【相対論】Dirac spinorが作るベクトル

　4次元時空においてDirac spinorがtimelikeとspacelikeの2種類のベクトルを定義することを説明します。記号や定義などは以前の記事を引き継いでいます。

convection

$σ_{i} :$ Pauli行列
$σ_{0} = I_{2}$
$γ_{μ} :$ Gamma行列(chiral表現)
$γ_{5} = i γ_{0} γ_{1} γ_{2} γ_{3}$

$S = S^{+} \oplus S^{-} :$ 4次元Lorentzのスピノル空間
Weylスピノル: $S^{\pm}$ の元
$(V, g) : (1, 3)$ 型の擬Euclid空間
$g = d i a g (- 1, 1, 1, 1)$ (添え字の上げ下げはすべて $g$ で行う)

Majorana form
$(ψ, ϕ) :=^{t} ψ C ϕ, C = (\begin{matrix} - i σ_{2} & 0 \\ 0 & i σ_{2} \end{matrix}), i σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$

charge conjugate
$ψ^{c} = B ψ^{*}$
$B = (\begin{matrix} 0 & - i σ_{2} \\ i σ_{2} & 0 \end{matrix})$

　まず補題を２つ準備します。

Fierz rearrangement formula

$(ϕ, M ψ) (α, N β) = (ϕ, e_{A} β) (α, N e^{A} M ψ), ϕ, ψ, α, β \in S, M, N \in C l (4)$

$(ϕ, (M ψ \otimes \tilde{N^{†} α}) β) = (ϕ, M ψ) (α, N β)$
と
$(ϕ, (M ψ \otimes \tilde{N^{†} α}) β) = (ϕ, (N^{†} α, e^{A} M ψ) e_{A} β) = (ϕ, e_{A} β) (α, N e^{A} M ψ)$
からわかる。

$(u^{c}, γ^{a} u) (v^{c}, γ_{a} v) = - 8 | (u, v) |^{2}, u, v \in S^{+}$

$\begin{aligned} (u^{c}, γ^{a} u) (v^{c}, γ_{a} v) & = (u^{c}, γ^{a} u) (v, γ_{a} v^{c}) = (u^{c}, e_{A} v^{c}) (v, γ_{a} e^{A} γ^{a} u) (F i e r z f o r m u l a) \\ = (u^{c}, v^{c}) (v, γ_{a} γ^{a} u) + (u^{c}, γ_{c d} v^{c}) (v, γ_{a} e^{c d} γ^{a} u) - (u^{c}, z v^{c}) (v, γ_{a} z γ^{a} u) (∵ e_{A} は e v e n しか残らない) \\ = 4 (u^{c}, v^{c}) (u, v) - 4 (u^{c}, z v^{c}) (v, z u) (∵ γ_{a} e^{c d} γ^{a} = 0) \\ = - 4 (u, v)^{*} (v, u) - 4 (u, v)^{*} (v, u) = - 8 | (u, v) |^{2} (∵ z u = i u, z u^{c} = - i u^{c}) \end{aligned}$

　Diracスピノルの作るベクトルを次のように定義します。

$\begin{aligned} J_{m a j} (ψ)_{s} & = (γ_{5} ψ^{c}, γ^{a} ψ) e_{a} \\ J_{m a j} (ψ)_{t} & = (ψ^{c}, γ^{a} ψ) e_{a} \end{aligned}$

　これらが実ベクトルであることは次のように分かります。
$\begin{aligned} (γ_{5} ψ^{c}, γ^{a} ψ)^{*} = - ((γ_{5} ψ^{c})^{c}, (γ^{a} ψ)^{c}) = - (B γ_{5}^{*} B ψ, B (γ^{a})^{*} ψ^{*}) = - (γ_{5} ψ, γ^{a} B ψ^{*}) \\ = - (ψ, γ_{5} γ^{a} ψ^{c}) = (ψ, γ^{a} γ_{5} ψ^{c}) = - (γ^{a} ψ, γ_{5} ψ^{c}) = (γ_{5} ψ^{c}, γ^{a} ψ) \\ (ψ^{c}, γ^{a} ψ)^{*} = - (ψ, B (γ^{a})^{*} ψ^{*}) = (ψ, γ^{a} ψ^{c}) = (ψ^{c}, γ^{a} ψ) \end{aligned}$

　これらのベクトルの因果的性質は次のようになります。

$ψ = u + v^{c}, u, v \in S^{+}$ と表すとき、 $u, v$ が独立なとき、
$J_{m a j} (ψ)_{t}$ はtimelikeであり、 $J_{m a j} (ψ)_{s}$ はspacelikeである。
また $ψ$ がweyl spinorまたは $u = α v$ ならば両方ともnullである。

$\begin{aligned} J_{m a j} (ψ)_{s} & = (γ_{5} ψ^{c}, γ^{a} ψ) e_{a} = (γ_{5} u^{c} + γ_{5} v, γ^{a} u + γ^{a} v^{c}) e_{a} = (γ_{5} u^{c}, γ^{a} u) e_{a} + (γ_{5} v, γ^{a} v^{c}) e_{a} \\ = - (u^{c}, γ^{a} u) e_{a} + (v, γ^{a} v^{c}) e_{a} \end{aligned}$
となり、 $(u^{c}, γ^{a} u) e_{a}, (v, γ^{a} v^{c}) e_{a}$ らがnullであることに注意すると、
$| | J_{m a j} (ψ)_{s} | |^{2} = - 2 (u^{c}, γ^{a} u) (v, γ^{a} v^{c}) = 16 | (u, v) |^{2} \geq 0$
となる。また
$\begin{aligned} J_{m a j} (ψ)_{t} & = (u^{c} + v, γ^{a} u + γ^{a} v^{c}) e_{a} = (u^{c}, γ^{a} u) e_{a} + (v, γ^{a} v^{c}) e_{a} = (u^{c}, γ^{a} u) e_{a} + (v^{c}, γ^{a} v) e_{a} \end{aligned}$
であるから、
$| | J_{m a j} (ψ)_{t} | |^{2} = 2 (u^{c}, γ^{a} u) (v, γ^{a} v^{c}) = - 16 | (u, v) |^{2} \leq 0$
となる。

投稿日：2023年7月28日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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