文献あり

Andrewsによる相互関係式

Andrews(1981)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} q^{n (N + 1)} & = \frac{(q; q)_{N} (b / q)^{- N - 1} (a; q)_{\infty}}{(a q / b; q)_{N + 1} (b; q)_{\infty}} - \frac{(q; q)_{N} (1 - b / q) (b / q)^{- N - 1}}{(a q / b; q)_{N + 1}} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(a q / b; q)_{n}}{(q; q)_{n}} {(\frac{b}{q})}^{n} \end{aligned}$

Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q)_{n}}{(b; q)_{n}} q^{n (N + 1)} & = \frac{1 - b / q}{1 - q^{N + 1}} \sum_{0 \leq n} \frac{(a q^{N + 2}; q)_{n}}{(q^{N + 2}; q)_{n}} {(\frac{b}{q})}^{n} \\ = \frac{(q; q)_{N} (1 - b / q) (b / q)^{- N - 1}}{(a q / b; q)_{N + 1}} \sum_{N < n} \frac{(a q / b; q)_{n}}{(q; q)_{n}} {(\frac{b}{q})}^{n} \\ = \frac{(q; q)_{N} (1 - b / q) (b / q)^{- N - 1}}{(a q / b; q)_{N + 1}} (\frac{(a; q)_{\infty}}{(b / q; q)_{\infty}} - \sum_{n = 0}^{N} \frac{(a q / b; q)_{n}}{(q; q)_{n}} {(\frac{b}{q})}^{n}) \end{aligned}$
となって示される.

Andrews(1981)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(B, - A b q; q)_{n}}{(- a q, - b q; q)_{n}} q^{n} & = - a^{- 1} \frac{(B, - A b q; q)_{\infty}}{(- a q, - b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 / A; q)_{n}}{(- B / a; q)_{n + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{n} \\ + (1 + a^{- 1}) \sum_{0 \leq n} \frac{(- b q / B, - A b q; q)_{n}}{(A b q / a; q)_{n + 1} (- b q; q)_{n}} {(- \frac{B}{a})}^{n} \\ = - a^{- 1} \frac{(B, - A b q; q)_{\infty}}{(- a q, - b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(1 / A; q)_{n}}{(- B / a; q)_{n + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{n} \\ + (1 + b) \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1 / a; q)_{n + 1} (- A B q / a; q)_{n}}{(- B / a, A b q / a; q)_{n + 1}} (- b)^{n} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(B, - A b q; q)_{n}}{(- a q, - b q; q)_{n}} q^{n} \\ = \frac{(- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(B; q)_{n}}{(- a q; q)_{n}} q^{n} \frac{(- b q^{n + 1}; q)_{\infty}}{(- A b q^{n + 1}; q)_{\infty}} \\ = \frac{(- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(B; q)_{n}}{(- a q; q)_{n}} q^{n} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} (- A b q^{n + 1})^{k} \\ = \frac{(- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} (- A b q)^{k} \sum_{0 \leq n} \frac{(B; q)_{n}}{(- a q; q)_{n}} q^{n (k + 1)} \end{aligned}$
ここで, 補題1より
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(B; q)_{n}}{(- a q; q)_{n}} q^{n (k + 1)} & = \frac{(- a)^{- k - 1} (q; q)_{k} (B; q)_{\infty}}{(- B / a; q)_{k + 1} (- a q; q)_{\infty}} - \frac{(q; q)_{k} (1 + a) (- a)^{- k - 1}}{(- B / a; q)_{k + 1}} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(- B / a; q)_{j}}{(q; q)_{j}} (- a)^{j} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \frac{(- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1}; q)_{k}}{(q; q)_{k}} (- A b q)^{k} \sum_{0 \leq n} \frac{(B; q)_{n}}{(- a q; q)_{n}} q^{n (k + 1)} \\ = - a^{- 1} \frac{(B, - A b q; q)_{\infty}}{(- a q, - b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1}; q)_{k}}{(- B / a; q)_{k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{k} \\ + \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1}; q)_{k}}{(- B / a; q)_{k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{k} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(- B / a; q)_{j}}{(q; q)_{j}} (- a)^{j} \end{aligned}$
となって第1項が出てきたので, 第2項を変形していく.
$\begin{aligned} \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1}; q)_{k}}{(- B / a; q)_{k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{k} \sum_{j = 0}^{k} \frac{(- B / a; q)_{j}}{(q; q)_{j}} (- a)^{j} \\ = \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq j, k} \frac{(A^{- 1}; q)_{j + k}}{(- B / a; q)_{j + k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{j + k} \frac{(- B / a; q)_{j}}{(q; q)_{j}} (- a)^{j} \\ = \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq j} \frac{(A^{- 1}; q)_{j}}{(q; q)_{j}} {(- A b q)}^{j} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1} q^{j}; q)_{k}}{(- B q^{j} / a; q)_{k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{k} \end{aligned}$
ここで, Heineの変換公式より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1} q^{j}; q)_{k}}{(- B q^{j} / a; q)_{k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{k} & = \sum_{0 \leq k} \frac{(- b q / B; q)_{k}}{(A b q / a; q)_{k + 1}} {(- \frac{B q^{j}}{a})}^{k} \end{aligned}$
だから,
$\begin{aligned} \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq j} \frac{(A^{- 1}; q)_{j}}{(q; q)_{j}} {(- A b q)}^{j} \sum_{0 \leq k} \frac{(A^{- 1} q^{j}; q)_{k}}{(- B q^{j} / a; q)_{k + 1}} {(\frac{A b q}{a})}^{k} \\ = \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq j} \frac{(A^{- 1}; q)_{j}}{(q; q)_{j}} {(- A b q)}^{j} \sum_{0 \leq k} \frac{(- b q / B; q)_{k}}{(A b q / a; q)_{k + 1}} {(- \frac{B q^{j}}{a})}^{k} \\ = \frac{(1 + a^{- 1}) (- A b q; q)_{\infty}}{(- b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq k} \frac{(- b q / B; q)_{k}}{(A b q / a; q)_{k + 1}} {(- \frac{B}{a})}^{k} \frac{(- b q^{k}; q)_{\infty}}{(- A b q^{k + 1}; q)_{\infty}} \\ = (1 + a^{- 1}) \sum_{0 \leq k} \frac{(- b q / B, - A b q; q)_{k}}{(A b q / a; q)_{k + 1} (- b q; q)_{k}} {(- \frac{B}{a})}^{k} \end{aligned}$
ここで, Sears-Thomaeの変換公式
$\begin{array}{r} \sum_{0 \leq n} \frac{(a, b, c; q)_{n}}{(d, e, q; q)_{n}} {(\frac{d e}{a b c})}^{n} = \frac{(e / a, d e / a b; q)_{\infty}}{(e, d e / a b c; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(d / a, d / b, c; q)_{n}}{(d, d e / a b, q; q)_{n}} {(\frac{e}{c})}^{n} \end{array}$
において, $a \mapsto - b q / B, b \mapsto - A b q, c \mapsto q, d \mapsto - b q, e \mapsto A b q^{2} / a$ として,
$\begin{aligned} (1 + a^{- 1}) \sum_{0 \leq k} \frac{(- b q / B, - A b q; q)_{k}}{(A b q / a; q)_{k + 1} (- b q; q)_{k}} {(- \frac{B}{a})}^{k} \\ = (1 + b) \sum_{0 \leq k} \frac{(- 1 / a; q)_{k + 1} (- A B q / a; q)_{k}}{(- B / a, A b q / a; q)_{k + 1}} (- b)^{k} \end{aligned}$
であるから, 定理を得る.

Andrews(1981)

$\begin{aligned} a^{- 1} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q / a, A B / a b; q)_{n}}{(- A / a, - B / a; q)_{n + 1}} (- b)^{n} - b^{- 1} \sum_{0 \leq n} \frac{(A, - a q / b; q)_{n}}{(- a, - A / b; q)_{n + 1}} {(- \frac{B}{b})}^{n} \\ = \frac{(a^{- 1} - b^{- 1}) (A, B, b q / a, a q / b, q, A B / a b; q)_{\infty}}{(- a, - b, - A / a, - A / b, - B / a, - B / b; q)_{\infty}} \end{aligned}$
が成り立つ.

定理1から,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(A, B; q)_{n}}{(- a q, - b q; q)_{n}} q^{n} & = - a^{- 1} \frac{(A, B; q)_{\infty}}{(- a q, - b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- b q / A; q)_{n}}{(- B / a; q)_{n + 1}} {(\frac{A}{a})}^{n} \\ + (1 + b) \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1 / a; q)_{n + 1} (- A B / a b; q)_{n}}{(- A / a, - B / a; q)_{n + 1}} (- b)^{n} \end{aligned}$
と
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(A, B; q)_{n}}{(- a q, - b q; q)_{n}} q^{n} & = - b^{- 1} \frac{(A, B; q)_{\infty}}{(- a q, - b q; q)_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- a q / B; q)_{n}}{(- A / b; q)_{n + 1}} {(\frac{B}{b})}^{n} \\ + (1 + b^{- 1}) \sum_{0 \leq n} \frac{(A, - a q / B; q)_{n}}{(- a q; q)_{n} (- A / b; q)_{n + 1}} {(- \frac{B}{b})}^{n} \end{aligned}$
を得る. よって, 2つの式の差を考えて,
$\begin{aligned} a^{- 1} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q / a, A B / a b; q)_{n}}{(- A / a, - B / a; q)_{n + 1}} (- b)^{n} - b^{- 1} \sum_{0 \leq n} \frac{(A, - a q / b; q)_{n}}{(- a, - A / b; q)_{n + 1}} {(- \frac{B}{b})}^{n} \\ = (1 + a)^{- 1} (1 + b)^{- 1} \frac{(A, B; q)_{\infty}}{(- a q, - b q; q)_{\infty}} (\sum_{0 \leq n} \frac{(- b q / A; q)_{n}}{(- B / a; q)_{n + 1}} (- A)^{n} a^{- n - 1} - \sum_{0 \leq n} \frac{(- a q / B; q)_{n}}{(- A / b; q)_{n + 1}} (- B)^{n} b^{- n - 1}) \\ = \frac{(A, B; q)_{\infty}}{(- a, - b; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} \frac{(- b q / A; q)_{n}}{(- B / a; q)_{n + 1}} (- A)^{n} a^{- n - 1} \end{aligned}$
ここで, Ramanujanの $_{1} ψ_{1}$ 和公式から,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} \frac{(- b q / A; q)_{n}}{(- B / a; q)_{n + 1}} (- A)^{n} a^{- n - 1} \\ = \frac{a^{- 1}}{1 + \frac{B}{a}} \frac{(A B / a b, b q / a, a / b, q; q)_{\infty}}{(- A / b, - B / b, - B q / a, - A / a; q)_{\infty}} \\ = \frac{(a^{- 1} - b^{- 1}) (A B / a b, b q / a, a q / b, q; q)_{\infty}}{(- A / b, - B / b, - B / a, - A / a; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるからこれを代入して定理を得る.

定理3は,
$\begin{aligned} d \sum_{0 \leq n} \frac{(q / b c, a c d f; q)_{n}}{(a d, d f; q)_{n + 1}} (b d)^{n} - c \sum_{0 \leq n} \frac{(q / b d, a c d f; q)_{n}}{(a c, c f; q)_{n + 1}} (b c)^{n} \\ = (c - d) \frac{(q, c q / d, d q / d, a b c d, a c d f, b c d f; q)_{\infty}}{(a c, a d, c f, d f, b c, b d; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と対称的な形で書き表すこともできることがLiuの論文に書かれており, そこでは別証明が与えられている.