命題論理 ②

Prop & Proof

$P$ の真偽は $T,F$ の$2$通りである。

1. $\lor$ について示す。$\lor$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\lor P \\ \hline T & T \\ F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $P\lor P$ と $P$ の真偽は一致する。従って
   $$ P\lor P \equiv P $$
   が成り立つ。
2. $\land$ について示す。$\land$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|} \hline P & P\land P \\ \hline T & T \\ F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $P\land P$ と $P$ の真偽は一致する。従って
   $$ P\land P \equiv P $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$

$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。

1. $\lor,\land$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & P\lor(P\land Q) \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & T \\ F & T & F & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $P\lor(P\land Q)$ と $P$ の真偽は一致する。従って
   $$ P\lor(P\land Q)\equiv P $$
   が成り立つ。
2. $\lor,\land$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & P\land(P\lor Q) \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & T & T \\ F & T & T & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $P\land(P\lor Q)$ と $P$ の真偽は一致する。従って
   $$ P\land(P\lor Q)\equiv P $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$

$P,Q$ の真偽の組 $(P,Q)$ は $(T,T),(T,F),(F,T),(F,F)$ の$4$通りである。

1. $\lor$ について示す。$\lor$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\lor Q & Q\lor P \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & T & T \\ F & T & T & T \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $P\lor Q$ と $Q\lor P$ の真偽は一致する。従って
   $$ P\lor Q \equiv Q\lor P $$
   が成り立つ。
2. $\land$ について示す。$\land$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P\land Q & Q\land P \\ \hline T & T & T & T \\ T & F & F & F \\ F & T & F & F \\ F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $P\land Q$ と $Q\land P$ の真偽は一致する。従って
   $$ P\land Q \equiv Q\land P $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$

$P,Q,R$ の真偽の組 $(P,Q,R)$ は $2^3=8$ 通りである。

1. $\lor$ について示す。$\lor$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & (P\lor Q)\lor R & P\lor(Q\lor R) \\ \hline T & T & T & T & T \\ T & T & F & T & T \\ T & F & T & T & T \\ T & F & F & T & T \\ F & T & T & T & T \\ F & T & F & T & T \\ F & F & T & T & T \\ F & F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $(P\lor Q)\lor R$ と $P\lor(Q\lor R)$ の真偽は一致する。従って
   $$ (P\lor Q)\lor R \equiv P\lor(Q\lor R) $$
   が成り立つ。
2. $\land$ について示す。$\land$ の定義より次の真理表を得る。
   $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & R & (P\land Q)\land R & P\land(Q\land R) \\ \hline T & T & T & T & T \\ T & T & F & F & F \\ T & F & T & F & F \\ T & F & F & F & F \\ F & T & T & F & F \\ F & T & F & F & F \\ F & F & T & F & F \\ F & F & F & F & F \\ \hline \end{array} $$
   表より全ての場合に $(P\land Q)\land R$ と $P\land(Q\land R)$ の真偽は一致する。従って
   $$ (P\land Q)\land R \equiv P\land(Q\land R) $$
   が成り立つ。
   $$ \Box$$