直積集合 ⑭

Prop & Proof

集合の外延性より、両辺が等しいことを示すには、互いに包含し合うことを示せば十分である。

1. まず
   $$ A\times(B\setminus C)\subseteq (A\times B)\setminus(A\times C) $$
   を示す。
   任意の $(x,y)\in A\times(B\setminus C)$ をとる。直積集合の定義より
   $$ x\in A\ \land\ y\in B\setminus C $$
   が成り立つ。
   $ $
   ■　ここで、差集合の定義より
   $$ y\in B\ \land\ y\notin C $$
   　　が成り立つ。したがって
   $$ x\in A\ \land\ y\in B $$
   　　であるから、再び直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times B $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   ■　次に、$(x,y)\notin A\times C$ を示す。
   　　もし
   $$ (x,y)\in A\times C $$
   　　であるとすると、直積集合の定義より
   $$ x\in A\ \land\ y\in C $$
   　　が成り立つ。特に
   $$ y\in C $$
   　　であるが、これは既に得た
   $$ y\notin C $$
   　　に矛盾する。したがって
   $$ (x,y)\notin A\times C $$
   　　である。
   $ $
   以上より
   $$ (x,y)\in A\times B\ \land\ (x,y)\notin A\times C $$
   が成り立つので、差集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A\times B)\setminus(A\times C) $$
   を得る。$(x,y)$ は任意であったから
   $$ A\times(B\setminus C)\subseteq (A\times B)\setminus(A\times C) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に
   $$ (A\times B)\setminus(A\times C)\subseteq A\times(B\setminus C) $$
   を示す。
   任意の $(x,y)\in (A\times B)\setminus(A\times C)$ をとる。差集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times B\ \land\ (x,y)\notin A\times C $$
   が成り立つ。
   $ $
   ■　前半より、直積集合の定義から
   $$ x\in A\ \land\ y\in B $$
   を得る。
   $ $
   ■　ここで、$y\notin C$ を示す。
   　　もし
   $$ y\in C $$
   　であるとすると、既に
   $$ x\in A $$
   　であるから、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times C $$
   　が成り立つ。これは
   $$ (x,y)\notin A\times C $$
   　に矛盾する。したがって
   $$ y\notin C $$
   　である。
   　ゆえに
   $$ y\in B\ \land\ y\notin C $$
   　であるから、差集合の定義より
   $$ y\in B\setminus C $$
   　が成り立つ。
   $ $
   したがって
   $$ x\in A\ \land\ y\in B\setminus C $$
   であり、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times(B\setminus C) $$
   を得る。$(x,y)$ は任意であったから
   $$ (A\times B)\setminus(A\times C)\subseteq A\times(B\setminus C) $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ A\times(B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$

集合の外延性より、両辺が等しいことを示すには、互いに包含し合うことを示せば十分である。

1. まず、$(A\setminus B)\times C\subseteq (A\times C)\setminus (B\times C)$ を示す。
   任意の $(x,y)\in (A\setminus B)\times C$ をとる。
   ■　直積集合の定義より
   $$ x\in A\setminus B\ \land\ y\in C $$
   　　が成り立つ。
   　　さらに差集合の定義より
   $$ x\in A\ \land\ x\notin B $$
   　　が成り立つ。したがって
   $$ x\in A\ \land\ y\in C $$
   　　であるから、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times C $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   ■　次に、$(x,y)\notin B\times C$ を示す。もし
   $$ (x,y)\in B\times C $$
   　　であるとすると、直積集合の定義より
   $$ x\in B\ \land\ y\in C $$
   　　が成り立つ。特に
   $$ x\in B $$
   　　であるが、これは既に得た
   $$ x\notin B $$
   　　に矛盾する。したがって
   $$ (x,y)\notin B\times C $$
   　　である。
   $ $
   以上より
   $$ (x,y)\in A\times C\ \land\ (x,y)\notin B\times C $$
   が成り立つので、差集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A\times C)\setminus (B\times C) $$
   を得る。$(x,y)$ は任意であったから
   $$ (A\setminus B)\times C\subseteq (A\times C)\setminus (B\times C) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 次に、$(A\times C)\setminus (B\times C)\subseteq (A\setminus B)\times C$ を示す。
   任意の $(x,y)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$ をとる。
   差集合の定義より
   $$ (x,y)\in A\times C\ \land\ (x,y)\notin B\times C $$
   が成り立つ。
   ■　前半と直積集合の定義より
   $$ x\in A\ \land\ y\in C $$
   　　を得る。
   $ $
   ■　ここで、$x\notin B$ を示す。もし
   $$ x\in B $$
   　　であるとすると、既に
   $$ y\in C $$
   　　であるから、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in B\times C $$
   　　が成り立つ。これは
   $$ (x,y)\notin B\times C $$
   　　に矛盾する。したがって
   $$ x\notin B $$
   　　である。ゆえに
   $$ x\in A\ \land\ x\notin B $$
   　　であるから、差集合の定義より
   $$ x\in A\setminus B $$
   　　が成り立つ。
   $ $
   したがって
   $$ x\in A\setminus B\ \land\ y\in C $$
   であり、直積集合の定義より
   $$ (x,y)\in (A\setminus B)\times C $$
   を得る。$(x,y)$ は任意であったから
   $$ (A\times C)\setminus (B\times C)\subseteq (A\setminus B)\times C $$
   が成り立つ。
   $ $

-以上より
$$ (A\setminus B)\times C=(A\times C)\setminus (B\times C) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$