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【相対論】Weylスピノルとnullベクトル

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相対論∩スピン幾何
次の記事: Dirac spinorが作るベクトル

 4次元時空においてWeylスピノルからnullベクトルを構成でき、またその逆もできます。これは4次元時空のスピン幾何をやる上で基本的なことであり、その手の教科書にはどこにでも載ってます。このことについて解説します。

convection

σi:Pauli行列
σ0=I2
γμ:Gamma行列(chiral表現)

S=S+S:4次元Lorentzのスピノル空間
Weylスピノル:S±の元
(V,g):(1,3)型の擬Euclid空間
g=diag(1,1,1,1)(添え字の上げ下げはすべてgで行う)

Majorana form
(ψ,ϕ):=tψCϕ, C=(iσ200iσ2), iσ2=(0110)

charge conjugate
ψc=Bψ
B=(0iσ2iσ20)

 Majorana formとcharge conjugationについての基本的な公式は以下です。

(Xψ,ϕ)=(ψ,Xϕ), (ψ,ϕ)=(ϕ,ψ)(ψ,ϕ)=(ψc,ϕc)

 以下ではCl(4)の既約表現を一つとり固定し、Λ(V)CCl(4)M(4,C)を適宜同一視して議論します。

Isotropic部分空間とnullベクトル

 ϕ0Sに対して、
Tϕ:={xϕ=0; xVC}
と定義します。

x,yTϕに対して、
2g(x,y)ϕ=(xy+yx)ϕ=0
より、g(x,y)=0となります。よって(Tϕ,g)VCは退化部分空間となります。これをϕのisotropic部分空間と呼びます。

 Re(Tϕ)が0でないベクトルを持てばそれは実のnullベクトルとなります。以下ではWeylスピノルuに対して、ku=0となる実ベクトルkを構成します。

Weylスピノルとnullベクトルの対応

 uS±SをWeylスピノルとします。このときベクトル
k=a(uc,γau)ea
を考えます。
(uc,eau)=(u,(eau)c)=(u,Beau)=(u,eaBu)=(u,eauc)=(uc,eau)
なので(uc,eau)Rとなり、kは実接ベクトルとなります。
さらに次が成り立ちます。

u,v,wS±に対して、
a(uc,γav)eaw=2uc(v,w)
が成り立つ。

u,v,wS+とする。uを複素2成分の縦ベクトルと見たものもuなどと書くことにする。
a(uc,γav)eaw=(tuσμv)σμw
である。

ϵ:=iσ2とし、ε:C2×C2Cε(u,v):=tuϵvとする。またω:C2C2
ω(w):=ε(v,w)ϵu
と定義する。

ϕ1,ϕ2C2ε(ϕ1,ϕ2)=1となるC2の基底とすると、任意のϕS+に対して、
ϕ=ε(ϕ,ϕ1)ϕ2+ε(ϕ,ϕ2)ϕ1=Aε(ϕ,ϕA)ϕA
となる。ここでϵ12=ϵ21=1,ϕA=ϵABϕBとする。このときMMat(2,C)に対して、
M=12μtr(Mσμ)σμ=12μAε(MσμϕA,ϕA)σμ
である。

ωMat(2,C)と見なすと、
tr(ωσμ)=Aε(ωσμϕA,ϕA)=ε(ε(v,σμϕA)ϵu,ϕA)=ε(v,σμϕA)ε(ϵu,ϕA)=ε(σμv,ε(ϵu,ϕA)ϕA)=ε(σμv,ϵu)=ε(ϵu,σμv)=tuσμv
であるから、
a(uc,γav)eaw=2uc(v,w)
となる。

 よって次の命題が得られます。  

uS±に対して、k=a(uc,γau)eaはnullベクトルである。

補題1より
k=a(uc,γau)eaに対して、ku=uc(u,u)=0であるから、kTuはnullベクトルである。

Weylスピノルが作るNullベクトル

u=(ab00)
に対して、
k=a(uc,γau)ea=(|a|2+|b|2)e0(a¯b+b¯a)e1+i(a¯bb¯a)e2+(|a|2+|b|2)e3
となる。

 また次も分かります。

nullベクトルkに対して、k=a(uc,γau)eaとなるuS±が存在する。

(uc,eiu)=tuσiuであるから、u1,u2,u3S±tuiσjui=kjδijとなるように取れば、v=iuitvσiv=kiとなる。また(vc,eav)eaはnullベクトルであるから、k=(vc,eav)eaである。

 与えれたnullベクトルkに対して、k=a(uc,γau)eaに対して、ueiθuとしてもkは不変なので、uにはU(1)の不定性があります。

Appendix

SSの代数構造

 Majorana formに関する双対をMajorana conjugateと呼びます。すなわちψSに対して、ψ~S
ψ~(ϕ):=(ψ,ϕ)
と定義します。ϕ,ψSに対して、
ϕψ~End(S)=Cl(4)
となります。

ϕ=(abcd),ψ=(efgh)
のとき
ϕψ~=(afaeahagbfbebhbgcfcechcgdfdedhdg)
である。

 このとき次が成り立ちます。

(ψ,ωϕ)=(ωψ,ϕ), ψ,ϕS, ωCl(4)とするとき、
(i) (ϕψ~)ω=ϕωψ~
(ii) tr(ϕψ~)=(ψ,ϕ)

(i)
(ϕψ~)ωα=(ψ,ωα)ϕ=(ωψ,α)ϕ=(ϕωψ~)α

(ii)
EAをMajorana formに関する任意のo.n.b.とすると、
tr(ϕψ~)=A(EA,ϕ)(ψ,EA)=(ψ,ϕ)

Cl(4)の基底について

 eA={1, ea, eab=eaeb (a<b), eabc=eaebec (a<b<c), z=e0e1e2e3}などとします。このとき、次が成り立つことが簡単な計算で分かります。

ωCl(4)に対して、
ω=A14(1)[|A|2]+1tr(ωγA)eA
ただし、||=1,|a|=1,|ab|=2,|abc|=3,|abcd|=4である。

ϕ,ψSに対して、
ϕψ~=A14(1)[|A|2]+1(ψ,γAϕ)eA

tr((ϕψ~)eA)=(eAψ,ϕ)=(ψ,eAϕ)と公式2から従う。

投稿日:2023727
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投稿者

Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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  1. Isotropic部分空間とnullベクトル
  2. Weylスピノルとnullベクトルの対応
  3. Appendix
  4. $S\otimes S^*$の代数構造
  5. $\mathbb{C}l(4)$の基底について