この記事は参考文献 [1] 第 2 章 Fundamental groups in topology を参考にさせていただきました。
以下、$X$ を局所連結位相空間、$Y$ を位相空間とします。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$G:=\text{Aut}(Y/X)$ とする。$p$ は次のように標準全射 $p_G$ と $p$ が引き起こす全射連続開写像 $\overline{p}_G$ に分解する：
$$ \xymatrix{ \large{Y} \ar[rr]^-{\Large{p_G}} \ar[rrdd]_-{\Large{p}} & & \large{Y/G} \ar[dd]^-{\Large{\overline{p}_G}}\\ & \ar@{}[r]^{\LARGE\circlearrowright} & \\ & & \large{X} \\ } $$
$X$ 上の被覆 $(Y,\ p)$ がガロア被覆であるとは次の条件 $(1),\ (2)$ を満たすことをいう：
$(1)$ $Y$ は連結である。
$(2)$ $\overline{p}_G:Y/\text{Aut}(Y/X)\to X$ は同相写像である。
$X$ 上の被覆 $(Y,\ p)$ がガロア被覆であるとき、簡単に $Y/X$ をガロア被覆という。
被覆の自己同型について の命題 5 において、$(Y,\ p_G)$ は $Y/G$ 上のガロア被覆である。実際、$\overline{p}_G = \text{id}_{Y/G}$ となる。
$$ \xymatrix{ \large{Y} \ar[rr]^-{\Large{p_G}} \ar[rrdd]_-{\Large{p_G}} & & \large{Y/G} \ar[dd]^-{\Large{\overline{p}_G}}\\ & \ar@{}[r]^{\LARGE\circlearrowright} & \\ & & \large{Y/G} \\ } $$
$\text{even}$ に作用する群 $G$ から $G$ 軌道空間 $Y/G$ が生じ、被覆の自己同型群 $\text{Aut}(Y/(Y/G))\simeq G$ により元の $G$ に戻る様子は、体のガロア対応に似ている。
$$ G\mapsto Y/G\mapsto \text{Aut}(Y/(Y/G))\simeq G$$
$$ \xymatrix{ \large{Y} \ar@{-}[dd] & & \large{\lbrace e \rbrace} \ar@{-}[dd]\\ & & \\ \large{Y/G} & & \large{G} \\ } $$
次の命題は参考文献 [1] Proposition 2.2.7 を参考にさせていただきました。
$(Y,\ p)$ を $X$ 上の被覆、$Y$ を連結位相空間とする。このとき次は同値である：
$(1)$ $(Y,\ p)$ は $X$ 上のガロア被覆である。
$(2)$ 任意の $x\in X$ に対して $\text{Aut}(Y/X)$ は $p^{-1}(x)$ に推移的に作用する。
$y_1,\ y_2\in Y$ とする。次の図のように「$\overline{p}_G$ が単射 $\Longleftrightarrow$ ファイバーへの作用が推移的」が成り立つ。
$$ \xymatrix@M=16pt{ \overline{p}_G(G(y_1))\ =\ \overline{p}_G(G(y_2)) \ar@2{<=>}[rr] \ar@2{=>}[dd]_-{\Large{\text{injection}}} & & p(y_1)\ =\ p(y_2) \ar@2{=>}[dd]^-{\Large{\text{transitive action}}} \\ & \ar@2{}[] & \\ G(y_1)\ =\ G(y_2) \ar@2{<=>}[rr] & & \exists\sigma\in \text{Aut}(Y/X)\ \text{s.t.}\ \sigma(y_1)\ =\ y_2 } $$
$(1)\Longrightarrow (2)$
任意の $x\in X$ をとる。任意の $y_1,\ y_2\in p^{-1}(x)$ に対して $p(y_1) = p(y_2)$ より $\overline{p}_G(G(y_1)) = \overline{p}_G(G(y_2))$ となる。$\overline{p}_G$ は単射であるから $G(y_1) = G(y_2)$ となる。よって $\sigma(y_1) = y_2$ となるような $\sigma\in \text{Aut}(Y/X)$ が存在する。したがって作用は推移的である。
$(2)\Longrightarrow (1)$
$y_1,\ y_2\in Y$ に対して $\overline{p}_G(G(y_1)) = \overline{p}_G(G(y_2))$ ならば $p(y_1) = p(y_2)$ である。よって $y_1,\ y_2$ は同一のファイバーに含まれるから、作用の推移性により $\sigma(y_1) = y_2$ となるような $\sigma\in \text{Aut}(Y/X)$ が存在する。したがって $G(y_1) = G(y_2)$ となる。