固有関数としてのa-Legendre多項式について

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前の記事( 非整数階積分と随伴作用素 )において, 作用素 $⟨ a, b ⟩^{+}$ を導入したが, 今回はその特別な場合として $⟨ a ⟩^{+} := ⟨ a, 1 ⟩^{+}$ について考える. 具体的に表すと, $π_{a} := \frac{π}{\sin π a}$ として,
$\begin{array}{r} ⟨ a ⟩^{+} f (x) = \frac{1}{π_{a}} \int_{1 - x}^{1} t^{a - 1} (t + x - 1)^{- a} f (t) d t = \frac{1}{π_{a}} \int_{0}^{x} (1 - t)^{a - 1} (x - t)^{- a} f (1 - t) d t \end{array}$

Jacobi多項式を $[a]_{w} := \frac{Γ (a + w)}{Γ (a) Γ (w + 1)}$ として,
$\begin{array}{r} ρ_{n}^{(a, b)} (x) := (- 1)^{n} [a]_{n} \sum_{0 \leq n} \frac{(- n, a + b + n - 1)_{k}}{k! (a)_{k}} x^{k} \end{array}$
によって定義し, $a$ -Legendre多項式を $ρ_{n}^{(a)} (x) := ρ_{n}^{(a, 1)} (x)$ によって定義する.

$x^{1 - a} ρ_{n}^{(2 - a)} (x)$ は作用素 $⟨ a ⟩^{+}$ の固有値 $(- 1)^{n} [a]_{n + 1 - a}$ であるような直交関数系である. つまり,
$\begin{aligned} ⟨ a ⟩^{+} (x^{1 - a} ρ^{(2 - a)} (x)) & = (- 1)^{n} [a]_{n + 1 - a} x^{1 - a} ρ_{n}^{(2 - a)} (x) \end{aligned}$
が成り立つ.

Jacobi多項式の対称性を用いて, 以下の計算によって示される.
$\begin{aligned} ⟨ a ⟩^{+} (x^{1 - a} ρ^{(2 - a)} (x)) & = \frac{1}{π_{a}} \int_{0}^{x} (x - t)^{- a} ρ_{n}^{(2 - a)} (1 - t) d t \\ = \frac{(- 1)^{n}}{π_{a}} \int_{0}^{x} (x - t)^{- a} ρ_{n}^{(1, 2 - a)} (t) d t \\ = \frac{(- 1)^{n}}{π_{a}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- n, 2 - a + n)_{k}}{k! (1 - a)_{k + 1}} x^{k + 1 - a} \\ = \frac{(- 1)^{n}}{π_{a}} \frac{n!}{(1 - a)_{n + 1}} x^{1 - a} ρ_{n}^{(2 - a)} (x) \\ = (- 1)^{n} [a]_{n + 1 - a} x^{1 - a} ρ_{n}^{(2 - a)} (x) \end{aligned}$

新たに, $ρ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) := x^{1 - a} ρ_{n}^{(2 - a)} (x)$ と書くことにして, $ρ_{n}^{(a)} (x)$ が $⟨ a ⟩_{+}$ に関する固有関数だったことと合わせて
$\begin{aligned} ⟨ a ⟩_{+} ρ_{n}^{(a)} (x) & = (- 1)^{n} [a]_{n} ρ_{n}^{(a)} (x) \\ ⟨ a ⟩^{+} ρ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) & = (- 1)^{n} [a]_{n + 1 - a} ρ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) \end{aligned}$
と書くことができる. このように定義した $ρ_{n + 1 - a}^{(a)} (x)$ は次の直交性があることからもいい感じの定義になっていると考えることができる.
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} ρ_{n}^{(a)} (x) ρ_{m}^{(a)} (x) x^{a - 1} d x & = \frac{δ_{n, m}}{2 n + a} \\ \int_{0}^{1} ρ_{n + 1 - a}^{(a)} (x) ρ_{m + 1 - a}^{(a)} (x) x^{a - 1} d x & = \frac{δ_{n, m}}{2 n + 2 - a} \end{aligned}$