【相対論】Dirac spinorが作るベクトル
相対論∩スピン幾何
前の記事：
Weylスピノルとnullベクトル
4次元時空においてDirac spinorがtimelikeとspacelikeの2種類のベクトルを定義することを説明します。記号や定義などは以前の記事を引き継いでいます。
convection
$\sigma_i:$Pauli行列
$\sigma_0=I_2$
$\gamma_\mu:$Gamma行列(chiral表現)
$\gamma_5=i\gamma_0\gamma_1\gamma_2\gamma_3$
$S=S^+\oplus S^-:$4次元Lorentzのスピノル空間
Weylスピノル:$S^\pm$の元
$(V,g):(1,3)$型の擬Euclid空間
$g={\rm diag}(-1,1,1,1)$(添え字の上げ下げはすべて$g$で行う)
Majorana form
$ (\psi,\phi):={}^t\psi C\phi,\ C=\begin{pmatrix}-i\sigma_2 & 0 \\ 0 & i\sigma_2\end{pmatrix},\ i\sigma_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}$
charge conjugate
$ \psi^c=B\psi^*$
$ B=\begin{pmatrix} 0 & -i\sigma_2 \\ i\sigma_2 & 0 \end{pmatrix}$
まず補題を２つ準備します。
$ (\phi,M\psi)(\alpha,N\beta)=(\phi,e_A\beta)(\alpha,Ne^AM\psi),\ \phi,\psi,\alpha,\beta\in S,\ M,N\in \mathbb{C}l(4)$
$$
(\phi,(M\psi\otimes\widetilde{N^\dagger\alpha})\beta)=(\phi,M\psi)(\alpha,N\beta)
$$
と
$$
(\phi,(M\psi\otimes\widetilde{N^\dagger\alpha})\beta)=(\phi,(N^\dagger\alpha,e^AM\psi)e_A\beta)=(\phi,e_A\beta)(\alpha,Ne^AM\psi)
$$
からわかる。
$(u^c,\gamma^au)(v^c,\gamma_av)=-8|(u,v)|^2,\ u,v\in S^+$
\begin{align} (u^c,\gamma^au)(v^c,\gamma_av)&=(u^c,\gamma^au)(v,\gamma_av^c)=(u^c,e_Av^c)(v,\gamma_ae^A\gamma^au)({\rm Fierz\ formula})\\ &=(u^c,v^c)(v,\gamma_a\gamma^au)+(u^c,\gamma_{cd}v^c)(v,\gamma_ae^{cd}\gamma^au)-(u^c,zv^c)(v,\gamma_az\gamma^au)\ (\because e_Aはevenしか残らない)\\ &=4(u^c,v^c)(u,v)-4(u^c,zv^c)(v,zu)\ (\because \gamma_ae^{cd}\gamma^a=0)\\ &=-4(u,v)^*(v,u)-4(u,v)^*(v,u)=-8|(u,v)|^2\ (\because zu=iu,zu^c=-iu^c) \end{align}
Diracスピノルの作るベクトルを次のように定義します。
\begin{align} J_{maj}(\psi)_s&=(\gamma_5\psi^c,\gamma^a\psi)e_a\\ J_{maj}(\psi)_t&=(\psi^c,\gamma^a\psi)e_a \end{align}
これらが実ベクトルであることは次のように分かります。
\begin{align}
&(\gamma_5\psi^c,\gamma^a\psi)^*=-((\gamma_5\psi^c)^c,(\gamma^a\psi)^c)=-(B\gamma_5^*B\psi,B(\gamma^a)^*\psi^*)=-(\gamma_5\psi,\gamma^aB\psi^*)\\
&=-(\psi,\gamma_5\gamma^a\psi^c)=(\psi,\gamma^a\gamma_5\psi^c)=-(\gamma^a\psi,\gamma_5\psi^c)=(\gamma_5\psi^c,\gamma^a\psi)\\
&(\psi^c,\gamma^a\psi)^*=-(\psi,B(\gamma^a)^*\psi^*)=(\psi,\gamma^a\psi^c)=(\psi^c,\gamma^a\psi)
\end{align}
これらのベクトルの因果的性質は次のようになります。
$ \psi=u+v^c,\ u,v\in S^+$と表すとき、$u,v$が独立なとき、
$J_{maj}(\psi)_t$はtimelikeであり、$J_{maj}(\psi)_s$はspacelikeである。
また$ \psi$がweyl spinorまたは$ u=\alpha v$ならば両方ともnullである。
\begin{align}
J_{maj}(\psi)_s&=(\gamma_5\psi^c,\gamma^a\psi)e_a=(\gamma_5u^c+\gamma_5v,\gamma^au+\gamma^av^c)e_a=(\gamma_5u^c,\gamma^au)e_a+(\gamma_5v,\gamma^av^c)e_a\\
&=-(u^c,\gamma^au)e_a+(v,\gamma^av^c)e_a
\end{align}
となり、$(u^c,\gamma^au)e_a,\ (v,\gamma^av^c)e_a$らがnullであることに注意すると、
$$
||J_{maj}(\psi)_s||^2=-2(u^c,\gamma^au)(v,\gamma^av^c)=16|(u,v)|^2\geq0
$$
となる。また
\begin{align}
J_{maj}(\psi)_t&=(u^c+v,\gamma^au+\gamma^av^c)e_a=(u^c,\gamma^au)e_a+(v,\gamma^av^c)e_a=(u^c,\gamma^au)e_a+(v^c,\gamma^av)e_a
\end{align}
であるから、
$$
||J_{maj}(\psi)_t||^2=2(u^c,\gamma^au)(v,\gamma^av^c)=-16|(u,v)|^2\le0
$$
となる。