述語論理 ①

ここで示す集合の定義は、素朴集合論に基づく直感的な説明である。
(公理的集合論における)厳密な議論では、ZF集合論などの公理系に基づく定義が用いられる。

開いた論理式(開論理式)とは、変数が残っていて、それだけでは真偽が決まらない論理式のことを言う。

全称命題 $\forall x\in S,\ P(x)$ が真であるとは、その定義からも分かる通り
$S$ の全ての元 $a\in S$ について命題 $P(a)$ が真であることをいう。
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逆に、少なくとも$1$つの $a\in S$ について命題 $P(a)$ が真でないとき、
全称命題 $\forall x\in S,\ P(x)$ は偽である。

定義域 $S$ が空集合 $S=\varnothing$ の場合、量化を含む命題の真偽は次のようになる。
$$ \forall x\in S,\ P(x)\ \text{は真} $$
実際、全称命題 $\forall x\in S\,P(x)$ は「任意の $x$ が $S$ に属するなら $P(x)$ が成り立つ」という意味であり、
形式的には
$$ \forall x\,(x\in S\Rightarrow P(x)) $$
と書ける。$S=\varnothing$ のとき、任意の $x$ に対して $x\in S$ は偽である。
含意 $A\Rightarrow B$ は $A$ が偽なら常に真(空虚に真)なので、この場合すべての含意が真となり、全称命題は真である。

$\text{s.t.}$ は英語の $\text{such that}$ の略記である。

存在命題では、少なくとも$1$つは存在している事を主張しているのであって、どの程度存在するかまでは主張していない。
しかし、ただ$1$つだけ存在する場合は、この後で触れる記号$\exists!$を用いる。

$\forall$ や $\exists$ が複数現れる命題では、量化記号の並び方や括弧の付け方によって意味が変わることがあるので注意が必要である。
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たとえば、
$$ \forall x\in\mathbb{N},\ \exists y\in\mathbb{N}\ \text{s.t.}\ y>x^2 $$
は、「任意の自然数 $x$ に対して、ある自然数 $y$ が存在して、$y>x^2$ を満たす」という命題である。
実際どんな自然数 $x$ に対しても、例えば $y=x^2+1$ とすれば $y=x^2+1>x^2$ となるので、真な命題である。
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一方で、
$$ \exists y\in\mathbb{N}\ \text{s.t.}\ \forall x\in\mathbb{N},\ y>x^2 $$
は、「ある自然数 $y$ が存在して、任意の自然数 $x$ に対して、$y>x^2$ を満たす」という命題である。
これは偽な命題である。なぜならば、もしそのような自然数 $y$ が存在したとすると、($x$は任意の自然数であるから)$x=y$ とおけば、$y>x^2=y^2$ を満たさなくてはならないが、自然数 $y$ は非負であるから $y^2\ge y$ となり $y>y^2$ は成り立たず、矛盾する。
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このように $\forall$ や $\exists$ を含む論理式は左から右へと読んでゆくことが大切で、
$\forall$ と $\exists$ の順序を入れ替えると命題の意味が変わることがある。

定義域 $S$ が空集合 $S=\varnothing$ の場合、量化を含む命題の真偽は次のようになる。
$$ \exists x\in S\ \text{s.t}\ P(x)\ \text{は偽} $$
実際、存在命題 $\exists x\in S\ \text{s.t}\ P(x)$ は「ある $x$ が $S$ に属し、かつ $P(x)$ が成り立つ」という意味であり、形式的には
$$ \exists x\,(x\in S\land P(x)) $$
と書ける。$S=\varnothing$ のとき、任意の $x$ に対して $x\in S$ は偽なので、連言 $x\in S\land P(x)$ は常に偽となり、存在命題は偽である。