命題論理 ②

Prop&Proof

任意の真偽値割当
$$ v:\{P\}\to\{T,F\} $$
をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
このとき、$v(P)$ は $T,F$ のいずれかである。

1. 冪等法則 $\lor$ を示す。
   $\lor$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\lor P \\ \hline T & T \\ F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $P\lor P$ と $P$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v(P\lor P)=\hat v(P) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ P\lor P \equiv P $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 冪等法則 $\land$ を示す。
   $\land$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\land P \\ \hline T & T \\ F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $P\land P$ と $P$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v(P\land P)=\hat v(P) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ P\land P \equiv P $$
   が成り立つ。

-以上より、
$$ P\lor P \equiv P \qquad\text{かつ}\qquad P\land P \equiv P $$
である。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当
$$ v:\{P\}\to\{T,F\} $$
をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
このとき、$v(P)$ は $T,F$ のいずれかである。
$\Rightarrow$ の定義より、次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\Rightarrow P \\ \hline T & T \\ F & T \\ \hline \end{array} $$
表より、すべての場合に $P\Rightarrow P$ は真である。
したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
$$ \hat v(P\Rightarrow P)=T $$
が成り立つ。
ゆえに、
$$ P\Rightarrow P $$
は恒真式である。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当
$$ v:\{P,Q\}\to\{T,F\} $$
をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
このとき、$(v(P),v(Q))$ は
$$ (T,T),(T,F),(F,T),(F,F) $$
のいずれかである。

1. 吸収法則 $\lor,\land$ を示す。
   $\lor,\land$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & P\lor(P\land Q) \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & T \\ F & T & F & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $P\lor(P\land Q)$ と $P$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v\bigl(P\lor(P\land Q)\bigr)=\hat v(P) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ P\lor(P\land Q)\equiv P $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 吸収法則 $\land,\lor$ を示す。
   $\land,\lor$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & P\land(P\lor Q) \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & T & T \\ F & T & T & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $P\land(P\lor Q)$ と $P$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v\bigl(P\land(P\lor Q)\bigr)=\hat v(P) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ P\land(P\lor Q)\equiv P $$
   が成り立つ。

-以上より、
$$ P\lor(P\land Q)\equiv P \qquad\text{かつ}\qquad P\land(P\lor Q)\equiv P $$
である。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当
$$ v:\{P,Q\}\to\{T,F\} $$
をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
このとき、$(v(P),v(Q))$ は
$$ (T,T),(T,F),(F,T),(F,F) $$
のいずれかである。

1. 交換法則 $\lor$ を示す。
   $\lor$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & Q\lor P \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & T & T \\ F & T & T & T \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $P\lor Q$ と $Q\lor P$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v(P\lor Q)=\hat v(Q\lor P) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ P\lor Q \equiv Q\lor P $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 交換法則 $\land$ を示す。
   $\land$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & Q\land P \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & F \\ F & T & F & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $P\land Q$ と $Q\land P$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v(P\land Q)=\hat v(Q\land P) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ P\land Q \equiv Q\land P $$
   が成り立つ。

-以上より、
$$ P\lor Q \equiv Q\lor P \qquad\text{かつ}\qquad P\land Q \equiv Q\land P $$
である。
$$ \Box$$

任意の真偽値割当
$$ v:\{P,Q,R\}\to\{T,F\} $$
をとり、その論理式全体への拡張評価を $\hat v$ とする。
このとき、$(v(P),v(Q),v(R))$ は
$$ (T,T,T),(T,T,F),(T,F,T),(T,F,F), (F,T,T),(F,T,F),(F,F,T),(F,F,F) $$
のいずれかである。

1. 結合法則 $\lor$ を示す。
   $\lor$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & (P\lor Q)\lor R & P\lor(Q\lor R) \\ \hline T & T & T & T & T \\ T & T & F & T & T \\ T & F & T & T & T \\ T & F & F & T & T \\ F & T & T & T & T \\ F & T & F & T & T \\ F & F & T & T & T \\ F & F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $(P\lor Q)\lor R$ と $P\lor(Q\lor R)$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v\bigl((P\lor Q)\lor R\bigr) = \hat v\bigl(P\lor(Q\lor R)\bigr) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ (P\lor Q)\lor R \equiv P\lor(Q\lor R) $$
   が成り立つ。
   $ $
2. 結合法則 $\land$ を示す。
   $\land$ の定義より、次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & (P\land Q)\land R & P\land(Q\land R) \\ \hline T & T & T & T & T \\ T & T & F & F & F \\ T & F & T & F & F \\ T & F & F & F & F \\ F & T & T & F & F \\ F & T & F & F & F \\ F & F & T & F & F \\ F & F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より、すべての場合に $(P\land Q)\land R$ と $P\land(Q\land R)$ の真偽は一致する。
   したがって、任意の真偽値割当 $v$ とその拡張評価 $\hat v$ に対して
   $$ \hat v\bigl((P\land Q)\land R\bigr) = \hat v\bigl(P\land(Q\land R)\bigr) $$
   が成り立つ。
   ゆえに、論理的同値の定義より
   $$ (P\land Q)\land R \equiv P\land(Q\land R) $$
   が成り立つ。

-以上より、
$$ (P\lor Q)\lor R \equiv P\lor(Q\lor R) \qquad\text{かつ}\qquad (P\land Q)\land R \equiv P\land(Q\land R) $$
である。
$$ \Box$$