一般超幾何微分方程式のモノドロミー行列を計算する2

前の記事 で, 一般超幾何微分方程式の$x=0$におけるFrobenius級数解
\begin{align} f_j(x)&:=x^{1-b_j}\F{r+1}r{1+a_1-b_j,\dots,1+a_{r+1}-b_j}{1+b_1-b_j,\dots,1+b_{j-1}-b_j,1+b_{j+1}-b_j,\dots,1+b_{r+1}-b_j}{x}\\ &\qquad (j=1,2,\dots,r+1\qquad b_{r+1}:=1) \end{align}
のモノドロミー行列を計算した. 今回は$0< x<1$において
\begin{align} I_j(x)&:=\int_{\substack{0< t_j<\cdots< t_r< t_{r+1}=x\\t_j< t_{j-1}<\cdots < t_1< t_0=1}}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}|t_{i-1}-t_i|^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r\\ &\qquad (j=1,2,\dots,r+1\qquad b_{r+1}:=1) \end{align}
によって表される別の解のモノドロミー行列を計算したいと思う.

$I_j$のMellin-Barnes積分表示

まず, $I_j$と$f_j$の関係を明らかにすることによって本当に$I_j$が超幾何微分方程式の解になっていることを確認したいと思う. そのためにまずは$I_j$のMellin-Barnes積分表示を与える. $j=r+1$の場合,
\begin{align} I_{r+1}(x)&=\int_{x=t_{r+1}< t_r<\cdots< t_1< t_0=1}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}(t_{i-1}-t_i)^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r \end{align}
と表される. 前の記事 の補題1を$r$回用いることで,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_{r+1}-s)}x^s\,ds\\ &=\frac 1{\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\cdots\Gamma(b_1-a_1)}\int_{x=t_{r+1}< t_r<\cdots< t_1< t_0=1}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}(t_{i-1}-t_i)^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r\\ &=\frac{I_{r+1}(x)}{\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\cdots\Gamma(b_1-a_1)} \end{align}
を得る. (これは$b_{r+1}=1$でなくても成り立つことに注意.)
\begin{align} \frac{x^{1-b}}{\Gamma(b-a)}\int_0^x t^{a-1}(x-t)^{b-a-1}\cdot t^s\,dt&=\frac{\Gamma(a+s)}{\Gamma(b+s)}x^s \end{align}
であるから, 作用素
\begin{align} \frac{x^{1-b}}{\Gamma(b-a)}\int_0^x\,dt \cdot t^{a-1}(x-t)^{b-a-1}:f(x)\mapsto \frac{x^{1-b}}{\Gamma(b-a)}\int_0^xt^{a-1}(x-t)^{b-a-1}f(t)\,dt \end{align}
を$(a,b)=(a_i,b_i)\qquad i=j+1,j+2,\dots,r$と順番に
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_j-s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_j-s)}x^s\,ds\\ &=\frac 1{\Gamma(b_{j}-a_j)\cdots\Gamma(b_1-a_1)}\int_{x=t_j<\cdots< t_1< t_0=1}\prod_{i=1}^{j-1}t_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^j(t_{i-1}-t_i)^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r \end{align}
の両辺に作用させれば,
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(a_{j+1}+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_j-s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds\\ &=\frac 1{\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\cdots\Gamma(b_1-a_1)}\int_{\substack{0< t_j<\cdots< t_r< t_{r+1}=x\\t_j< t_{j-1}<\cdots < t_1< t_0=1}}\prod_{i=1}^rt_i^{a_{i+1}-b_i}\prod_{i=1}^{r+1}|t_{i-1}-t_i|^{b_i-a_i-1}\,dt_1\cdots dt_r\\ &=\frac{I_j(x)}{\Gamma(b_{r+1}-a_{r+1})\cdots\Gamma(b_1-a_1)} \end{align}
を得る. まとめると, 以下の表示が得られる.

ここで, $1\leq k\leq j$として, 右辺のMellin-Barnes積分
\begin{align} \frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(a_{j+1}+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_j-s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds \end{align}
の$\Gamma(1-b_k-s)$の極に関して留数定理で足し合わせた部分は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^n\Gamma(b_k-b_1-n)\cdots\Gamma(b_{k}-b_{k-1}-n)\Gamma(b_k-b_{k+1}-n)\cdots\Gamma(b_k-b_j-n)}{n!\Gamma(b_k-a_1-n)\cdots\Gamma(b_k-a_j-n)}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma(1+a_{j+1}-b_k+n)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_k+n)}{\Gamma(1+b_{j+1}-b_k+n)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_k+n)}x^{n+1-b_k}\\ &=\frac{\prod_{\substack{1\leq l\leq j\\l\neq k}}\Gamma(b_k-b_l)}{\Gamma(b_k-a_1)\cdots\Gamma(b_k-a_j)}\frac{\Gamma(1+a_{j+1}-b_k)\cdots\Gamma(1+a_{r+1}-b_k)}{\Gamma(1+b_{j+1}-b_k)\cdots\Gamma(1+b_{r+1}-b_k)}f_k(x) \end{align}
と表される. よって, Mellin-Barnes積分を積分路の右側の極に関して展開することによって以下が得られた.

これは左辺の解析接続を与えているので, 以降$I_j$を右辺の表示により定義域を拡張したものとする.

$x=0$におけるモノドロミー行列

系1と$f_j$のモノドロミー行列を用いて直接的に$x=0$におけるモノドロミー行列を計算してもいいが, それは若干計算が複雑である. 定理1のMellin-Barnes積分を
\begin{align} &\frac 1{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_j-s)\Gamma(a_{j+1}+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(1-a_1-s)\cdots\Gamma(1-a_j-s)\Gamma(b_{j+1}+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds\\ &=\frac{1}{2\pi i}\frac 1{\pi^{r+1}}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\\ &\qquad\cdot\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)\sin\pi(b_{j+1}+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)x^s\,ds\\ \end{align}
と書き換えると,
\begin{align} \sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)\sin\pi(b_{j+1}+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)\in \bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r+1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
である.
\begin{align} g(s)\in \bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r+1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
に対して, $0< x<1$における関数
\begin{align} \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s\,ds \end{align}
を与える作用素を考えると, これは$g(s)=\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)$のとき, 被積分関数は積分路の右側に極を持たないから,
\begin{align} &\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s\,ds\\ &=\frac{\pi^{r+1}}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds\\ &=\lim_{c\to\infty}\frac{\pi^{r+1}}{2\pi i}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty}\frac{\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)}{\Gamma(b_1+s)\cdots\Gamma(b_{r+1}+s)}x^s\,ds\\ &=0 \end{align}
となる. よって, この作用素は$\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)$の定数倍で消える. これより, 商空間
\begin{align} \bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r+1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns}\bigg/\CC\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s) \end{align}
を定義域とする作用素が
\begin{align} g(s)\mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s\,ds \end{align}
によって定まる.
\begin{align} g(s)\in\bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r-1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
に対し,
\begin{align} g(s)e^{2\pi is}\in\bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r+1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
である. よって, このような$g(s)$から得られる関数に対しては, $x=0$におけるモノドロミー作用$\gamma_0$は
\begin{align} &\gamma_0\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s\,ds\right)\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)e^{2\pi is}x^s\,ds \end{align}
とシンプルに計算できる. 一般に
\begin{align} g(s)\in\bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r+1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
の場合, ある$C\in\CC$がによって, $e^{i\pi s}$に関する最高次の係数を打ち消すことによって,
\begin{align} g(s)&=C\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)+\tilde{g}(s)\\ \tilde{g}(s)&\in\bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r-1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
とできる. よって, これを用いればモノドロミー作用が
\begin{align} &\gamma_0\left(\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s\,ds\right)\\ &=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\tilde{g}(s)e^{2\pi is}x^s\,ds \end{align}
と計算することができる. ここで,
\begin{align} g(s)e^{2\pi is}-\tilde{g}(s)e^{2\pi is}&\in \CC e^{2\pi is}\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s) \end{align}
であることに着目して, ここまでの計算をより代数的に実行できるようにしたいと思う. 作用素の定義域を拡張し,
\begin{align} g(s)\in\bigoplus_{\substack{n\in\ZZ\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
に対し,
\begin{align} g(s)&=c(s)\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)+\tilde{g}(s)\\ \tilde{g}(s)&\in\bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r-1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns}\\ c(s)&\in\CC[e^{2\pi is},e^{-2\pi is}] \end{align}
と書くことができることから,
\begin{align} \phi:g(s)\mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\tilde{g}(s)x^s\,ds \end{align}
とすると, これはwell-definedである. さらに先ほど述べたことから,
\begin{align} \gamma_0\phi(g(s))&=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\tilde{g}(s)e^{2\pi is}x^s\,ds\\ &=\phi(e^{2\pi is}\tilde{g}(s))\\ &=\phi(e^{2\pi is}g(s)) \end{align}
である. つまり, $e^{2\pi is}$倍がモノドロミー作用$\gamma_0$に対応する. まとめると以下の定理を得る.

よって, $I_j$のモノドロミー行列を求めるためには次を満たす$c_{j,k}$が分かればよい.
\begin{align} &e^{2\pi is}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)\sin\pi(b_{j+1}+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)\\ &=\sum_{k=0}^{r+1}c_{j,k}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_k+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)\pmod {e^{2\pi is}\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)} \end{align}
これは
\begin{align} &e^{2\pi is}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)\\ &=\sum_{k=0}^jc_{j,k}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_k+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\pmod {e^{2\pi is}\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)} \end{align}
を満たす$c_{j,k}$が分かれば, それに$\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)$を掛けることによって求められる. 最高次の係数を打ち消して
\begin{align} &e^{2\pi is}(\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)-e^{i\pi(a_1+\cdots+a_j-b_1-\cdots-b_j)}\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_j+s))\\ &=\sum_{k=0}^jc_{j,k}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_k+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s) \end{align}
となる$c_{j,k}$を求めればよい($c_{j,0}$は不要である). これは左辺を望遠鏡和によって
\begin{align} &e^{2\pi is}(\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)-e^{i\pi(a_1+\cdots+a_j-b_1-\cdots-b_j)}\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_j+s))\\ &=e^{2\pi is}\sum_{k=1}^{j}\bigg(e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k+1}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{k}+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &\qquad\qquad \qquad-e^{i\pi(a_{k}+\cdots+a_j-b_{k}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{k-1}+s)\sin\pi(b_{k}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\bigg)\\ &=e^{2\pi is}\sum_{k=1}^{j}e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k+1}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{k-1}+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &\qquad\cdot(\sin\pi(a_k+s)-e^{i\pi(a_{k}-b_k)}\sin\pi(b_k+s))\\ &=e^{\pi is}\sum_{k=1}^{j}e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k+1}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{k-1}+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &\qquad\cdot\frac{e^{i\pi (a_k-2b_k)}-e^{-i\pi a_k}}{2i}\\ &=\sum_{k=1}^{j}e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k+1}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{k-1}+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &\qquad\cdot (e^{-2\pi ib_k}\sin\pi(a_k+s)-e^{-i\pi(a_k+b_k)}\sin\pi(b_k+s))\\ &=\sum_{k=1}^{j}e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-2b_k-b_{k+1}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_k+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &\qquad-\sum_{k=1}^{j}e^{i\pi(-a_{k}+a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k}-\cdots-b_j)}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{k-1}+s)\sin\pi(b_{k}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &=\sum_{k=1}^{j-1}e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k+1}-\cdots-b_j)}(e^{-2\pi ib_k}-e^{-2\pi i a_{k+1}})\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_k+s)\sin\pi(b_{k+1}+s)\cdots\sin\pi(b_j+s)\\ &\qquad+e^{-2\pi ib_j}\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)-e^{i\pi(-a_1+a_2+\cdots+a_j-b_1-\cdots-b_j)}\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_j+s) \end{align}
と変形できる. よって,
\begin{align} c_{j,k}&=e^{i\pi(a_{k+1}+\cdots+a_j-b_{k+1}-\cdots-b_j)}(e^{-2\pi ib_k}-e^{-2\pi i a_{k+1}})\qquad k< j\\ c_{j,j}&=e^{-2\pi ib_j} \end{align}
と求められる.つまり, 以下が得られた.

定理3は明示的に書くと,
\begin{align} \gamma_0I_j(x)&=\sum_{k=1}^{r+1}c_{j,k} I_k(x) \end{align}
となる.

$x=1$におけるモノドロミー行列

先ほどと同様に作用
\begin{align} g(s)\mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s\,ds \end{align}
を考える.
\begin{align} g(s)\in\bigoplus_{\substack{-r+1\leq n\leq r-1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
ならば, 被積分関数
\begin{align} \Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)g(s)x^s \end{align}
は$\Im(s)\to\pm \infty$で指数関数的に減衰するので, $x=1$において正則であるから, $x=1$におけるモノドロミー作用$\gamma_1$は自明に作用する, つまり, $\gamma_1\phi(g(s))=\phi(g(s))$である. 次に, 前の記事 の系1は
\begin{align} &\gamma_1\bigg(\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\\ &\qquad\cdot \sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s)x^s\,ds\bigg)\\ &=\frac{e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{i\infty}\Gamma(1-b_1-s)\cdots\Gamma(1-b_{r+1}-s)\Gamma(a_1+s)\cdots\Gamma(a_{r+1}+s)\\ &\qquad\cdot \sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s)x^s\,ds \end{align}
と表される. よって,
\begin{align} g(s)\in\bigoplus_{\substack{n\in\ZZ\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
に対し,
\begin{align} g(s)&\in \tilde{g}(s)+C\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s)+\CC[e^{2\pi is},e^{-2\pi is}]\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)\\ \tilde{g}(s)&\in\bigoplus_{\substack{-r+1\leq n\leq r-1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
と表したとき,
\begin{align} \gamma_1\phi(g(s))&=\phi(\tilde{g}(s))+Ce^{2\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}\phi(\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s))\\ &=\phi(g(s))+C(e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}-1)\phi(\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s)) \end{align}
となる. 次に,
\begin{align} g(s)\in \bigoplus_{\substack{-r-1\leq n\leq r+1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
に対し, 上の$C$を具体的に計算する方法を考える.
\begin{align} g(s)&\in \tilde{g}(s)+C\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s)+D\sin\pi(b_1+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s)\\ \tilde{g}(s)&\in\bigoplus_{\substack{-r+1\leq n\leq r-1\\n\equiv r+1\pmod 2}}\CC e^{i\pi ns} \end{align}
とする. 連立方程式
\begin{align} A&:=(2i)^{r+1}\lim_{s\to i\infty} e^{i(r+1)s}g(s)=Ce^{-i\pi(a_1+\cdots+a_{r+1})}+De^{-i\pi(b_1+\cdots+b_{r+1})}\\ B&:=(-2i)^{r+1}\lim_{s\to -i\infty} e^{-i(r+1)s}g(s)=Ce^{i\pi(a_1+\cdots+a_{r+1})}+De^{i\pi(b_1+\cdots+b_{r+1})} \end{align}
を解くと,
\begin{align} C&=\frac{Ae^{i\pi(b_1+\cdots+b_{r+1})}-Be^{-i\pi(b_1+\cdots+b_{r+1})}}{e^{i\pi(b_1+\cdots+b_{r+1}-a_1-\cdots-a_{r+1})}-e^{-i\pi(b_1+\cdots+b_{r+1}-a_1-\cdots-a_{r+1})}}\\ &=\frac{Ae^{2\pi i(b_1+\cdots+b_{r+1})}-B}{e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_{r+1}-a_1-\cdots-a_{r+1})}-1}e^{-i\pi(a_1+\cdots+a_{r+1})}\\ \end{align}
と求めることができる. よって, これを用いると先ほどの式を
\begin{align} \gamma_1\phi(g(s))&=\phi(g(s))+C(e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_r-a_1-\cdots-a_{r+1})}-1)\phi(\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s))\\ &=\phi(g(s))+(Ae^{2\pi i(b_1+\cdots+b_{r+1})}-B)e^{-i\pi(a_1+\cdots+a_{r+1})}\phi(\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_{r+1}+s)) \end{align}
と表すことができる. まとめると以下を得る.

特に,
\begin{align} g(s)=\sin\pi(a_1+s)\cdots\sin\pi(a_j+s)\sin\pi(b_{j+1}+s)\cdots\sin\pi(b_{r+1}+s) \end{align}
とすると,
\begin{align} A&=e^{-i\pi(a_1+\cdots+a_j+b_{j+1}+\cdots+b_{r+1})}\\ B&=e^{i\pi(a_1+\cdots+a_j+b_{j+1}+\cdots+b_{r+1})} \end{align}
であるから, これを代入すると
\begin{align} \gamma_1 I_j(x)&=I_j(x)+(e^{i\pi(2b_1+\cdots+2b_j+b_{j+1}+\cdots+b_{r+1}-2a_1-\cdots-2a_j-a_{j+1}-\cdots-a_{r+1})}-e^{i\pi(b_{j+1}+\cdots+b_{r+1}-a_{j+1}-\cdots-a_{r+1})})I_{r+1}(s)\\ &=I_j(x)+(e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_j-a_1-\cdots-a_j)}-1)e^{i\pi(b_{j+1}+\cdots+b_{r+1}-a_{j+1}-\cdots-a_{r+1})}I_{r+1}(s) \end{align}
を得る. よって以下が得られる.

これはKroneckerのデルタを用いるとシンプルに
\begin{align} c_{j,k}&=\delta_{j,k}+(e^{2\pi i(b_1+\cdots+b_j-a_1-\cdots-a_j)}-1)e^{i\pi(b_{j+1}+\cdots+b_{r+1}-a_{j+1}-\cdots-a_{r+1})}\delta_{r+1,k} \end{align}
と表すことができる. 定理3, 定理5のモノドロミー行列は, Mimachiの2016年の論文で別の手法を用いて計算されているものである.