一般超幾何関数のWronskian2

前回の記事 で, $0< x<1$において
\begin{align} I_j(x)&=\int_{\substack{0< t_j<\cdots< t_r< t_{r+1}=x\\t_j< t_{j-1}<\cdots< t_1< t_0=1}}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}|t_{i-1}-t_i|^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r\\ &\qquad(j=1,2,\dots,r+1\qquad b_{r+1}:=1) \end{align}
と表される一般超幾何微分方程式の解のモノドロミー行列を計算した. 今回はこの$I_1(x),\dots,I_{r+1}(x)$のWronskianを計算したいと思う. 前の記事 の議論により,
\begin{align} W(I_1,\dots,I_{r+1};x)=\frac{C}{x^{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}(1-x)^{a_1+\cdots+a_{r+1}-b_1-\cdots-b_r+r}} \end{align}
となる定数$C$があることは分かっているので, $x\to 0$における漸近挙動を評価しようと思う. 前回の記事 の定理1は$0< x<1$において,
\begin{align} I_j(x)&=\frac{\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(a_{j+1}+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_j-s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds \end{align}
が成り立つというものだった. $\Re(b_1)<\Re(b_2)<\cdots<\Re(b_{r+1})$とすると, 積分路の右側にあるような被積分関数の実部が最小の極に関する留数が漸近挙動を与える. つまり,
\begin{align} I_j(x)&=\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\frac{\Gamma(b_j-b_1)\cdots\Gamma(b_j-b_{j-1})\Gamma(1+a_{j+1}-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}{\Gamma(b_j-a_1)\cdots\Gamma(b_j-a_j)\Gamma(1+b_{j+1}-b_j)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_j)}x^{1-b_j}+o(x^{1-b_j}) \end{align}
となる. よって, 前の記事 と全く同様の議論により,
\begin{align} C&=\left(\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\right)^{r+1}\prod_{j=1}^{r+1}\frac{\Gamma(b_j-b_1)\cdots\Gamma(b_j-b_{j-1})\Gamma(1+a_{j+1}-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}{\Gamma(b_j-a_1)\cdots\Gamma(b_j-a_j)\Gamma(1+b_{j+1}-b_j)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_j)}\\ &\qquad\cdot\prod_{1\leq i< j\leq r+1}(b_i-b_j)\\ &=\left(\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\right)^{r}\prod_{j=1}^{r+1}\frac{\Gamma(1+a_{j+1}-b_j)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_j)}{\Gamma(b_j-a_1)\cdots\Gamma(b_j-a_{j-1})}\cdot\prod_{1\leq i< j\leq r+1}\frac{\Gamma(b_j-b_i)(b_i-b_j)}{\Gamma(1+b_{j+1}-b_i)}\\ &\qquad\cdot\prod_{1\leq i< j\leq r+1}(b_i-b_j)\\ &(-1)^{\binom{r+1}2}\left(\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\right)^{r}\prod_{1\leq i< j\leq r+1}\frac{\Gamma(1+a_j-b_i)}{\Gamma(b_j-a_i)} \end{align}
となる. よって, $\Re(b_1)<\Re(b_2)<\cdots<\Re(b_{r+1})$の場合に
\begin{align} W(I_1,\dots,I_{r+1};x)=\frac{(-1)^{\binom{r+1}2}\left(\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\right)^{r}}{x^{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}(1-x)^{a_1+\cdots+a_{r+1}-b_1-\cdots-b_r+r}}\prod_{1\leq i< j\leq r+1}\frac{\Gamma(1+a_j-b_i)}{\Gamma(b_j-a_i)} \end{align}
が成り立つことが分かった. 両辺は$b_1,\dots,b_{r+1}$に関する有理型関数であるから, 一致の定理によって一般の場合も成り立つことが分かる. よって, 以下を得る.

この結果はMimachiの2016年の論文で示されているもので, その証明における$C$の計算は$I_j$の定義の積分表示
\begin{align} I_j(x)&=\int_{\substack{0< t_j<\cdots< t_r< t_{r+1}=x\\t_j< t_{j-1}<\cdots< t_1< t_0=1}}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}|t_{i-1}-t_i|^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r \end{align}
に基づくものである.
\begin{align} \tilde{I}_j(x)&=\frac{I_j(x)}{\Gamma(b_1-a_1)\cdots\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})}\\ &=\frac1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(a_{j+1}+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_j-s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds \end{align}
とすると, 定理1は若干簡潔な形
\begin{align} W(\tilde{I}_1,\dots,\tilde{I}_{r+1};x)&=\frac{(-1)^{\binom{r+1}2}}{x^{b_1+\cdots+b_r+\binom r2}(1-x)^{a_1+\cdots+a_{r+1}-b_1-\cdots-b_r+r}}\frac{\prod_{1\leq i< j\leq r+1}\Gamma(1+a_j-b_i)}{\prod_{1\leq i\leq j\leq r+1}\Gamma(b_j-a_i)} \end{align}
で表すこともできる.