大学数学基礎解説

雑記：級数の収束判定法まとめ

級数,雑記

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はじめに

　この記事では級数の収束判定法について雑にまとめていきます。
　なお級数の収束に関する基本事項に関しては前回の記事を参照してください。

単調な数列に関する収束判定法

Dirichletの判定法

　単調に $0$ に収束する数列 $a_{n}$ と部分和 $\sum_{k = 0}^{n} b_{k}$ が有界なる数列 $b_{n}$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} b_{n}$
は収束する。

証明

　適当に符号を取り換えることで $a_{n} \geq 0$ は単調減少であるものとしてよい。いま
$B_{n} = \sum_{k = 0}^{n} b_{k}$
とおくと仮定よりある $K > 0$ が存在して $| B_{n} | < K$ が成り立つので部分和分により
$\begin{aligned} | \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k} b_{k} | & = | a_{n} B_{n} - a_{m} B_{m} + \sum_{k = m}^{n - 1} B_{k} (a_{k} - a_{k + 1}) | \\ \leq K (a_{n} + a_{m} + \sum_{k = m}^{n - 1} (a_{k} - a_{k + 1})) \\ = K (a_{n} + a_{m} + (a_{m} - a_{n})) = 2 K a_{m} \to 0 (m, n \to \infty) \end{aligned}$
を得る。

Abelの定理

　単調に $0$ に収束する数列 $a_{n}$ と $| z | = 1 (z \neq 1)$ なる複素数 $z$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$
は収束する。特に交代級数
$\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n}$
は収束する。

証明

　 $b_{n} = z^{n}$ の部分和は
$| \sum_{k = 0}^{n} z^{k} | = | \frac{1 - z^{n + 1}}{1 - z} | \leq \frac{2}{| 1 - z |}$
と有界であることからわかる。

Abelの判定法

　有界単調列 $a_{n}$ と収束級数 $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ に対して
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} b_{n}$
は収束する。

証明

　 $a_{n}$ は極限値 $a$ を持ち、 $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ の収束性からその部分和 $\sum_{k = 0}^{n} b_{k}$ は有界なので
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} b_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} (a_{n} - a) b_{n} + a \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$
は収束することがわかる。

Schlömilch(シュレミルヒ)の判定法

　単調列 $f (n)$ とある $K > 0$ に対し
$\frac{u_{n + 2} - u_{n + 1}}{u_{n + 1} - u_{n}} < K$
を満たす狭義単調増加な非負整数列 $u_{n}$ について
$\sum_{n = 0}^{\infty} f (n), \sum_{n = 0}^{\infty} f (u_{n}) (u_{n + 1} - u_{n})$
は同時に収束・発散する。

証明

　適当に符号を取り換えることで $f$ は減少列としてよい。いま $Δ u_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ とおいたとき仮定は
$Δ u_{n + 1} < K Δ u_{n}$
と表せることに注意すると
$\begin{aligned} K^{- 1} f (u_{n + 1}) Δ u_{n + 1} & < f (u_{n + 1}) Δ u_{n} \\ = \sum_{k = u_{n}}^{u_{n + 1} - 1} f (u_{n + 1}) \\ \leq \sum_{k = u_{n}}^{u_{n + 1} - 1} f (k) \\ \sum_{k = u_{n}}^{u_{n + 1} - 1} f (k) & \leq \sum_{k = u_{n}}^{u_{n + 1} - 1} f (u_{n}) \\ = f (u_{n}) Δ u_{n} \end{aligned}$
が成り立つのでこれを足し合わせることで
$K^{- 1} \sum_{n = 1}^{\infty} f (u_{n}) Δ u_{n} < \sum_{n = 0}^{\infty} f (n) \leq \sum_{n = 0}^{\infty} f (u_{n}) Δ u_{n}$
を得る。

Cauchyの稠密化判定法

　単調列 $f (n)$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} f (n), \sum_{n = 0}^{\infty} 2^{n} f (2^{n})$
は同時に収束・発散する。

証明

　 $u_{n} = 2^{n}$ とおくと $Δ u_{n} = 2^{n}$ が成り立つことからわかる。

正項級数の比較判定法

　本節において $a_{n}, b_{n}$ は正数列とする。

第一種比較判定法

　ある $c > 0$ に対し $a_{n} \leq c b_{n}$ が成り立つとき、 $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ が収束すれば $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ も収束する。　

証明

　前回の記事の命題5からわかる。または
$\sum_{k = m}^{n} a_{k} \leq c \sum_{k = m}^{n} b_{k} \to 0 (m, n \to \infty)$
とわかる。

第二種比較判定法

　 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n + 1}}{b_{n}}$ が成り立つとき、 $\sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$ が収束すれば $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$ も収束する。　

証明

$\frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \frac{a_{n - 1}}{b_{n - 1}} \leq \dots \frac{a_{0}}{b_{0}}$
より第一種比較判定法が適用できる。

極限比較法

　 $a_{n} / b_{n}$ が $0$ でない値に収束するとき
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}, \sum_{n = 0}^{\infty} b_{n}$
は同時に収束・発散する。

証明

　 $a_{n} / b_{n} \to c$ とおくと十分大きい任意の $n$ に対し
$(c - ε) b_{n} \< a_{n} < (c + ε) b_{n}$
が成り立つことからわかる。

積分判定法

　積分可能な単調減少関数 $f (x) \geq 0$ に対し
$\sum_{n = 0}^{\infty} f (n), \int_{0}^{\infty} f (x) d x$
は同時に収束・発散する。

証明

$\int_{n}^{n + 1} f (x) d x \leq f (n) \leq \int_{n - 1}^{n} f (x) d x$
より
$\int_{0}^{\infty} f (x) d x \leq \sum_{n = 0}^{\infty} f (n) \leq f (0) + \int_{0}^{\infty} f (x) d x$
を得る。

正項級数の収束判定法

　本節において $a_{n}$ は正数列とする。

Cauchyの冪根判定法

$ρ = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{a_{n}}$
とおいたとき
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$
は $ρ < 1$ ならば収束し、 $ρ > 1$ ならば発散する。

証明

　 $ρ < 1$ ならば十分大きい任意の $n$ に対して $a_{n} < (ρ + ε)^{n}$ が成り立つので
$\sum_{n = N}^{\infty} a_{n} < \sum_{n = N}^{\infty} (ρ + ε)^{n} = \frac{(ρ + ε)^{N}}{1 - (ρ + ε)} < \infty$
を得る。
　また $ρ > 1$ ならば
$\underset{n \to \infty}{lim sup} a_{n} \geq 1$
より明らかに発散する。

Kummerの判定法

　正数列 $ζ_{n}$ に対し
$lim_{n \to \infty} (ζ_{n} \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} - ζ_{n + 1})$
とおく。このとき
$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}$
は $ρ > 0$ ならば収束し、 $ρ < 0$ かつ $\sum_{n = 0}^{\infty} 1 / ζ_{n} = \infty$ ならば発散する。

証明

　 $ρ > 0$ ならば十分大きい任意の $n$ に対し
$(ρ - ε) a_{n + 1} < (ζ_{n} a_{n} - ζ_{n + 1} a_{n + 1})$
が成り立つので $ζ_{n} a_{n}$ はある項から単調減少、つまり極限値 $γ$ を持つ。したがって
$(ρ - ε) \sum_{n = N}^{\infty} a_{n + 1} < \sum_{n = N}^{\infty} (ζ_{n} a_{n} - ζ_{n + 1} a_{n + 1}) = ζ_{N} a_{N} - γ < \infty$
を得る。
　また $ρ < 0$ のとき十分大きい任意の $n$ に対し
$(ζ_{n} a_{n} - ζ_{n + 1} a_{n + 1}) < (ρ + ε) a_{n}$
が成り立つので $ζ_{n} a_{n}$ はある項から単調増加、特に $ζ_{N} a_{N} \leq ζ_{n} a_{n}$ より
$\sum_{n = N}^{\infty} a_{n} \geq ζ_{N} a_{N} \sum_{n = N}^{\infty} \frac{1}{ζ_{n}}$
を得る。