Partial theta functionに関するRamanujanの公式
前の記事 でAndrewsによる公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(B,-Abq;q)_n}{(-aq,-bq;q)_n}q^n&=-a^{-1}\frac{(B,-Abq;q)_{\infty}}{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(1/A;q)_n}{(-B/a;q)_{n+1}}\left(\frac{Abq}{a}\right)^n\\ &\qquad+(1+b)\sum_{0\leq n}\frac{(-1/a;q)_{n+1}(-ABq/a;q)_n}{(-B/a,Abq/a;q)_{n+1}}(-b)^n \end{align}
を示した. 今回はこれを用いてRamanujanによって得られたpartial theta functionに関する公式をいくつか示す.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(-aq,-bq;q)_n}&=\frac 1{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^{n+1}a^{-n-1}b^nq^{\frac 12n(n+1)}\\ &\qquad+\left(1+\frac 1a\right)\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^na^{-n}b^nq^{\frac 12n(n+1)}}{(-bq;q)_n} \end{align}
$A,B\to 0$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(-aq,-bq;q)_n}&=-a^{-1}\frac{1}{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^na^{-n}b^nq^{\frac 12n(n+1)}\\
&\qquad+(1+b)\sum_{0\leq n}(-1/a;q)_{n+1}(-b)^n
\end{align}
ここで, Heineの変換公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a,b;q)_n}{(c,q;q)_n}t^n&=\frac{(c/b,bt;q)_{\infty}}{(c,t;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(abt/c,b;q)_n}{(bt,q;q)_n}\left(\frac cb\right)^n
\end{align}
において, $a\mapsto -q/a, b\mapsto q, t\mapsto -b,c\to 0$とすると,
\begin{align}
(1+b)\sum_{0\leq n}(-1/a;q)_{n+1}(-b)^n&=\left(1+\frac 1a\right)\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^na^{-n}b^nq^{\frac 12n(n+1)}}{(-bq;q)_n}
\end{align}
を得る.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(-aq,-q/a;q)_n}&=(1+a)\sum_{0\leq n}a^{3n}q^{\frac 12n(3n+1)}(1-a^2q^{2n+1})\\ &\qquad-\frac 1{(-aq,-q/a;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^na^{2n+1}q^{\frac 12n(n+1)} \end{align}
系1において, $a\mapsto 1/a, b\mapsto a$とすると,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(-aq,-q/a;q)_n}&=-\frac 1{(-aq,-q/a;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^na^{2n+1}q^{\frac 12n(n+1)}\\
&+(1+a)\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^na^{2n}q^{\frac 12n(n+1)}}{(-aq;q)_n}
\end{align}
である. ここで,
Rogers-Fineの恒等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,atq/b;q)_n}{(b;q)_n(t;q)_{n+1}}(bt)^nq^{n^2-n}(1-atq^{2n})
\end{align}
において, $a\mapsto a^2q/t, b\mapsto -aq, t\to 0$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^na^{2n}q^{\frac 12n(n+1)}}{(-aq;q)_n}&=\sum_{0\leq n}a^{3n}q^{\frac 12n(3n+1)}(1-a^2q^{2n+1})
\end{align}
であるから, これを代入して示される.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{2n+1}}{(-aq,-q/a;q^2)_{n+1}}&=\sum_{0\leq n}a^{3n+1}q^{3n^2+2n}(1-aq^{2n+1})\\ &\qquad-\frac 1{(-aq,-q/a;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^na^{2n+1}q^{n(n+1)} \end{align}
系1において, $q\mapsto q^2, a\mapsto q/a, b\mapsto aq$
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n+1}}{(-aq,-q/a;q)_{n+1}}&=\frac 1{(-aq,-q/a;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}(-1)^{n+1}a^{2n+1}q^{n(n+1)}\\
&\qquad+\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^na^{2n+1}q^{n(n+1)}}{(-aq;q^2)_{n+1}}
\end{align}
を得る. ここで,
Rogers-Fineの恒等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}t^n&=\sum_{0\leq n}\frac{(a,atq/b;q)_n}{(b;q)_n(t;q)_{n+1}}(bt)^nq^{n^2-n}(1-atq^{2n})
\end{align}
において, $q\mapsto q^2, a\mapsto a^2q^2/t, b\mapsto -aq^3, t\to 0$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^na^{2n+1}q^{n(n+1)}}{(-aq;q^2)_{n+1}}&=\sum_{0\leq n}a^{3n+1}q^{3n^2+2n}(1-aq^{2n+1})
\end{align}
が得られる. よって, これを代入すればよい.
参考文献
この記事を高評価した人
投稿者
