集合系 ➂
Prop & Proof
集合 $A,B\subseteq U$ について
$$
A\subseteq B\ \Rightarrow\ \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)
$$
が成り立つ。
$A\subseteq B$ と仮定する。$\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)$ を示す。
部分集合の定義により、これを示すには、任意の集合 $X$ について
$$
X\in\mathcal{P}(A)\ \Rightarrow\ X\in\mathcal{P}(B)
$$
が成り立つことを示せば十分である。そこで、任意に $X$ をとり、$X\in\mathcal{P}(A)$ と仮定する。
$ $
べき集合の定義より
$$
X\in\mathcal{P}(A)\ \Leftrightarrow\ X\subseteq A
$$
であるから、$X\subseteq A$ が成り立つ。
また、仮定より $A\subseteq B$ である。したがって、部分集合の推移性(
証明はこちら
)より
$$
X\subseteq B
$$
が成り立つ。再びべき集合の定義より
$$
X\in\mathcal{P}(B)
$$
を得る。
$X$ は任意であったから、任意の集合 $X$ について
$$
X\in\mathcal{P}(A)\ \Rightarrow\ X\in\mathcal{P}(B)
$$
が成り立つ。ゆえに、部分集合の定義より
$$
\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)
$$
である。以上より
$$
A\subseteq B\ \Rightarrow\ \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $A,B\subseteq U$ について
$$
\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\ \Rightarrow\ A\subseteq B
$$
が成り立つ。
$\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)$ と仮定する。任意の集合は自分自身の部分集合であるから
$$
A\subseteq A
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)。
したがって、べき集合の定義より
$$
A\in\mathcal{P}(A)
$$
である。いま、仮定 $\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)$ と $A\in\mathcal{P}(A)$ から
$$
A\in\mathcal{P}(B)
$$
を得る。再び、べき集合の定義より
$$
A\in\mathcal{P}(B)\ \Leftrightarrow\ A\subseteq B
$$
であるから
$$
A\subseteq B
$$
が従う。よって、
$$
\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\ \Rightarrow\ A\subseteq B
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
集合 $A,B\subseteq U$ について
$$
\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\ \Leftrightarrow\ A=B
$$
が成り立つ。
直前の$2$つの命題から直ちに導かれる。実際、既に上で示した$2$つの命題から集合 $A,B\subseteq U$ について
$$
A\subseteq B\ \Leftrightarrow\ \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)
$$
が成り立つ。したがって、
$$
\begin{align}
\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)
&\Leftrightarrow \bigl(\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)\land \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A)\bigr)
\because\ \text{集合の相等の定義} \\
&\Leftrightarrow \bigl(A\subseteq B\land B\subseteq A\bigr)
\because\ A\subseteq B\ \Leftrightarrow\ \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B) \\
&\Leftrightarrow A=B
\because\ \text{集合の相等の定義}
\end{align}
$$
を得る。
- $(\Rightarrow)$ を示す。まず、
$$ \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B) $$
と仮定する。このとき、特に
$$ \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B),\qquad \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A) $$
が成り立つ( 証明はこちら )。
$ $
(i) まず $A\subseteq B$ を示す。
任意の集合は自分自身の部分集合であるから
$$ A\subseteq A $$
である( 証明はこちら )。したがって、べき集合の定義より
$$ A\in\mathcal{P}(A) $$
である。
いま、$\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)$ であるから
$$ A\in\mathcal{P}(B) $$
を得る。再び、べき集合の定義より
$$ A\subseteq B $$
である。
$ $
(ii) 同様にして、$B\subseteq A$ を示す。
任意の集合は自分自身の部分集合であるから
$$ B\subseteq B $$
である( 証明はこちら )。したがって、べき集合の定義より
$$ B\in\mathcal{P}(B) $$
である。
いま、$\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A)$ であるから
$$ B\in\mathcal{P}(A) $$
を得る。再び、べき集合の定義より
$$ B\subseteq A $$
である。
$ $
以上より
$$ A\subseteq B,\qquad B\subseteq A $$
が成り立つので、集合の相等の定義より
$$ A=B $$
である。
$ $ - $(\Leftarrow)$ を示す。
$$ A=B $$
と仮定する。$\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)$ を示すために、両方の包含関係を示す。
$ $
(i) まず、$\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B)$ を示す。
任意に $X\in\mathcal{P}(A)$ をとる。べき集合の定義より
$$ X\subseteq A $$
である。仮定 $A=B$ より
$$ X\subseteq B $$
である。したがって、べき集合の定義より
$$ X\in\mathcal{P}(B) $$
である。ゆえに
$$ \mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B) $$
が成り立つ。
$ $
(ii) 同様にして、$\mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A)$ を示す。
任意に $X\in\mathcal{P}(B)$ をとる。べき集合の定義より
$$ X\subseteq B $$
である。仮定 $A=B$ より
$$ X\subseteq A $$
である。したがって、べき集合の定義より
$$ X\in\mathcal{P}(A) $$
である。ゆえに
$$ \mathcal{P}(B)\subseteq\mathcal{P}(A) $$
が成り立つ。
$ $
以上より
$$ \mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B) $$
である。
-したがって
$$
\mathcal{P}(A)=\mathcal{P}(B)\ \Leftrightarrow\ A=B
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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