q指数関数の五角形恒等式
$q$指数関数を
\begin{align}
e(x):=\frac 1{(x;q)_{\infty}}=\sum_{0\leq n}\frac{x^n}{(q;q)_n}
\end{align}
とする.
前の記事
において$x,y$が$q$可換である, つまり$yx=xyq$となるとき, $q$指数法則
\begin{align}
e(x)e(y)&=e(x+y)
\end{align}
が成り立つことを示した. 今回は五角形恒等式と呼ばれる以下の関係式を示す.
$x,y$が$q$可換であるとき,
\begin{align}
e(y)e(x)&=e(x)e(-xy)e(y)
\end{align}
が成り立つ.
$(xy)^m=q^{\binom m2}x^my^m$であることなどを用いて
\begin{align}
e(x)e(-xy)e(y)&=\sum_{0\leq l,m,n}\frac{x^l(-xy)^my^n}{(q;q)_l(q;q)_m(q;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq l,m,n}\frac{(-1)^mq^{\binom m2}x^{l+m}y^{n+m}}{(q;q)_l(q;q)_m(q;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq m\leq l,n}\frac{(-1)^mq^{\binom m2}x^ly^n}{(q;q)_{l-m}(q;q)_m(q;q)_{n-m}}\qquad (l\mapsto l-m, n\mapsto n-m)\\
&=\sum_{0\leq l,n}x^ly^n\sum_{m=0}^{\min\{l,n\}}\frac{(-1)^mq^{\binom m2}}{(q;q)_{l-m}(q;q)_{n-m}(q;q)_m}
\end{align}
を得る. ここで,
Heineの和公式
より
\begin{align}
\sum_{m=0}^{\min\{l,n\}}\frac{(-1)^mq^{\binom m2}}{(q;q)_{l-m}(q;q)_{n-m}(q;q)_m}&=\frac 1{(q;q)_l(q;q)_n}\Q20{q^{-l},q^{-n}}{-}{q^{n+l}}\\
&=\frac 1{(q;q)_l(q;q)_n}\lim_{c\to\infty}\Q21{q^{-l},q^{-n}}{c}{cq^{n+l}}\\
&=\frac 1{(q;q)_l(q;q)_n}\lim_{c\to\infty}\frac{(cq^l;q)_{n}}{(c;q)_n}\\
&=\frac{q^{nl}}{(q;q)_l(q;q)_n}
\end{align}
と計算できるので, これを代入すると
\begin{align}
e(x)e(-xy)e(y)&=\sum_{0\leq l,n}\frac{x^ly^nq^{nl}}{(q;q)_l(q;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq l,n}\frac{y^nx^l}{(q;q)_l(q;q)_n}\\
&=e(y)e(x)
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
$x,-xy$は$q$可換で, $x-xy, y$も$q$可換なので, 定理1の等式は
\begin{align}
e(y)e(x)&=e(x+y-xy)
\end{align}
と書き換えられる. これを用いて次のような証明もできる. これはVolkovの2012年の論文に書かれているものである.
前の記事
の定理2より,
\begin{align}
e(x)^{-1}e(x+y)e(y)^{-1}=1
\end{align}
であるから, $e(y)(x+y)^ne(y)^{-1}=(e(y)xe(y)^{-1}+y)^n$であることを用いると,
\begin{align}
e(y)e(x)&=e(y)e(x)e(x)^{-1}e(x+y)e(y)^{-1}\\
&=e(y)e(x+y)e(y)^{-1}\\
&=e(e(y)xe(y)^{-1}+y)
\end{align}
である. ここで,
\begin{align}
e(y)x&=\sum_{0\leq n}\frac{y^n}{(q;q)_n}x\\
&=x\sum_{0\leq n}\frac{(yq)^n}{(q;q)_n}\\
&=xe(yq)\\
&=x(1-y)e(y)
\end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align}
e(y)e(x)&=e(x(1-y)+y)\\
&=e(x+y-xy)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
$e(x)$は量子二重対数関数とも呼ばれている. その理由としては$|x|<1$としたとき,
\begin{align}
\ln e(x)&=-\sum_{0\leq k}\ln(1-xq^k)\\
&=\sum_{0< n,0\leq k}\frac{x^nq^{nk}}{n}\\
&=\sum_{0< n}\frac{x^n}{n(1-q^n)}
\end{align}
と書き換えられるので$q\to 1$で
\begin{align}
(1-q)\ln e(x)\to \mathrm{Li}_2(x)
\end{align}
となるからである.
