相対論∩スピン幾何
次の記事:
Dirac spinorが作るベクトル
4次元時空においてWeylスピノルからnullベクトルを構成でき、またその逆もできます。これは4次元時空のスピン幾何をやる上で基本的なことであり、その手の教科書にはどこにでも載ってます。このことについて解説します。
convection
Weylスピノル:
Majorana form
charge conjugate
Majorana formとcharge conjugationについての基本的な公式は以下です。
以下では
と定義します。
より、
を考えます。
なので
さらに次が成り立ちます。
が成り立つ。
である。
と定義する。
となる。ここで
である。
であるから、
となる。
よって次の命題が得られます。
補題1より
に対して、
となる。
また次も分かります。
nullベクトル
与えれたnullベクトル
Majorana formに関する双対をMajorana conjugateと呼びます。すなわち
と定義します。
となります。
のとき
である。
このとき次が成り立ちます。
(i)
(ii)
(i)
(ii)
ただし、