直交多項式と超幾何関数(6)〜JacobiからLaguerre・Hermiteへ〜

第六回目の今日は
古典的直交多項式列の他の2つ、
Laguerre(ラゲール)多項式・Hermite(エルミート)多項式
についての記事を書こうと思う。

これらとJacobi多項式は、それぞれ独立して紹介されることが一般的には多いが
密接した関係があることがわかる。
従って、今回はそのモチベーションを基軸に話そうと思う。

(筆者注：この流れで書いてある文献がなく、かつ計算ミス多発で書くの時間かかった...)

Jacobi多項式からLaguerre多項式へ

さて、簡単に前回の復習で
Jacobi多項式の定義をおさらいする。
Jacobi多項式は区間 $(- 1, 1)$ 上の重さ関数 $w (x) = (1 - x)^{α} (1 + x)^{β}$ に関する直交多項式列で、
$P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n})$ という正規化の下で定められていた。

適当に $x$ に1次式の変換を掛けることで、有界区間で同様のことも考えられる（リスケーリング）。
では、Jacobi多項式を $(0, \infty)$ 上で定義することは考えられるだろうか？

方針は次のとおりである。

まず $β$ は十分大きい正の数としておく。
次に、 $(0, β)$ 上でJacobi多項式を考える。
最後に、 $β \to \infty$ の極限を取る（ようにうまいこと関数を調整する）

ではやってみようと思う。
Jacobi多項式に関するRodriguesの公式は
$\begin{array}{r} P_{n}^{(α, β)} (x) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} (1 - x)^{- α} (1 + x)^{- β} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {(1 - x)^{n + α} (1 + x)^{n + β}} \end{array}$
で与えられていたことを思いだす。

さてまずは区間 $x \in (- 1, 1)$ の上から区間 $x^{'} \in (0, β)$ に1次式で変換させるのだが
$- 1$ を $β$ に、 $1$ を $0$ に移すようにとる。(大小逆順にとっていることに注意)
すなわち
$\begin{array}{r} x^{'} = - \frac{β}{2} (x - 1) \Leftrightarrow x = \frac{- 2 x^{'}}{β} + 1 \end{array}$
これをJacobi多項式の式に代入し、 $x^{'}$ の関数として見ると
$\begin{aligned} P_{n}^{(α, β)} (x^{'}) & = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} {(1 - (\frac{- 2 x^{'}}{β} + 1))}^{- α} {(1 + (\frac{- 2 x^{'}}{β} + 1))}^{- β} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {{(1 - (\frac{- 2 x^{'}}{β} + 1))}^{n + α} {(1 + (\frac{- 2 x^{'}}{β} + 1))}^{n + β}} \\ = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} {(\frac{2 x^{'}}{β})}^{- α} {(\frac{2 β - 2 x^{'}}{β})}^{- β} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {{(\frac{2 x^{'}}{β})}^{n + α} {(\frac{2 β - 2 x^{'}}{β})}^{n + β}} \end{aligned}$
ここで微分の変換を行わなければならない。
次の等式が成り立つ：
$\begin{array}{r} \frac{d^{n}}{d x^{n}} = {(\frac{d}{d x})}^{n} = {(- \frac{β}{2} \frac{d}{d x^{'}})}^{n} = (- 1)^{n} \frac{β^{n}}{2^{n}} \frac{d^{n}}{d {x^{'}}^{n}} \end{array}$
また、 $x^{'}$ 以外の係数は微分の前に出してこれることを思うと
$\begin{aligned} P_{n}^{(α, β)} (x^{'}) & = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} {(\frac{2 x^{'}}{β})}^{- α} {(\frac{2 β - 2 x^{'}}{β})}^{- β} (- 1)^{n} \frac{β^{n}}{2^{n}} \frac{d^{n}}{d {x^{'}}^{n}} {{(\frac{2 x^{'}}{β})}^{n + α} {(\frac{2 β - 2 x^{'}}{β})}^{n + β}} \\ = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} {(\frac{2}{β})}^{- α} (x^{'})^{- α} 2^{- β} {(\frac{β - x^{'}}{β})}^{- β} (- 1)^{n} \frac{β^{n}}{2^{n}} {(\frac{2}{β})}^{n + α} 2^{n + β} \frac{d^{n}}{d {x^{'}}^{n}} {(x^{'})^{n + α} {(\frac{β - x^{'}}{β})}^{n + β}} \\ = \frac{1}{n!} (x^{'})^{- α} {(\frac{β - x^{'}}{β})}^{- β} \frac{d^{n}}{d {x^{'}}^{n}} {(x^{'})^{n + α} {(\frac{β - x^{'}}{β})}^{n + β}} \end{aligned}$
ものすごく「それらしい」形が出現した。最後に $β \to \infty$ の極限を飛ばしたい。
最初の係数のところは
$\begin{array}{r} lim_{β \to \infty} {(\frac{β - x^{'}}{β})}^{- β} = lim_{β \to \infty} {(1 - \frac{x^{'}}{β})}^{- β} = e^{x^{'}} \end{array}$
次に微分の中身のところは
$\begin{array}{r} lim_{β \to \infty} {(\frac{β - x^{'}}{β})}^{n + β} = lim_{β \to \infty} {(1 - \frac{x^{'}}{β})}^{n + β} = e^{- x^{'}} \end{array}$
となることから、次のことが従う。[ここは微分と極限の交換ができることを仮定する]
$\begin{array}{r} lim_{β \to \infty} P_{n}^{(α, β)} (x^{'}) = \frac{1}{n!} (x^{'})^{- α} e^{x^{'}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {(x^{'})^{n + α} e^{- x^{'}}} \end{array}$

generalized Laguerre polynomial

次のように関数の列を定める。
$\begin{array}{r} L_{n}^{(α)} (x) := lim_{β \to \infty} P_{n}^{(α, β)} (1 - \frac{2 x}{β}) \end{array}$
このように定めた関数を、一般化されたLaguerre多項式(以下GLPと適宜略す)と呼ぶ。
上の議論から、Rodrigues形の表示として
$\begin{array}{r} L_{n}^{(α)} (x) = \frac{1}{n!} x^{- α} e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {x^{n + α} e^{- x}} \end{array}$
を得ることができた。この表示からも特にGLP $L_{n}^{(α)} (x)$ は $n$ 次の多項式になることが従う。

一般化されたLaguerre多項式の性質

まずはGLPの一般項について。
そもそも $(1 + x)$ が無限に飛ぶように極限を取ったので、Rodriguesの変形の表示と超幾何の表示は一致する。

GLPの一般項の超幾何関数による表示

上で定められたGLP $L_{n}^{(α)} (x)$ の一般項は次のように求められる。
$\begin{array}{r} L_{n}^{(α)} (x) = (\binom{n + α}{n}) \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (α + 1)_{k}} x^{k} =: (\binom{n + α}{n})_{1} F_{1} (- n; α + 1, x) \end{array}$
ここで $_{1} F_{1}$ の形の超幾何はKummerの合流型超幾何関数と呼ばれる。

合流という言葉は、実は上で行った極限操作と関係があるのだが、それも後の回で。

Jacobi多項式の $_{2} F_{1}$ 形の超幾何関数からは、 $β$ の入った $(n + α + β + 1)_{k}$ の項が消えた。
その意味でJacobi多項式の超幾何関数表示からはすぐに示される。

Jacobi多項式の超幾何関数表示は次のようであった。
$\begin{array}{r} P_{n}^{(α, β)} (x) = (\binom{n + α}{n}) \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k} (n + α + β + 1)_{k}}{k! (α + 1)_{k}} {(\frac{1 - x}{2})}^{k} \end{array}$
ここで $x \mapsto 1 - \frac{2 x}{β}$ とおくことで
$\begin{aligned} P_{n}^{(α, β)} (1 - \frac{2 x}{β}) & = (\binom{n + α}{n}) \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k} (n + α + β + 1)_{k}}{k! (α + 1)_{k}} {(\frac{x}{β})}^{k} \\ = (\binom{n + α}{n}) \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{k! (α + 1)_{k}} \frac{(n + α + β + 1)_{k}}{β^{k}} x^{k} \end{aligned}$
最後に $β \to \infty$ とすることで、上の一般項表示を得る。（証明終わり）

GLPの数値例

$\begin{aligned} L_{0}^{(α)} (x) & = 1 \\ L_{1}^{(α)} (x) & = - x + (α + 1) \\ L_{2}^{(α)} (x) & = \frac{1}{2} (x^{2} - 2 (α + 2) x + (α + 2) (α + 1)) \\ L_{3}^{(α)} (x) & = \frac{1}{6} (- x^{3} + 3 (α + 3) x^{2} - 3 (α + 3) (α + 2) x + (α + 3) (α + 2) (α + 1)) \end{aligned}$
となり非常に計算がしやすい多項式になっている。最高次係数は $\frac{(- 1)^{n}}{n!}$ である。
なお、上の計算例は次のような表示式として一般化可能である：
$\begin{array}{r} L_{n}^{(α)} (x) = \frac{1}{n!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (α + n)^{\underset{―}{n - k}} x^{k} \end{array}$

次に、GLPが満たす微分方程式について述べる。これもRodriguesの公式と関係が深かった。

GLPが満たす二階線形微分方程式

GLPは次の微分方程式を満たす： $x y^{″} + (- x + α + 1) y^{'} + n y = 0$

Rodriguesの公式からも導けるが、あえてJacobi多項式に戻ろうと思う。

Jacobi多項式が満たす微分方程式は
$\begin{array}{r} (1 - x^{2}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} P_{n}^{(α, β)} (x) - {(α + β + 2) x + α - β} \frac{d}{d x} P_{n}^{(α, β)} (x) + n (n + α + β + 1) P_{n}^{(α, β)} (x) = 0 \end{array}$
のように書き表されていた。
ここに $x \mapsto 1 - \frac{2 x}{β}$ の置換をする。
以下 ${\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) = P_{n}^{(α, β)} (1 - \frac{2 x}{β})$ とおく。すると
$\begin{aligned} {1 - {(1 - \frac{2 x}{β})}^{2}} {(- \frac{β}{2})}^{2} \frac{d^{2}}{d x^{2}} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) - {(α + β + 2) (1 - \frac{2 x}{β}) + α - β} (- \frac{β}{2}) \frac{d}{d x} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) + n (n + α + β + 1) {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) = 0 \\ \Leftrightarrow x (β - x) \frac{d^{2}}{d x^{2}} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) + {- (α + β + 2) x + (α + 1) β} \frac{d}{d x} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) + n (n + α + β + 1) {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) = 0 \\ \Leftrightarrow x (1 - \frac{x}{β}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) + {- \frac{α + β + 2}{β} x + (α + 1)} \frac{d}{d x} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) + n \frac{n + α + β + 1}{β} {\tilde{P}}_{n}^{(α, β)} (x) = 0 \end{aligned}$
最後の行は $β$ で割っただけである。そして最後に $β \to \infty$ の極限を取ると
$\begin{array}{r} x \frac{d^{2}}{d x^{2}} L_{n}^{(α)} (x) + (- x + α + 1) \frac{d}{d x} L_{n}^{(α)} (x) + n L_{n}^{(α)} (x) = 0 \end{array}$
という題意の微分方程式を得た。（証明終わり）

note: ここで(まだ示してないが実は)重さ関数 $w (x) = x^{α} e^{- x}$ を両辺に掛けると
$\begin{aligned} x y^{″} + (- x + α + 1) y^{'} + n y = 0 \\ \Leftrightarrow x^{α + 1} e^{- x} y^{″} + x^{α} e^{- x} (- x + α + 1) y^{'} + n x^{α} e^{- x} y = 0 \\ \Leftrightarrow \frac{d}{d x} (x^{α + 1} e^{- x} y^{'}) + n x^{α} e^{- x} y = 0 \end{aligned}$
となり、演算子 $L_{w} = - x^{- α} e^{x} \frac{d}{d x} (x^{α + 1} e^{- x} \frac{d}{d x})$ を定めるとGLPは $L_{w}$ の固有値 $n$ の固有多項式である。

GLPの満たす三項間漸化式

GLP $L_{n}^{(α)} (x)$ は次の三項間漸化式を満たす。
$\begin{array}{r} (n + 1) L_{n + 1}^{(α)} (x) = (- x + 2 n + α + 1) L_{n}^{(α)} (x) - (n + α) L_{n - 1}^{(α)} (x), L_{0}^{(α)} (x) = 1, L_{1}^{(α)} (x) = - x + α + 1 \end{array}$

これも同様にJacobi多項式の三項間漸化式を使う。次のように書けていた。
$\begin{aligned} 2 (n + 1) (n + α + β + 1) (2 n + α + β) P_{n + 1}^{(α, β)} (x) \\ = (2 n + α + β + 1) {(2 n + α + β) (2 n + α + β + 2) x + α^{2} - β^{2}} P_{n}^{(α, β)} (x) \\ - 2 (n + α) (n + β) (2 n + α + β + 2) P_{n - 1}^{(α, β)} (x) \end{aligned}$
さて $x = 1 - \frac{2 x}{β}$ を代入すると、中括弧内の係数が変わる。
そこだけ計算すると
$\begin{aligned} (2 n + α + β) (2 n + α + β + 2) (1 - \frac{2 x}{β}) + α^{2} - β^{2} \\ = - \frac{2}{β} (2 n + α + β) (2 n + α + β + 2) x + (2 n + α + β) (2 n + α + β + 2) + α^{2} - β^{2} \\ = - \frac{2}{β} (2 n + α + β) (2 n + α + β + 2) x + 2 (2 n + α + 1) β + (2 n + α) (2 n + α + 2) + α^{2} \end{aligned}$
[ここで $β^{2}$ の項が消えるのがポイントである]
さらに $β^{2}$ で割ると、次のようになる。
$\begin{aligned} 2 (n + 1) (1 + \frac{n + α + 1}{β}) (1 + \frac{2 n + α}{β}) P_{n + 1}^{(α, β)} (1 - \frac{2 x}{β}) \\ = (1 + \frac{2 n + α + 1}{β}) {- 2 (1 + \frac{2 n + α}{β}) (1 + \frac{2 n + α + 2}{β}) x + 2 (2 n + α + 1) + \frac{(2 n + α) (2 n + α + 2) + α^{2}}{β}} P_{n}^{(α, β)} (1 - \frac{2 x}{β}) \\ - 2 (n + α) (1 + \frac{n}{β}) (1 + \frac{2 n + α + 2}{β}) P_{n - 1}^{(α, β)} (1 - \frac{2 x}{β}) \end{aligned}$
となるので、また同様に $β \to \infty$ の極限を取ることで漸化式を得る。
初項の値については上で計算したとおりである。（証明終わり）

次に、GLPに関する直交性及びノルムの値を計算する。

GLPの直交性

GLP $L_{n}^{(α)} (x)$ は重さ関数 $w (x) = x^{α} e^{- x}$ に関する直交多項式になり、また以下の等式
$\begin{array}{r} \int_{0}^{\infty} L_{m}^{(α)} (x) L_{n}^{(α)} (x) w (x) d x = \frac{Γ (n + α + 1)}{n!} δ_{m n} \end{array}$
を満たしている。

この定理もJacobi多項式から示すことも不可能ではないが、積分の極限操作(積分範囲も動く)が必要。
(必要ならば追記予定)
直交性はRodriguesの公式からも従うが、Bessel多項式のときの証明にならって証明する。

$m \neq n$ のとき
上に記述したことから、微分演算子 $L_{w} = - x^{- α} e^{x} \frac{d}{d x} (x^{α + 1} e^{- x} \frac{d}{d x})$ を定めることで
GLPは $L_{w} L_{n}^{(α)} (x) = n L_{n}^{(α)} (x)$ を満たしていた。
よって
$\begin{aligned} n \int_{0}^{\infty} L_{m}^{(α)} (x) L_{n}^{(α)} (x) x^{α} e^{- x} d x & = \int_{0}^{\infty} L_{m}^{(α)} (x) (L_{w} L_{n}^{(α)} (x)) x^{α} e^{- x} d x \\ = - \int_{0}^{\infty} L_{m}^{(α)} (x) \frac{d}{d x} {x^{α + 1} e^{- x} \frac{d L_{n}^{(α)} (x)}{d x}} d x \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{d L_{m}^{(α)} (x)}{d x} x^{α + 1} e^{- x} \frac{d L_{n}^{(α)} (x)}{d x} d x (部分積分) \\ = m \int_{0}^{\infty} L_{m}^{(α)} (x) L_{n}^{(α)} (x) x^{α} e^{- x} d x (m と n の役割交換) \end{aligned}$
がわかり、 $m \neq n$ であったことから直交性が従う。
$m = n$ のとき
このときは(結局部分積分を $n$ 回使うので)Rodriguesの公式から示す。
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} {L_{n}^{(α)} (x)}^{2} x^{α} e^{- x} d x & = \int_{0}^{\infty} L_{n}^{(α)} (x) {\frac{1}{n!} x^{- α} e^{x} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {x^{n + α} e^{- x}}} x^{α} e^{- x} d x \\ = \frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty} L_{n}^{(α)} (x) \frac{d^{n}}{d x^{n}} {x^{n + α} e^{- x}} d x \\ = \frac{(- 1)^{n}}{n!} \int_{0}^{\infty} {\frac{d^{n}}{d x^{n}} L_{n}^{(α)} (x)} x^{n + α} e^{- x} d x (n 回部分積分) \\ = \frac{(- 1)^{n}}{n!} \int_{0}^{\infty} {n! \frac{(- 1)^{n}}{n!}} x^{n + α} e^{- x} d x (最高時係数の値を代入) \\ = \frac{1}{n!} \int_{0}^{\infty} x^{n + α} e^{- x} d x \\ = \frac{Γ (n + α + 1)}{Γ (n + 1)} (Gamma 関数の定義より) \end{aligned}$
となり示すことができた。（証明終わり）

またGLPの一階微分を計算できるのでそれも主張として掲載する。

GLPの一階微分

$n \geq 1$ のとき、GLP $L_{n}^{(α)} (x)$ の一階微分は $\frac{d}{d x} L_{n}^{(α)} (x) = - L_{n - 1}^{(α + 1)} (x)$ を満たしている。

これもJacobi多項式における一階微分の式 $\frac{d}{d x} P_{n}^{(α, β)} (x) = \frac{n + α + β + 1}{2} P_{n - 1}^{(α + 1, β + 1)} (x)$ と対応がある。
しかしここから証明するにはJacobi多項式の $x = 1$ の近傍での振る舞いの計算が必要。

こちらも前記事の証明をならって証明をする。

前記事同様に添え字を1つずらして $\frac{d}{d x} L_{n + 1}^{(α)} (x)$ を考える。
任意の $n - 1$ 次以下の多項式 $ϕ (x)$ に対して、
$\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} {\frac{d}{d x} L_{n + 1}^{(α)} (x)} ϕ (x) x^{α + 1} e^{- x} d x \\ = {[L_{n + 1}^{(α)} (x) ϕ (x) x^{α + 1} e^{- x}]}_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} L_{n + 1}^{(α)} (x) \frac{d}{d x} {ϕ (x) x^{α + 1} e^{- x}} d x \\ = - \int_{0}^{\infty} L_{n + 1}^{(α)} (x) \frac{d}{d x} {ϕ (x) x^{α + 1} e^{- x}} d x \\ = \int_{0}^{\infty} L_{n + 1}^{(α)} (x) (L_{w} Φ (x)) x^{α} e^{- x} d x = 0 \end{aligned}$
ただし $Φ$ は $ϕ$ の原始関数の一つである。また最後はGLPの直交性を用いた。
ゆえに $\frac{d}{d x} L_{n + 1}^{(α)} (x)$ は重さ関数 $x^{α + 1} e^{- x}$ で直交性を満たし、GLP $L_{n}^{(α + 1)} (x)$ と比例関係にあることがわかる。
$L_{n}^{(α)} (x)$ の最高次係数が $\frac{(- 1)^{n}}{n!}$ であることを考えると
その比例定数は-1であることがわかり示された。（証明終わり）

以上よりGLPの性質を見ることができた。

Laguerre多項式・Laguerre陪多項式

Laguerre多項式 $L_{n} (x)$ は、GLPを用いて $L_{n} (x) := L_{n}^{(0)} (x)$ と書ける多項式で、
その重さ関数は $w (x) = e^{- x}$ である。

Laguerre多項式の性質

以下は全て上の議論に $α = 0$ を代入することで求められる。

Rodriguesの公式 $L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x})$
微分方程式 $x y^{″} + (1 - x) y^{'} + n y = 0 \Leftrightarrow - e^{x} \frac{d}{d x} (x e^{- x} y^{'}) = n y$
一般項 $L_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(- n)_{k}}{(k!)^{2}} x^{k} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{(- 1)^{k}}{k!} x^{k} =:_{1} F_{1} (- n; 1, x)$
三項間漸化式 $(n + 1) L_{n + 1} (x) = (- x + 2 n + 1) L_{n} (x) - n L_{n - 1} (x), L_{0} (x) = 1, L_{1} (x) = - x + 1$
直交性 $\int_{0}^{\infty} L_{m} (x) L_{n} (x) e^{- x} d x = δ_{m n}$
一階微分 $L_{n}^{'} (x) = - L_{n - 1}^{(1)} (x) = \frac{n}{x} (L_{n} (x) - L_{n - 1} (x))$

Laguerre陪多項式 $L_{n}^{m} (x)$ はLaguerre多項式の $m$ 階微分 $L_{n}^{m} (x) := \frac{d^{m}}{d x^{m}} L_{n} (x)$ として定められる多項式である。
実はLaguerre陪多項式もGLPで書き表すことができる。
すなわち $n \geq m$ に対して $L_{n}^{m} (x) = (- 1)^{m} L_{n - m}^{(m)} (x)$ と書くことができる。

Jacobi多項式からHermite多項式へ

さて、半無限区間にJacobi多項式を実現することがLaguerreとして実現されたのであれば
全実数においてJacobi多項式を実現することは可能なのであろうか。

例えば区間 $(- β, β)$ 上に移してから $β \to \infty$ を取る？
・・・実はこれもまた一工夫必要である。

例によってRodriguesの公式に沿って見ていこうと思う。
まずはJacobi多項式の公式
$\begin{array}{r} P_{n}^{(α, β)} (x) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} (1 - x)^{- α} (1 + x)^{- β} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {(1 - x)^{n + α} (1 + x)^{n + β}} \end{array}$
において、 $α = β > 0$ とする。
前記事において名前は述べたがGegenbaur多項式と呼ばれるものである。すなわち
$\begin{array}{r} P_{n}^{(α, α)} (x) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} (1 - x^{2})^{- α} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (1 - x^{2})^{n + α} \end{array}$
さてこの状態で、区間の長さを $α^{1 / 2}$ 倍にリスケーリングする。
すなわち、 $x$ のところを $\frac{x}{α^{1 / 2}}$ としておき直すと
$\begin{array}{r} P_{n}^{(α, α)} (\frac{x}{α^{\frac{1}{2}}}) = \frac{(- 1)^{n}}{2^{n} n!} {(1 - \frac{x^{2}}{α})}^{- α} α^{n / 2} \frac{d^{n}}{d x^{n}} {(1 - \frac{x^{2}}{α})}^{n + α} \end{array}$
となる。こうすると $α \to \infty$ の極限に意味がある形になった。
なお、微分 $\frac{d^{n}}{d x^{n}}$ について、変数変換から $α^{n / 2}$ がかかってしまうので、最終的にはこれで割り直す必要がある。
また極限の値は
$\begin{array}{r} lim_{α \to \infty} {(1 - \frac{x^{2}}{α})}^{- α} = e^{x^{2}}, lim_{α \to \infty} {(1 - \frac{x^{2}}{α})}^{n + α} = e^{- x^{2}} \end{array}$
となる。すなわち次の定義を得る。

Hermite多項式

Hermite多項式 $H_{n} (x)$ は、 $H_{n} (x) := 2^{n} n! lim_{α \to \infty} α^{- n / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2})$ として定められる式とする。
またこのときRodriguesの公式
$\begin{array}{r} H_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{x^{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{- x^{2}} \end{array}$
が成り立っている。特に $H_{n} (x)$ は $n$ 次多項式である。

Hermite多項式の定義は大きく2つの流派がある。
上で定めたものは「物理学者の」Hermite多項式と呼ばれることがある。
それに対して、「確率論者の」Hermite多項式は
$\begin{array}{r} {\tilde{H}}_{n} (x) = (- 1)^{n} e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} \end{array}$
と冪の $x^{2}$ が半分ズレている。すなわち $\sqrt{2}$ 倍のリスケーリングを行っている。
$\begin{array}{r} {\tilde{H}}_{n} (x) = 2^{- \frac{n}{2}} H_{n} (\frac{x}{\sqrt{2}}) \end{array}$
と書けていることに注意する。以下では上の定義のHermite多項式 $H_{n} (x)$ を扱う。

正規分布の確率密度関数がちょうどこの形なのよね。ガウス積分。
その話は数回後で書く予定。

Hermite多項式の数表

$\begin{aligned} H_{0} (x) & = 1 \\ H_{1} (x) & = 2 x \\ H_{2} (x) & = 4 x^{2} - 2 \\ H_{3} (x) & = 8 x^{3} - 12 x \\ H_{4} (x) & = 16 x^{4} - 48 x^{2} + 12 \\ H_{5} (x) & = 32 x^{5} - 160 x^{3} + 120 x \\ H_{6} (x) & = 64 x^{6} - 480 x^{4} + 720 x^{2} - 120 \\ H_{7} (x) & = 128 x^{7} - 1344 x^{5} + 3360 x^{3} - 1680 x \\ H_{8} (x) & = 256 x^{8} - 3584 x^{6} + 13440 x^{4} - 13440 x^{2} + 1680 \\ H_{9} (x) & = 512 x^{9} - 9216 x^{7} + 48384 x^{5} - 80640 x^{3} + 30240 x \end{aligned}$

Hermite多項式の性質

以下に示すべき性質をまとめておく。

Hermite多項式の性質

微分方程式 $y^{″} - 2 x y^{'} + 2 n y = 0 \Leftrightarrow - e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}} y^{'}) = 2 n y$
三項間漸化式 $H_{n + 1} (x) = 2 x H_{n} (x) - 2 n H_{n - 1} (x), H_{0} (x) = 1, H_{1} (x) = 2 x$
直交性 $\int_{- \infty}^{\infty} H_{m} (x) H_{n} (x) e^{- x^{2}} d x = 2^{n} n! \sqrt{π} δ_{m n}$
微分 $H_{n}^{'} (x) = 2 n H_{n - 1} (x)$
一般項 $H_{n} (x) = \sum_{m = 0}^{[n / 2]} \frac{(- 1)^{m}}{m! (n - 2 m)!} (2 x)^{n - 2 m}$

微分方程式

これは先ほど同様に、Jacobi多項式の微分方程式から求める。
$\begin{array}{r} (1 - x^{2}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} P_{n}^{(α, β)} (x) - {(α + β + 2) x + α - β} \frac{d}{d x} P_{n}^{(α, β)} (x) + n (n + α + β + 1) P_{n}^{(α, β)} (x) = 0 \end{array}$
まずここで $α = β$ とおくことでGegenbaur多項式の微分方程式
$\begin{array}{r} (1 - x^{2}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} P_{n}^{(α, α)} (x) - 2 (α + 1) x \frac{d}{d x} P_{n}^{(α, α)} (x) + n (n + 2 α + 1) P_{n}^{(α, α)} (x) = 0 \end{array}$
を満たしている。次に $x \mapsto x α^{- 1 / 2}$ と変数変換することで
$\begin{aligned} (1 - x^{2} α^{- 1}) α \frac{d^{2}}{d x^{2}} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) - 2 (α + 1) x α^{- 1 / 2} \cdot α^{1 / 2} \frac{d}{d x} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) + n (n + 2 α + 1) P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) = 0 \\ \Leftrightarrow (1 - \frac{x^{2}}{α}) \frac{d^{2}}{d x^{2}} α^{- n / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) - 2 (1 + \frac{1}{α}) x \frac{d}{d x} α^{- n / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) + n (2 + \frac{n + 1}{α}) α^{- n / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) = 0 \end{aligned}$
そして最後に $α \to \infty$ の極限を取り、 $2^{n} n!$ で割る(式自体に影響はない)ことで
$\begin{array}{r} \frac{d^{2}}{d x^{2}} H_{n} (x) - 2 x \frac{d}{d x} H_{n} (x) + 2 n H_{n} (x) = 0 \end{array}$
の式を得ることができた。（証明終わり）

三項間漸化式

Jacobi多項式の三項間漸化式は
$\begin{aligned} 2 (n + 1) (n + α + β + 1) (2 n + α + β) P_{n + 1}^{(α, β)} (x) \\ = (2 n + α + β + 1) {(2 n + α + β) (2 n + α + β + 2) x + α^{2} - β^{2}} P_{n}^{(α, β)} (x) \\ - 2 (n + α) (n + β) (2 n + α + β + 2) P_{n - 1}^{(α, β)} (x) \end{aligned}$
のようであった。ここで $α = β$ とおきGegenbaur多項式の漸化式を得ると
$\begin{array}{r} (n + 1) (n + 2 α + 1) P_{n + 1}^{(α, α)} (x) = (n + α + 1) (2 n + 2 α + 1) x P_{n}^{(α, α)} (x) - (n + α) (n + α + 1) P_{n - 1}^{(α, α)} (x) \end{array}$
のように書くことができた。さらに $x \mapsto x α^{- 1 / 2}$ の変換を行うと
$\begin{array}{r} (n + 1) (n + 2 α + 1) P_{n + 1}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) = (n + α + 1) (2 n + 2 α + 1) x α^{- 1 / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) - (n + α) (n + α + 1) P_{n - 1}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) \end{array}$
次に $α^{n}$ による調整を行うことで
$\begin{array}{r} \frac{(n + 1) (n + 2 α + 1)}{α} α^{- (n + 1) / 2} P_{n + 1}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) = \frac{(n + α + 1) (2 n + 2 α + 1)}{α^{2}} x α^{- n / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) - \frac{(n + α) (n + α + 1)}{α^{2}} α^{- (n - 1) / 2} P_{n - 1}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) \end{array}$
となる。 $α \to \infty$ とすることで、 $lim_{α \to \infty} α^{- n / 2} P_{n}^{(α, α)} (x α^{- 1 / 2}) = \frac{1}{2^{n} n!} H_{n} (x)$ に注意して
$\begin{aligned} \frac{2 (n + 1)}{2^{n + 1} (n + 1)!} H_{n + 1} (x) = \frac{2 x}{2^{n} n!} H_{n} (x) - \frac{1}{2^{n - 1} (n - 1)!} H_{n - 1} (x) \\ \Leftrightarrow H_{n + 1} (x) = 2 x H_{n} (x) - 2 n H_{n - 1} (x) \end{aligned}$
となり三項間漸化式を満たすことが示された。（証明終わり）

直交性と微分は、上のLaguerreの場合同様に微分作用素 $L = - e^{x^{2}} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x})$ に関する議論で証明可能である。
一般項に関しては、Chebyshev同様に微分方程式を係数に関する漸化式とみなすのが一番いいかもしれない。