素数が無限に存在することのJacobson根基を利用した証明

可換環論,代数学,素数

素数は無限に存在する

素数は無限に存在する.

紀元前に証明され, 現在これには様々な証明方法があります. 今回は, これを証明したいと思います.

証明

準備

まずは, 今回の証明で使うJacobson根基について説明します.

$R$ を可換環とする. $R$ のすべての極大イデアルの交わりをJacobson根基という. 以下, それを $J (R)$ と書く.

Jacobson根基について, 次が成り立ちます.

$J = J (R)$ とおく. $a \in J$ であるための必要十分条件は, $\forall x \in R$ に対し $1 - a x$ が $R$ 内に逆元をもつことである.

(必要) $\exists x \in R$ に対し $1 - a x$ が単元でないとすると, $1 - a x$ を含む極大イデアル $m$ が存在する. $x \in m$ であるから, $1 = 1 - a x + a x \in m$ となり, $m$ が極大イデアルであることに矛盾.

(十分) $a \notin J$ であるとする. したがって, $a$ を含まない極大イデアル $m$ が存在する. $m ⊊ m + (a) = R$ だから $\exists u \in m, \exists x \in R$ が存在して $u - a x = 1$ である. よって $1 - a x = u \in m$ となるから, $1 - a x$ が単元でないことが従う.

定理の証明

それでは, 実際に証明に移りたいとおもいます.

$J = J (Z)$ とおく. $J = (0)$ である. 実際, 命題2により $a \in J$ ならば $\forall x \in Z; 1 - a x \in U (Z) = {\pm 1}$ であることから任意の整数 $x$ に対し $a x$ は $0$ または $2$ であることが従うが, 任意の $x$ に対し $a x = 2$ となることはあり得ないため, $a x = 0$ , ゆえに $a = 0$ である. 素数が $n < \infty$ 個しかないと仮定し, そのすべてを $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ とする. すると $J = ⋂_{i = 1}^{n} p_{i} Z$ は $p_{1} p_{2} \dots p_{n} \neq 0$ を含むから $J \neq (0)$ であることが従い, 矛盾である. ゆえに素数は無限個存在する.