Andrewsによる相互関係式

Heineの変換公式 より,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}q^{n(N+1)}&=\frac{1-b/q}{1-q^{N+1}}\sum_{0\leq n}\frac{(aq^{N+2};q)_n}{(q^{N+2};q)_n}\left(\frac bq\right)^n\\ &=\frac{(q;q)_N(1-b/q)(b/q)^{-N-1}}{(aq/b;q)_{N+1}}\sum_{N< n}\frac{(aq/b;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac bq\right)^n\\ &=\frac{(q;q)_N(1-b/q)(b/q)^{-N-1}}{(aq/b;q)_{N+1}}\left(\frac{(a;q)_{\infty}}{(b/q;q)_{\infty}}-\sum_{n=0}^N\frac{(aq/b;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac bq\right)^n\right)\\ \end{align}
となって示される.

\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(B,-Abq;q)_n}{(-aq,-bq;q)_n}q^n\\ &=\frac{(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(B;q)_n}{(-aq;q)_n}q^n\frac{(-bq^{n+1};q)_{\infty}}{(-Abq^{n+1};q)_{\infty}}\\ &=\frac{(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(B;q)_n}{(-aq;q)_n}q^n\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1};q)_k}{(q;q)_k}(-Abq^{n+1})^k\\ &=\frac{(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1};q)_k}{(q;q)_k}(-Abq)^k\sum_{0\leq n}\frac{(B;q)_n}{(-aq;q)_n}q^{n(k+1)} \end{align}
ここで, 補題1より
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(B;q)_n}{(-aq;q)_n}q^{n(k+1)}&=\frac{(-a)^{-k-1}(q;q)_k(B;q)_{\infty}}{(-B/a;q)_{k+1}(-aq;q)_{\infty}}-\frac{(q;q)_k(1+a)(-a)^{-k-1}}{(-B/a;q)_{k+1}}\sum_{j=0}^k\frac{(-B/a;q)_j}{(q;q)_j}(-a)^j \end{align}
だから,
\begin{align} &\frac{(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1};q)_k}{(q;q)_k}(-Abq)^k\sum_{0\leq n}\frac{(B;q)_n}{(-aq;q)_n}q^{n(k+1)}\\ &=-a^{-1}\frac{(B,-Abq;q)_{\infty}}{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1};q)_k}{(-B/a;q)_{k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^k\\ &+\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1};q)_k}{(-B/a;q)_{k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^k\sum_{j=0}^k\frac{(-B/a;q)_j}{(q;q)_j}(-a)^j \end{align}
となって第1項が出てきたので, 第2項を変形していく.
\begin{align} &\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1};q)_k}{(-B/a;q)_{k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^k\sum_{j=0}^k\frac{(-B/a;q)_j}{(q;q)_j}(-a)^j\\ &=\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j,k}\frac{(A^{-1};q)_{j+k}}{(-B/a;q)_{j+k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^{j+k}\frac{(-B/a;q)_j}{(q;q)_j}(-a)^j\\ &=\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(A^{-1};q)_{j}}{(q;q)_j}\left(-Abq\right)^{j}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1}q^j;q)_k}{(-Bq^{j}/a;q)_{k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^{k} \end{align}
ここで, Heineの変換公式 より,
\begin{align} \sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1}q^j;q)_k}{(-Bq^{j}/a;q)_{k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^{k}&=\sum_{0\leq k}\frac{(-bq/B;q)_k}{(Abq/a;q)_{k+1}}\left(-\frac{Bq^j}a\right)^k \end{align}
だから,
\begin{align} &\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(A^{-1};q)_{j}}{(q;q)_j}\left(-Abq\right)^{j}\sum_{0\leq k}\frac{(A^{-1}q^j;q)_k}{(-Bq^{j}/a;q)_{k+1}}\left(\frac{Abq}a\right)^{k}\\ &=\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq j}\frac{(A^{-1};q)_{j}}{(q;q)_j}\left(-Abq\right)^{j}\sum_{0\leq k}\frac{(-bq/B;q)_k}{(Abq/a;q)_{k+1}}\left(-\frac{Bq^j}a\right)^k\\ &=\frac{(1+a^{-1})(-Abq;q)_{\infty}}{(-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq k}\frac{(-bq/B;q)_k}{(Abq/a;q)_{k+1}}\left(-\frac{B}a\right)^k\frac{(-bq^k;q)_{\infty}}{(-Abq^{k+1};q)_{\infty}}\\ &=(1+a^{-1})\sum_{0\leq k}\frac{(-bq/B,-Abq;q)_k}{(Abq/a;q)_{k+1}(-bq;q)_k}\left(-\frac{B}a\right)^k \end{align}
ここで, Sears-Thomaeの変換公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a,b,c;q)_n}{(d,e,q;q)_n}\left(\frac{de}{abc}\right)^n=\frac{(e/a,de/ab;q)_{\infty}}{(e,de/abc;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(d/a,d/b,c;q)_n}{(d,de/ab,q;q)_n}\left(\frac ec\right)^n \end{align}
において, $a\mapsto -bq/B, b\mapsto -Abq, c\mapsto q, d\mapsto -bq, e\mapsto Abq^2/a$として,
\begin{align} &(1+a^{-1})\sum_{0\leq k}\frac{(-bq/B,-Abq;q)_k}{(Abq/a;q)_{k+1}(-bq;q)_k}\left(-\frac{B}a\right)^k\\ &=(1+b)\sum_{0\leq k}\frac{(-1/a;q)_{k+1}(-ABq/a;q)_k}{(-B/a,Abq/a;q)_{k+1}}(-b)^k \end{align}
であるから, 定理を得る.

定理1から,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(A,B;q)_n}{(-aq,-bq;q)_n}q^n&=-a^{-1}\frac{(A,B;q)_{\infty}}{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-bq/A;q)_n}{(-B/a;q)_{n+1}}\left(\frac{A}{a}\right)^n\\ &\qquad+(1+b)\sum_{0\leq n}\frac{(-1/a;q)_{n+1}(-AB/ab;q)_n}{(-A/a,-B/a;q)_{n+1}}(-b)^n \end{align}
と
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(A,B;q)_n}{(-aq,-bq;q)_n}q^n&=-b^{-1}\frac{(A,B;q)_{\infty}}{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(-aq/B;q)_n}{(-A/b;q)_{n+1}}\left(\frac{B}{b}\right)^n\\ &\qquad+(1+b^{-1})\sum_{0\leq n}\frac{(A,-aq/B;q)_n}{(-aq;q)_n(-A/b;q)_{n+1}}\left(-\frac{B}b\right)^n \end{align}
を得る. よって, 2つの式の差を考えて,
\begin{align} &a^{-1}\sum_{0\leq n}\frac{(-q/a,AB/ab;q)_n}{(-A/a,-B/a;q)_{n+1}}(-b)^n-b^{-1}\sum_{0\leq n}\frac{(A,-aq/b;q)_n}{(-a,-A/b;q)_{n+1}}\left(-\frac{B}b\right)^n\\ &=(1+a)^{-1}(1+b)^{-1}\frac{(A,B;q)_{\infty}}{(-aq,-bq;q)_{\infty}}\left(\sum_{0\leq n}\frac{(-bq/A;q)_n}{(-B/a;q)_{n+1}}(-A)^na^{-n-1}-\sum_{0\leq n}\frac{(-aq/B;q)_n}{(-A/b;q)_{n+1}}(-B)^nb^{-n-1}\right)\\ &=\frac{(A,B;q)_{\infty}}{(-a,-b;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-bq/A;q)_n}{(-B/a;q)_{n+1}}(-A)^na^{-n-1} \end{align}
ここで, Ramanujanの${}_1\psi_1$和公式 から,
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-bq/A;q)_n}{(-B/a;q)_{n+1}}(-A)^na^{-n-1}\\ &=\frac{a^{-1}}{1+\frac{B}a}\frac{(AB/ab,bq/a,a/b,q;q)_{\infty}}{(-A/b,-B/b,-Bq/a,-A/a;q)_{\infty}}\\ &=\frac{(a^{-1}-b^{-1})(AB/ab,bq/a,aq/b,q;q)_{\infty}}{(-A/b,-B/b,-B/a,-A/a;q)_{\infty}} \end{align}
であるからこれを代入して定理を得る.