【相対論】Weylスピノルとnullベクトル

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　4次元時空においてWeylスピノルからnullベクトルを構成でき、またその逆もできます。これは4次元時空のスピン幾何をやる上で基本的なことであり、その手の教科書にはどこにでも載ってます。このことについて解説します。

convection

$σ_{i} :$ Pauli行列
$σ_{0} = I_{2}$
$γ_{μ} :$ Gamma行列(chiral表現)

$S = S^{+} \oplus S^{-} :$ 4次元Lorentzのスピノル空間
Weylスピノル: $S^{\pm}$ の元
$(V, g) : (1, 3)$ 型の擬Euclid空間
$g = d i a g (- 1, 1, 1, 1)$ (添え字の上げ下げはすべて $g$ で行う)

Majorana form
$(ψ, ϕ) :=^{t} ψ C ϕ, C = (\begin{matrix} - i σ_{2} & 0 \\ 0 & i σ_{2} \end{matrix}), i σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$

charge conjugate
$ψ^{c} = B ψ^{*}$
$B = (\begin{matrix} 0 & - i σ_{2} \\ i σ_{2} & 0 \end{matrix})$

　Majorana formとcharge conjugationについての基本的な公式は以下です。

$\begin{aligned} (X ψ, ϕ) = - (ψ, X ϕ), (ψ, ϕ) = - (ϕ, ψ) \\ (ψ, ϕ)^{*} = - (ψ^{c}, ϕ^{c}) \end{aligned}$

　以下では $C l (4)$ の既約表現を一つとり固定し、 $Λ (V^{*})^{C} ≃ C l (4) ≃ M (4, C)$ を適宜同一視して議論します。

Isotropic部分空間とnullベクトル

　 $ϕ \neq 0 \in S$ に対して、
$T_{ϕ} := {x ϕ = 0; x \in V^{C}}$
と定義します。

$x, y \in T_{ϕ}$ に対して、
$- 2 g (x, y) ϕ = (x y + y x) ϕ = 0$
より、 $g (x, y) = 0$ となります。よって $(T_{ϕ}, g) \subset V^{C}$ は退化部分空間となります。これを $ϕ$ のisotropic部分空間と呼びます。

　 $Re (T_{ϕ})$ が０でないベクトルを持てばそれは実のnullベクトルとなります。以下ではWeylスピノル $u$ に対して、 $k u = 0$ となる実ベクトル $k$ を構成します。

Weylスピノルとnullベクトルの対応

　 $u \in S^{\pm} \subset S$ をWeylスピノルとします。このときベクトル
$k = \sum_{a} (u^{c}, γ^{a} u) e_{a}$
を考えます。
$(u^{c}, e_{a} u)^{*} = - (u, (e_{a} u)^{c}) = - (u, B e_{a}^{*} u^{*}) = (u, e_{a} B u^{*}) = (u, e_{a} u^{c}) = (u^{c}, e_{a} u)$
なので $(u^{c}, e_{a} u) \in R$ となり、 $k$ は実接ベクトルとなります。
さらに次が成り立ちます。

$u, v, w \in S^{\pm}$ に対して、
$\sum_{a} (u^{c}, γ^{a} v) e_{a} \cdot w = - 2 u^{c} (v, w)$
が成り立つ。

$u, v, w \in S_{+}$ とする。 $u$ を複素2成分の縦ベクトルと見たものも $u$ などと書くことにする。
$\sum_{a} (u^{c}, γ^{a} v) e_{a} \cdot w = (^{t} u^{*} σ^{μ} v) σ_{μ} w$
である。

$ϵ := - i σ_{2}$ とし、 $ε : C^{2} \times C^{2} \to C$ を $ε (u, v) :=^{t} u ϵ v$ とする。また $ω : C^{2} \to C^{2}$ を
$ω (w) := ε (v, w) ϵ u^{*}$
と定義する。

$ϕ_{1}, ϕ_{2} \in C^{2}$ を $ε (ϕ_{1}, ϕ_{2}) = 1$ となる $C^{2}$ の基底とすると、任意の $ϕ \in S_{+}$ に対して、
$ϕ = - ε (ϕ, ϕ_{1}) ϕ_{2} + ε (ϕ, ϕ_{2}) ϕ_{1} = \sum_{A} ε (ϕ, ϕ_{A}) ϕ^{A}$
となる。ここで $ϵ^{12} = - ϵ^{21} = - 1, ϕ^{A} = ϵ^{A B} ϕ_{B}$ とする。このとき $M \in M a t (2, C)$ に対して、
$M = \frac{1}{2} \sum_{μ} t r (M σ_{μ}) σ_{μ} = \frac{1}{2} \sum_{μ} \sum_{A} ε (M σ_{μ} ϕ_{A}, ϕ^{A}) σ_{μ}$
である。

$ω \in M a t (2, C)$ と見なすと、
$\begin{aligned} t r (ω σ_{μ}) & = \sum_{A} ε (ω σ_{μ} ϕ_{A}, ϕ^{A}) = ε (ε (v, σ_{μ} ϕ_{A}) ϵ u^{*}, ϕ_{A}) = ε (v, σ_{μ} ϕ_{A}) ε (ϵ u^{*}, ϕ_{A}) \\ = ε (σ^{μ} v, ε (ϵ u^{*}, ϕ_{A}) ϕ_{A}) = ε (σ^{μ} v, ϵ u^{*}) = - ε (ϵ u^{*}, σ^{μ} v) \\ = -^{t} u^{*} σ^{μ} v \end{aligned}$
であるから、
$\sum_{a} (u^{c}, γ^{a} v) e_{a} \cdot w = - 2 u^{c} (v, w)$
となる。

　よって次の命題が得られます。　

$u \in S^{\pm}$ に対して、 $k = \sum_{a} (u^{c}, γ^{a} u) e_{a}$ はnullベクトルである。

補題１より
$k = \sum_{a} (u^{c}, γ^{a} u) e_{a}$ に対して、 $k \cdot u = u^{c} (u, u) = 0$ であるから、 $k \in T_{u}$ はnullベクトルである。

Weylスピノルが作るNullベクトル

$u = (\begin{matrix} a \\ b \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$
に対して、
$k = \sum_{a} (u^{c}, γ^{a} u) e_{a} = (| a |^{2} + | b |^{2}) e_{0} - (\bar{a} b + \bar{b} a) e_{1} + i (\bar{a} b - \bar{b} a) e_{2} + (- | a |^{2} + | b |^{2}) e_{3}$
となる。

　また次も分かります。

nullベクトル $k$ に対して、 $k = \sum_{a} (u^{c}, γ^{a} u) e_{a}$ となる $u \in S^{\pm}$ が存在する。

$(u^{c}, e_{i} u) =^{t} u^{*} σ_{i} u$ であるから、 $u_{1}, u_{2}, u_{3} \in S^{\pm}$ を $^{t} u_{i}^{*} σ_{j} u_{i} = k^{j} δ_{i j}$ となるように取れば、 $v = \sum_{i} u_{i}$ は $^{t} v^{*} σ_{i} v = k_{i}$ となる。また $(v^{c}, e^{a} v) e_{a}$ はnullベクトルであるから、 $k = (v^{c}, e^{a} v) e_{a}$ である。

　与えれたnullベクトル $k$ に対して、 $k = \sum_{a} (u^{c}, γ^{a} u) e_{a}$ に対して、 $u \mapsto e^{i θ} u$ としても $k$ は不変なので、 $u$ にはU(1)の不定性があります。

Appendix

$S \otimes S^{*}$ の代数構造

　Majorana formに関する双対をMajorana conjugateと呼びます。すなわち $ψ \in S$ に対して、 $\tilde{ψ} \in S^{*}$ を
$\tilde{ψ} (ϕ) := (ψ, ϕ)$
と定義します。 $ϕ, ψ \in S$ に対して、
$ϕ \otimes \tilde{ψ} \in E n d (S) = C l (4)$
となります。

$\begin{array}{r} ϕ = (\begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ d \end{array}), ψ = (\begin{array}{c} e \\ f \\ g \\ h \end{array}) \end{array}$
のとき
$\begin{array}{r} ϕ \otimes \tilde{ψ} = (\begin{array}{c} a f & - a e & - a h & a g \\ b f & - b e & - b h & b g \\ c f & - c e & - c h & c g \\ d f & - d e & - d h & d g \end{array}) \end{array}$
である。

　このとき次が成り立ちます。

$(ψ, ω ϕ) = (ω^{†} ψ, ϕ), ψ, ϕ \in S, ω \in C l (4)$ とするとき、
(i) $(ϕ \otimes \tilde{ψ}) ω = ϕ \otimes \tilde{ω^{†} ψ}$
(ii) $t r (ϕ \otimes \tilde{ψ}) = (ψ, ϕ)$

(i)
$(ϕ \otimes \tilde{ψ}) ω α = (ψ, ω α) ϕ = (ω^{†} ψ, α) ϕ = (ϕ \otimes \tilde{ω^{†} ψ}) α$

(ii)
$E_{A}$ をMajorana formに関する任意のo.n.b.とすると、
$t r (ϕ \otimes \tilde{ψ}) = \sum_{A} (E_{A}, ϕ) (ψ, E_{A}) = (ψ, ϕ)$

$C l (4)$ の基底について

　 $e_{A} = {1, e_{a}, e_{a b} = e_{a} e_{b} (a < b), e_{a b c} = e_{a} e_{b} e_{c} (a < b < c), z = e_{0} e_{1} e_{2} e_{3}}$ などとします。このとき、次が成り立つことが簡単な計算で分かります。

$ω \in C l (4)$ に対して、
$ω = \sum_{A} \frac{1}{4} (- 1)^{[\frac{| A |}{2}] + 1} t r (ω γ^{A}) e_{A}$
ただし、 $| \cdot | = - 1, | a | = 1, | a b | = 2, | a b c | = 3, | a b c d | = 4$ である。

$ϕ, ψ \in S$ に対して、
$ϕ \otimes \tilde{ψ} = \sum_{A} \frac{1}{4} (- 1)^{[\frac{| A |}{2}] + 1} (ψ, γ^{A} ϕ) e_{A}$

$t r ((ϕ \otimes \tilde{ψ}) e_{A}) = (e_{A}^{†} ψ, ϕ) = (ψ, e_{A} ϕ)$ と公式2から従う。

投稿日：2023年7月27日

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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