中央二項係数の冪の場合のモノドロミー行列とWronskian

今回は中央二項係数の冪の母関数
\begin{align} \F{r+1}r{\frac 12,\frac 12,\dots,\frac 12}{1,\dots,1}x&=\sum_{0\leq n}\left(\frac{\binom{2n}n}{2^{2n}}\right)^{r+1}x^n \end{align}
が満たす微分方程式のモノドロミー行列を求める. 前の記事 の$I_j$をこの場合に特殊化して$0< x<1$において
\begin{align} I_j(x):=\int_{\substack{0< t_j<\cdots< t_r< t_{r+1}=x\\t_j< t_{j-1}<\cdots< t_1< t_0=1}}\frac{dt_1\cdots dt_r}{\sqrt{t_1\cdots t_r}\prod_{i=1}^{r+1}\sqrt{|t_{i-1}-t_i|}} \end{align}
とする.

モノドロミー行列

前の記事 の定理3より, $x=0$における$I_1(x),\dots,I_{r+1}(x)$のモノドロミー行列$(c_{j,k})_{1\leq j,k\leq r+1}$は
\begin{align} c_{j,k}&=2e^{\pi i(k-j))/2}=2i^{k-j} &&1\leq k< j\leq r+1\\ c_{j,k}&=0&&1\leq j< k\leq r+1\\ c_{j,j}&=1&&1\leq j\leq r+1 \end{align}
となる. また, 前の記事 の定理5より, $x=1$における$I_1(x),\dots,I_{r+1}(x)$のモノドロミー行列$(d_{j,k})_{1\leq j,k\leq r+1}$は
\begin{align} d_{j,k}&=\delta_{j,k}+((-1)^j-1)e^{\pi i(r+1-j)/2}\delta_{r+1,k}\\ &=\delta_{j,k}+((-1)^j-1)i^{r+1-j}\delta_{r+1,k} \end{align}
と表される. よって, $\tilde{I}_j(x):=i^{j-1}I_j(x)$とすると以下のようになる.

これらは全ての成分が整数になっているというところが面白いところである. 順番に書き下してみると, $r=1$のとき,
\begin{align} \left(\begin{matrix}1 & 0\\ 2&1\end{matrix}\right),\qquad \left(\begin{matrix}1 & -2\\ 0&1\end{matrix}\right). \end{align}
$r=2$のとき,
\begin{align} \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0\\ 2&1 &0\\ 2&2 &1\end{matrix}\right),\qquad \left(\begin{matrix}1 & 0&-2\\ 0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}\right). \end{align}
$r=3$のとき,
\begin{align} \left(\begin{matrix}1 & 0 & 0&0\\ 2&1 &0&0\\ 2&2 &1&0\\2&2&2&1\end{matrix}\right),\qquad \left(\begin{matrix}1 & 0&0&-2\\ 0&1&0&0\\0&0&1&-2\\0&0&0&1\end{matrix}\right). \end{align}
一般に, 定理1の2つの$r+1$次行列から生成される$\mathrm{GL}_{r+1}(\ZZ)$の部分群の性質を調べることは重要な研究課題と言えるかもしれない.

Wronskian

次に, 前の記事 の定理1より, Wronskianは
\begin{align} W(I_1,\dots,I_{r+1};x)&=\frac{(-1)^{\binom{r+1}2}\pi^{\binom{r+1}2}}{x^{\binom{r+1}2}(1-x)^\frac{r+1}2} \end{align}
となる. 先ほどの$\tilde{I}_j$に書き換えると以下のようになる.

このようにWronskianに綺麗に$\pi i$の冪が現れるのは美しい現象と言える.