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Dijksma-Koornwinderの積分公式

前の記事において, Gegenbauerの加法定理を示した. それは積分
\begin{align} &\int_{-1}^1C_n^{(a)}\left(st+x\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}\right)C_m^{\left(a-\frac 12\right)}(x)(1-x^2)^{a-1}\,dx\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\frac{(2a-1)_m(n-m)!(a)_m^2}{m!(2a)_{n+m}}\left(4\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}\right)^mC_{n-m}^{(a+m)}(s)C_{n-m}^{(a+m)}(t) \end{align}
として表される. 特に$m=0$の場合
\begin{align} &\int_{-1}^1C_n^{(a)}\left(st+x\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}\right)(1-x^2)^{a-1}\,dx\\ &=\frac{\sqrt{\pi}\Gamma(a)}{\Gamma\left(a+\frac 12\right)}\frac{n!}{(2a)_{n}}C_{n}^{(a)}(s)C_{n}^{(a)}(t) \end{align}
となって, これは右辺の積の積分表示と考えられる. 前の記事においてもその積分をJacobi多項式に拡張したが, それは積の形にはならなかった. 今回は二重積分によってJacobi多項式の積を表す公式を示す. まずJacobi多項式は, 以下のように定義される.
\begin{align} P_n^{(a,b)}(x)&=\frac{(a+1)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{1-x}2} \end{align}
すると, 次が成り立つ.

Dijksma-Koornwinder(1971)

非負整数$n$に対し,
\begin{align} &P_n^{(a,b)}(1-2s^2)P_n^{(a,b)}(1-2t^2)\\ &=\frac{\Gamma(n+a+1)\Gamma(n+b+1)}{\pi n!(a+b+1)_n\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(b+\frac 12\right)}\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1\int_{-1}^1C_{2n}^{(a+b+1)}\left(stu+v\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}\right)(1-u^2)^{a-\frac 12}(1-v^2)^{b-\frac 12}\,dudv \end{align}
が成り立つ.

\begin{align} C_{2n}^{(a)}(x)&=(-1)^n\frac{(a)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+n)_k}{k!\left(\frac 12\right)_k}x^{2k} \end{align}
と表されるので, 右辺の積分の部分は
\begin{align} &\int_{-1}^1\int_{-1}^1C_{2n}^{(a+b+1)}\left(stu+v\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}\right)(1-u^2)^{a-\frac 12}(1-v^2)^{b-\frac 12}\,dudv\\ &=(-1)^n\frac{(a+b+1)_n}{n!}\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+n+1)_k}{k!(\frac 12)_k}\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1\int_{-1}^1\left(stu+v\sqrt{(1-s^2)(1-t^2)}\right)^{2k}(1-u^2)^{a-\frac 12}(1-v^2)^{b-\frac 12}\,dudv\\ &=(-1)^n\frac{(a+b+1)_n}{n!}\sum_{0\leq i,j}\frac{(2i+2j)!(-n,a+b+n+1)_{i+j}}{(i+j)!(2i)!(2j)!(\frac 12)_{i+j}}(st)^{2i}((1-s^2)(1-t^2))^{j}\\ &\qquad\cdot\int_{-1}^1\int_{-1}^1u^{2i}v^{2j}(1-u^2)^{a-\frac 12}(1-v^2)^{b-\frac 12}\,dudv\\ &=(-1)^n\frac{(a+b+1)_n}{n!}\sum_{0\leq i,j}\frac{(2i+2j)!(-n,a+b+n+1)_{i+j}}{(i+j)!(2i)!(2j)!(\frac 12)_{i+j}}(st)^{2i}((1-s^2)(1-t^2))^{j}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma\left(\frac 12+i\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+i+1)}\frac{\Gamma\left(\frac 12+j\right)\Gamma\left(b+\frac 12\right)}{\Gamma(b+j+1)}\\ &=(-1)^n\frac{(a+b+1)_n}{n!}\sum_{0\leq i,j}\frac{(-n,a+b+n+1)_{i+j}}{i!j!\left(\frac 12\right)_i\left(\frac 12\right)_j}(st)^{2i}((1-s^2)(1-t^2))^{j}\\ &\qquad\cdot\frac{\Gamma\left(\frac 12+i\right)\Gamma\left(a+\frac 12\right)}{\Gamma(a+i+1)}\frac{\Gamma\left(\frac 12+j\right)\Gamma\left(b+\frac 12\right)}{\Gamma(b+j+1)}\\ &=(-1)^n\frac{(a+b+1)_n}{n!}\frac{\pi\Gamma\left(a+\frac 12\right)\Gamma\left(b+\frac 12\right)}{\Gamma(a+1)\Gamma(b+1)}\sum_{0\leq i,j}\frac{(-n,a+b+n+1)_{i+j}}{i!j!(a+1)_i(b+1)_j}(st)^{2i}((1-s^2)(1-t^2))^{j}\\ \end{align}
ここで, Watsonの積公式より
\begin{align} &\sum_{0\leq i,j}\frac{(-n,a+b+n+1)_{i+j}}{i!j!(a+1)_i(b+1)_j}(st)^{2i}((1-s^2)(1-t^2))^{j}\\ &=(-1)^n\frac{(a+1)_n}{(b+1)_n}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{s^2}\F21{-n,a+b+n+1}{b+1}{t^2}\\ &=(-1)^n\frac{n!^2}{(a+1,b+1)_n}P_n^{(a,b)}(1-2s^2)P_n^{(a,b)}(1-2t^2) \end{align}
となるから, これを代入して定理を得る.

これは, Gegenbauerの加法定理と似ているが, $a=b$としてもそれに一致するわけではないようである.　証明から, 定理1はある意味でWatsonの積公式と同値であると言える.