0
大学数学基礎解説
命題論理 ②
125
0
この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。
$$$$
Prop&Proof
命題 $P$ について次が成り立つ。
- 冪等法則（$\lor$）
$$ P\lor P \equiv P $$ - 冪等法則（$\land$）
$$ P\land P \equiv P $$
$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。
- $\lor$ について示す。$\lor$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\lor P \\ \hline T & T \\ F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $P\lor P$ と $P$ の真偽は一致する。従って
$$ P\lor P \equiv P $$
が成り立つ。 - $\land$ について示す。$\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\land P \\ \hline T & T \\ F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $P\land P$ と $P$ の真偽は一致する。従って
$$ P\land P \equiv P $$
が成り立つ。
$$ \Box$$
命題 $P$ について、
$$
P\Rightarrow P
$$
は恒真式である。
$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。$\Rightarrow$ の定義より次の真理表を得る。
$$
\begin{array}{|c|c|}
\hline
P & P\Rightarrow P \\
\hline
T & T \\
F & T \\
\hline
\end{array}
$$
表より全ての場合に $P\Rightarrow P$ は$P$ の真偽に関わらず真である、よって
$$
P\Rightarrow P
$$
は恒真式である。
$$ \Box$$
$2$つの命題 $P,Q$ について次が成り立つ。
- 吸収法則（$\lor,\land$）
$$ P\lor(P\land Q)\equiv P $$ - 吸収法則（$\land,\lor$）
$$ P\land(P\lor Q)\equiv P $$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
- $\lor,\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & P\lor(P\land Q) \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & T \\ F & T & F & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $P\lor(P\land Q)$ と $P$ の真偽は一致する。従って
$$ P\lor(P\land Q)\equiv P $$
が成り立つ。 - $\lor,\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & P\land(P\lor Q) \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & T & T \\ F & T & T & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $P\land(P\lor Q)$ と $P$ の真偽は一致する。従って
$$ P\land(P\lor Q)\equiv P $$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$2$つの命題 $P,Q$ について次が成り立つ。
- 交換法則（$\lor$）
$$ P\lor Q \equiv Q\lor P $$ - 交換法則（$\land$）
$$ P\land Q \equiv Q\land P $$
$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。
- $\lor$ について示す。$\lor$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & Q\lor P \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & T & T \\ F & T & T & T \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $P\lor Q$ と $Q\lor P$ の真偽は一致する。従って
$$ P\lor Q \equiv Q\lor P $$
が成り立つ。 - $\land$ について示す。$\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & Q\land P \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & F \\ F & T & F & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $P\land Q$ と $Q\land P$ の真偽は一致する。従って
$$ P\land Q \equiv Q\land P $$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$3$つの命題 $P,Q,R$ について次が成り立つ。
- 結合法則（$\lor$）
$$ (P\lor Q)\lor R \equiv P\lor(Q\lor R) $$ - 結合法則（$\land$）
$$ (P\land Q)\land R \equiv P\land(Q\land R) $$
$P,Q,R$ の真偽の組 $(P,Q,R)$ は $2^3=8$ 通りである。
- $\lor$ について示す。$\lor$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & (P\lor Q)\lor R & P\lor(Q\lor R) \\ \hline T & T & T & T & T \\ T & T & F & T & T \\ T & F & T & T & T \\ T & F & F & T & T \\ F & T & T & T & T \\ F & T & F & T & T \\ F & F & T & T & T \\ F & F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $(P\lor Q)\lor R$ と $P\lor(Q\lor R)$ の真偽は一致する。従って
$$ (P\lor Q)\lor R \equiv P\lor(Q\lor R) $$
が成り立つ。 - $\land$ について示す。$\land$ の定義より次の真理表を得る。
$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & (P\land Q)\land R & P\land(Q\land R) \\ \hline T & T & T & T & T \\ T & T & F & F & F \\ T & F & T & F & F \\ T & F & F & F & F \\ F & T & T & F & F \\ F & T & F & F & F \\ F & F & T & F & F \\ F & F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
表より全ての場合に $(P\land Q)\land R$ と $P\land(Q\land R)$ の真偽は一致する。従って
$$ (P\land Q)\land R \equiv P\land(Q\land R) $$
が成り立つ。
$$ \Box$$
投稿日：1月7日
更新日：17日前
この記事を高評価した人
この記事を高評価した人
高評価したユーザはいません
この記事に送られたバッジ
この記事に送られたバッジ
バッジはありません。
投稿者
投稿者
Kagura
7
4910
■ 分野を問わず数学の証明が好きです。あとで自分が読み返したときに、きちんと理解できるノートを作ることを心がけています。不定期に過去のノートを確認し、修正&更新 (追加&削除) しています。定義、命題、証明などに誤りや不正確な点がございましたら、ご指摘いただけますと幸いです(2025年12月28日)。
-----------------------------------------------
■ ノート『数学概論』の読み方
STEP1：まずは定義を一通り理解し覚える。
STEP2：具体例を考えてみる。
STEP3：各命題の主張を一通り理解する。
STEP4：証明を繰り返し読んで流れを掴む。
(まずはココまでで良い)
STEP5：何も見ずに定義に従って証明を創る。
STEP6：STEP5の他の証明方法を創ってみる。
STEP7：自由に命題と証明を創ってみる
コメント
コメント
他の人のコメント
コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中
