}\;& &\bigcirc_0\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\\[7pt] &\text{スカラー倍}& &\bigcirc_n \bigl(k\boldsymbol{A}\bigr)=k\bigl(\bigcirc_n\boldsymbol{A}\bigr)\\[7pt] &\text{和の法則}& &\bigcirc_n\bigl(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}\bigr)=\bigcirc_n\boldsymbol{A}+\bigcirc_n\boldsymbol{B}\\ &\text{積の法則}& &\bigcirc_n\bigl( \boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \bigr) =\sum_{k=0}^n \bigl(\bigcirc_k\boldsymbol{A}\bigr)\bigl(\bigcirc_{n-k}\boldsymbol{B}\bigr) \end{align} $$
要するに従来の微分の 積の法則 を拡張したものとなっています。
$n\gt1$において$\bigcirc_n$は真に微分の拡張であり、例えば$\bigcirc_2$の積の法則は、従来の微分の二階微分に相当する$\bigcirc_1^2$と比べると、二つの玉が区別できないために右辺第二項の係数が1であることに特徴があります。
$$
\begin{align}
\bigcirc_2(\boldsymbol{AB})&=(\bigcirc_2\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}+(\bigcirc_1\boldsymbol{A})(\bigcirc_1\boldsymbol{B})+\boldsymbol{A}(\bigcirc_2\boldsymbol{B})\\
\bigcirc_1^2(\boldsymbol{AB})&=(\bigcirc_1^2\boldsymbol{A})\boldsymbol{B}+2(\bigcirc_1\boldsymbol{A})(\bigcirc_1\boldsymbol{B})+\boldsymbol{A}(\bigcirc_1^2\boldsymbol{B})
\end{align}
$$
そして従来の微分における$x$と同じような基本的な箱として小箱を定義しました。
$$
\bigcirc_n\,\boldsymbol{p}_m=\begin{cases}\, 1 & n=m\\[3pt]\, 0 & \text{それ以外}\end{cases}
$$
この$\boldsymbol{p}_m$を大きさmの小箱と呼ぶ。
第二回では、完全対称式と基本対称式の微分を紹介しました。
完全対称式は$m\le n$のとき
$$
\begin{equation}
\bigcirc_m\:\boldsymbol{h}_n=\boldsymbol{h}_{n-m} \tag{微 1}
\end{equation}
$$
となる大きさnの箱である。ただし$\boldsymbol{h}_0=1$とする。
これはどんな色の玉も入れられる対称的な箱と言えます。
基本対称式は
$$
\begin{equation}
\bigcirc_m\:\boldsymbol{e}_n=\begin{cases}\;\boldsymbol{e}_{n-1} & m=1 \\[10pt] \; 0 & \text{それ以外} \end{cases} \tag{微 2}
\end{equation}
$$
となる大きさnの箱である。ただし$\boldsymbol{e}_0=1$とする。
これは、異なる色の玉だけを入れられる反対称的な箱と言えます。
完全対称式と基本対称式の関係
従来の微分における指数関数に似せた箱として下記を定義します。いわば、玉がいくらでも入る箱と言えます。
$$
\begin{align}
\boldsymbol{Z}&=1+\boldsymbol{h}_1+\boldsymbol{h}_2+\boldsymbol{h}_3+\cdots
\end{align}
$$
(微1)より、この箱は微分すると自分自身になります。すなわち$\bigcirc_n\;\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Z}$です。
さて、$\boldsymbol{Z}$の逆数、すなわち$\boldsymbol{Z}^{-1}$を考えましょう。両者の積を取ります。
$$
1 = \boldsymbol{ZZ}^{-1}
$$
両辺を$\bigcirc_1$で微分します。
$$
\begin{align}
\bigcirc_1\;1 \;&=\; \bigcirc_1\left( \boldsymbol{ZZ}^{-1} \right)\\[5pt]
0 \;&=\; \left( \bigcirc_1 \boldsymbol{Z} \right)\boldsymbol{Z}^{-1}+\boldsymbol{Z}\left( \bigcirc_1 \boldsymbol{Z}^{-1} \right)\\[5pt]
&=\; \boldsymbol{ZZ}^{-1} + \boldsymbol{Z}\left( \bigcirc_1 \boldsymbol{Z}^{-1} \right)\\[5pt]
&=\; 1 + \boldsymbol{Z}\left( \bigcirc_1 \boldsymbol{Z}^{-1} \right)
\end{align}
$$
左辺はスカラーの微分なので0になります。右辺は積の法則を適用し、また途中で$\bigcirc_1\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Z}$という関係を使いました。右辺の1を移項し、両辺に$\boldsymbol{Z}^{-1}$を掛けて整理します。
$$
\bigcirc_1\,\boldsymbol{Z}^{-1}=-\boldsymbol{Z}^{-1}
$$
$\boldsymbol{Z}^{-1}$の微分は自分自身を-1倍したものとなりました。
二階微分について
次に$\bigcirc_2$の場合を考えます。
$$
\begin{align}
\bigcirc_2\;1 \;&=\; \bigcirc_2 \left( \boldsymbol{ZZ}^{-1} \right)\\[5pt]
0 \;&=\; \left( \bigcirc_2 \boldsymbol{Z} \right)\boldsymbol{Z}^{-1} + \left( \bigcirc_1 \boldsymbol{Z} \right) \left( \bigcirc_1 \boldsymbol{Z}^{-1} \right) + \boldsymbol{Z} \left( \bigcirc_2 \boldsymbol{Z}^{-1} \right)\\[5pt]
&=\; \boldsymbol{ZZ}^{-1} + \boldsymbol{Z}\,(-\boldsymbol{Z}^{-1})+\boldsymbol{Z}\left(\bigcirc_2\boldsymbol{Z}^{-1}\right)\\[5pt]
&=\; 1 - 1 + \boldsymbol{Z} \left( \bigcirc_2 \boldsymbol{Z}^{-1} \right)
\end{align}
$$
左辺はスカラーの微分なので0になります。右辺は積の法則を適用し、また途中で$\bigcirc_1\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Z}$、$\bigcirc_2\boldsymbol{Z}=\boldsymbol{Z}$、$\bigcirc_1\boldsymbol{Z}^{-1}=-\boldsymbol{Z}^{-1}$という関係を使いました。ここから
$$
\bigcirc_2\,\boldsymbol{Z}^{-1} = 0
$$
と分かります。
三階微分以上について
n>2についても同じ議論を続けると、$n\ge1$について下記の関係が分かります。
$$
\bigcirc_n\, \boldsymbol{Z}^{-1} =\:
\begin{cases}
\;\;-\boldsymbol{Z}^{-1} & n = 1\\[7pt]
\;\;0 & \text{それ以外}
\end{cases} \tag{微3}
$$
さて、ここで基本対称式の交代無限級数$1-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3+\cdots$について考えてみましょう。まず$\bigcirc_1$で微分します。(微2)を用いると、以下のようになります。
$$
\bigcirc_1 \left( 1-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3+\cdots \right) = -1 + \boldsymbol{e}_1-\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3-\cdots = -\left( 1-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3+\cdots \right)
$$
自分自身を-1倍したものとなりました。
また$n\gt1$として、$\bigcirc_n$を作用させてみましょう。
$$
\bigcirc_n \left( 1-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3+\cdots \right) = 0
$$
これは正しく(微3)と同じ形で、つまり$\boldsymbol{Z}^{-1}=1-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3+\cdots$であることが分かります。
したがって
$$
\begin{align}
1 &= \boldsymbol{ZZ}^{-1}\\[5pt]
&= \left(1+\boldsymbol{h}_1+\boldsymbol{h}_2+\boldsymbol{h}_3+\cdots\right)\left(1-\boldsymbol{e}_1+\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3+\cdots\right)
\end{align}
$$
右辺を展開し、大きさ毎にまとめると、下記の完全対称式と基本対称式の関係式を得られます。
$n\ge1$について
$$
\sum_{k=0}^n \,(-1)^k\,\boldsymbol{h}_k\,\boldsymbol{e}_{n-k}=0
$$
この関係式は既知のものですが、箱と玉の微分を使うことで、簡潔に証明することができました。
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