de Branges-Wilson積分
前回の記事
で示したAskey-Wilson積分
\begin{align}
\frac 1{2\pi}\int_C\frac{(t^2,1/t^2;q)_{\infty}}{(at,a/t,bt,b/t,ct,c/t,dt,d/t;q)_{\infty}}\frac{dt}t&=\frac{2(abcd;q)_{\infty}}{(q,ab,ac,ad,bc,bd,cd;q)_{\infty}}
\end{align}
はde Branges-Wilson積分
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_0^{\infty}\frac{\Gamma(a-ix)\Gamma(a+ix)\Gamma(b-ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c-ix)\Gamma(c+ix)\Gamma(d-ix)\Gamma(d+ix)}{\Gamma(2ix)\Gamma(-2ix)}\,dx\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)\Gamma(c+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
の$q$類似になっている. 今回はこのde Branges-Wilson積分に別の証明を与える.
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_0^{\infty}\frac{\Gamma(a-ix)\Gamma(a+ix)\Gamma(b-ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c-ix)\Gamma(c+ix)\Gamma(d-ix)\Gamma(d+ix)}{\Gamma(2ix)\Gamma(-2ix)}\,dx\\ &=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)\Gamma(c+d)}{\Gamma(a+b+c+d)} \end{align}
Dougallの${}_5F_4$の和公式の積分類似
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma\left(1+\frac a2+s\right)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)\Gamma(b-a-s)\Gamma(-s)}{\Gamma\left(\frac a2+s\right)\Gamma(1+a-c+s)\Gamma(1+a-d+s)}\,ds\\
&=\frac 12\frac{\Gamma(b)\Gamma(c)\Gamma(d)\Gamma(b+c-a)\Gamma(b+d-a)}{\Gamma(1+a-c-d)\Gamma(b+c+d-a)}
\end{align}
において, $a\mapsto 2a,b\mapsto a+b,c\mapsto a+c,d\mapsto a+d,s\mapsto s-a$とすると,
\begin{align}
\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a+s)\Gamma(s+1)\Gamma(b+s)\Gamma(c+s)\Gamma(d+s)\Gamma(a-s)\Gamma(b-s)}{\Gamma(s)\Gamma(1-c+s)\Gamma(1-d+s)}\,ds&=\frac 12\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(1-c-d)\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
をガンマ関数の相反公式を用いて, これは
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a-s)\Gamma(a+s)\Gamma(b-s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(c+s)\Gamma(d-s)\Gamma(d+s)}{\Gamma(2s)\Gamma(-2s)}\,ds\left(-\frac{\sin\pi(c-s)\sin\pi(d-s)}{\sin\pi s\cos\pi s\sin(c+d)}\right)\\
&=2\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)\Gamma(c+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
と書き換えられる. $s\mapsto -s$としたものを足し合わせて$\frac 12$倍すると,
\begin{align}
\frac 12\left(\frac{\sin\pi(c+s)\sin\pi(d+s)}{\sin\pi s\cos\pi s\sin(c+d)}-\frac{\sin\pi(c-s)\sin\pi(d-s)}{\sin\pi s\cos\pi s\sin(c+d)}\right)&=1
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a-s)\Gamma(a+s)\Gamma(b-s)\Gamma(b+s)\Gamma(c-s)\Gamma(c+s)\Gamma(d-s)\Gamma(d+s)}{\Gamma(2s)\Gamma(-2s)}\,ds\\
&=2\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)\Gamma(c+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
を得る. よって,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\Gamma(a-ix)\Gamma(a+ix)\Gamma(b-ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c-ix)\Gamma(c+ix)\Gamma(d-ix)\Gamma(d+ix)}{\Gamma(2ix)\Gamma(-2ix)}\,dx\\
&=\frac{\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)\Gamma(c+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
が成り立つ.
系として以下のBarnesの第1補題を得る.
\begin{align} \frac 1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\Gamma(a+ix)\Gamma(b+ix)\Gamma(c-ix)\Gamma(d-ix)\,dx&=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)} \end{align}
定理1より,
\begin{align}
&\frac 1{2\pi}\int_s^{\infty}\Gamma(a+it)\Gamma(b+it)\Gamma(c-it)\Gamma(d-it)\frac{\Gamma(a-2is-it)\Gamma(b-2is-it)\Gamma(c+2is+it)\Gamma(d+2is+it)}{\Gamma(-2is-2it)\Gamma(2it+2is)\Gamma(a+b-2is)\Gamma(c+d+2is)}\,dt\\
&=\frac{\Gamma(a+c)\Gamma(a+d)\Gamma(b+c)\Gamma(b+d)}{\Gamma(a+b+c+d)}
\end{align}
が得られるので, $s\mapsto -\infty$とすると示される.
de Branges-Wilson積分の両辺を$\Gamma(d)^2$で割って$d\mapsto \infty$とすることによって, 以下を得る.
\begin{align} \frac 1{2\pi}\int_0^{\infty}\frac{\Gamma(a-it)\Gamma(a+it)\Gamma(b-it)\Gamma(b+it)\Gamma(c-it)\Gamma(c+it)}{\Gamma(-2it)\Gamma(2it)}\,dt&=\Gamma(a+b)\Gamma(a+c)\Gamma(b+c) \end{align}
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