JMO予選整数問題を解きたい！

こんにちは、最近投稿頻度がすごいみねみねです。
いよいよJMO2027予選も間近ですね。はやいものです。

この記事には軽く、考え方と勉強順をまとめていきたいと思います。

1. 合同式を最優先でやる。

合同式は毎年必須事項なので絶対最初に勉強しましょう。

• 1 合同式のすべて
• 2 ルジャンドル記号まわりについて理解したい
• 3 p-進付値について(触りだけ)

この順番で学習していってください。

「合同式のすべて」の使い方

合同式の定義の場所で、たくさん自分で例を作ってください。
また、除算に行く前に手元にある数ⅠAの網羅系参考書で少し受験の合同式テクニックをやるのがいいです。
そしたら、除算のところに進みます。細かい証明は、一回で理解しなくていいです。あとで何回も同じ証明が出てきます。
定義と計算方法がわかったら「 合同式の除算練習 」で練習しましょう。
練習が終わったら、ここまでの復習をします。次からの章に入る前にちゃんと寝ましょう。一日寝かせておきます。
そのあとに、いよいよフェルマーの小定理です。このあたりから真面目に読んでいきましょう。練習問題は真面目に考えても先に答えを見てもいいです。
中国剰余定理も同様に練習問題は答えを見ていいです。

おまけの使い方、としては、興味があったら見てください。

「ルジャンドル記号まわりについて理解したい」の使い方

「おもしろいな〜」程度に読んでください。
そして！
後半の「第一補充法則の証明」の部分だけはちゃんと読んでください。「合同式のすべて」の復習になってます。

「p-進付値について(触りだけ)」の使い方

読むだけ読んでおいてください。練習問題は自力で解こうとしないでください。答えを眺めるだけで十分です。

2. 不等式についてそこそこ学ぶ

(重みつき)相加相乗平均の大小関係、コーシーシュワルツ(ベクトルの内積)が分かれば大丈夫です。
イェンゼンの不等式、ヤングの不等式、ネスビットの不等式なんかも知っているとベターですが、コーシーと相加相乗さえ分かれば予選はいけます。

不等式はなぜ大事なのか

整数の三大解法は、

• 因数分解
• 不等式条件
• 合同式

といわれており、これらはすべて「必要条件」を追いかけるためのもの。
整数は、「明らかに題意を満たす十分条件」を見つけ出すために、「厳しい必要条件で調べるべき整数を有限択に絞り込み、ウィニングランとしてあとは一つ一つ確かめていく」競技です。このあたりは河野玄斗はじめみんな言っていることなので受験テクニックでもどうにかなります。

3. ひたすら過去問(問題)演習

最後はこれに尽きます。
あらゆる整数問題(JMO問10くらいまで)をひたすら解きましょう。
整数の考え方がわかった状態だと、解ききれなくても解説から得られるものは大きいはずです。
「このパターンが来たらこうする」という一対一関係をひたすら構築しましょう。

また、整数の顔をした組み合わせの問題がJMOにはたくさんあります。
整数の考え方がないと、「組み合わせの問題に落とし込む」ことができないため整数っぽい問題はひたすら解きましょう。

さいごに

JMOは、(幾何を除いて)ただひたすらに過去問を解き続けることがいいかと思います。
また、受験からの現実逃避で数学しか勉強していない自分みたいな人間は、SNS(特にXにおいて顕著)で数学のコミュニティがあります。OMCの結果をツイートするだけでもたくさんの数学ファンたちと出会えるので得です。

ほんとに最後に、JMOは数学への熱意がある人が受かる競技です。
熱意があるから受かりたいのか、受かりたいから熱意を作り出すのかよく分かりませんが、数学じたいを楽しむ気持ちがもっとも私たちを成長させてくれます。
整数は比較的ドパる分野なので、いっしょにドパりましょう。