超微分とテトレーションの関係性

はじめに

超微分というのは、もともと、「微分の演算レベルを上げるとどうなるだろう」から出発したものでした。
そして、微分では、$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$となるのでした。
それでは、似たような関係が超微分とテトレーションにもいうことができるのではなかろうか？という考えのもと書かれたのがこの記事です。

テトレーションと微分

手始めにテトレーションを微分してみます。
関数$f_n(x)(n\in \mathbb{N})$を次のように定義します。
$$f_n(x)=\{\begin{array}{ll}1& (n=0)\\ x^{f_{n-1}(x)}& (n>0)\end{array}$$
この時、$f_n(x)(n>0)$の微分は次のように求められます。
$$\begin{array}{rl}{f}_n(x)& =x^{f_{n-1}(x)}\\ \log f_n(x)& =f_{n-1}(x)\log x\\ \frac{f_n^{\prime }(x)}{f_n(x)}& =f_{n-1}(x)\cdot x^{-1}+f_{n-1}^{\prime }(x)\log x\\ f_n^{\prime }(x)& =f_n(x)(f_{n-1}(x)\cdot x^{-1}+f_{n-1}^{\prime }(x)\log x)\end{array}$$
以上より、次のような漸化式が求まります。

ということで、とてもきれいとまでは言いませんが、きちんと規則性のある式が求まりました。

テトレーションと超微分

微分と超微分には次のような関係性があります。定理

また、$f_n(x)$は微分可能なため、超微分も可能です。っぽい
これを用いると、テトレーションの超微分に関する漸化式が以下のように求められます。
$n>0$の時、
$$\begin{array}{rl}{f}_n(x{)}^{‘}& =\frac{x{f}_n^{\prime }(x)}{f_n(x)}\\ & =\frac{x\cdot f_n(x)(f_{n-1}(x)\cdot x^{-1}+f_{n-1}^{\prime }(x)\log x)}{f_n(x)}\\ & =f_{n-1}(x)+f_{n-1}^{\prime }(x)\cdot x\log x\\ & =f_{n-1}(x)(1+f_{n-1}^{‘}(x)\log x)\end{array}$$
$n=0$の時$f_n^{‘}(x)=0$
以上より次の定理が得られます。

見た目すっきりした感じはありますが、和が出てきてしまう、という超微分にとっては最悪の結果になってしまいました。

超微分におけるきれいな形

では、超微分において微分の時のようなきれいな形になるのはどのようなときでしょうか。
これは、友人のLagu君(彼を呼ぶときはLaguかラグのどちらかでいいらしい)と話していたのですが、彼曰く、
$$F_1(x)=x,\{F_n(x){\}}^{‘}=\{F_{n-1}(x){\}}^n$$
となるような関数だろうとのことでした。
確かに、積の演算レベルを上げると冪になるため、的を得ているのではないかなと思います。
実際に計算してみると、
$F_1(x)=x$
$F_2(x)=e^{\frac{1}{2}{x}^2}$
となり、$F_3(x)$から先は指数積分でしか表せないため、全貌はつかみにくいところがあります。しかし、このような関数が存在する、というのは一つの発見なのではないでしょうか。

終わりに

今回はテトレーションと超微分との関係性を調べてきました。
漸化式の形ではありますが、定式化できたのでこの点は一つ成果かと思います。ただ、きれいになるようなものの定式化はまだなため、そこについては今後もう少し考えていきたいと思います。