Non-terminating 4φ3のq-Watson, q-Whippleの和公式
前の記事 でterminating${}_4\phi_3$の$q$-Watson, $q$-Whippleの和公式を示した. その証明の途中では, Watsonの変換公式と$q$-Dixonの和公式を用いたが, 一般にnon-terminating Watsonの変換公式を用いればそれらをnon-terminatingに拡張できることがAndrewsによって同じ論文の中で指摘されている. しかし, そこには明示的な形までは書かれていないので, ここではそれを導出しようと思う. (追記:定理2はNassrallahの1991年の論文で示されていることが分かった.)
\begin{align} &\Q43{a,b,\sqrt c,-\sqrt c}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q\\ &\qquad+\frac{(a,b,q/c;q)_{\infty}(c,abq^3/c;q^2)_{\infty}}{(aq/c,bq/c,c/q;q)_{\infty}(abq,q^2/c;q^2)_{\infty}}\Q43{aq/c,bq/c,q/\sqrt c,-q/\sqrt c}{q^2/c,q\sqrt{abq}/c,-q\sqrt{abq}/c}q\\ &=\frac{(aq,bq,q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(q,abq,aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}} \end{align}
前の記事
の定理1の証明と全く同様に
\begin{align}
&\frac{(bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q,q/c;q)_{\infty}}{(-bq,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c;q)_{\infty}}\Q87{-b,q\sqrt{-b},-q\sqrt{-b},\sqrt{bq/a},-\sqrt{bq/a},\sqrt c,-\sqrt c,b}{\sqrt{-b},-\sqrt{-b},\sqrt{abq},-\sqrt{abq},bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q}{\frac{aq}{c}}\\
&=\frac{(aq,bq,q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(q,abq,aq/c,bq/c;q^2)_{\infty}}
\end{align}
までは成り立つ. ここで,
non-terminating Watsonの変換公式
を適用すると,
\begin{align}
&\frac{(bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q,q/c;q)_{\infty}}{(-bq,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c;q)_{\infty}}\Q87{-b,q\sqrt{-b},-q\sqrt{-b},\sqrt{bq/a},-\sqrt{bq/a},\sqrt c,-\sqrt c,b}{\sqrt{-b},-\sqrt{-b},\sqrt{abq},-\sqrt{abq},bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q}{\frac{aq}{c}}\\
&=\Q43{a,\sqrt c,-\sqrt c,b}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q\\
&\qquad+\frac{(bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q,q/c;q)_{\infty}}{(-bq,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac{(-bq,a,\sqrt c,-\sqrt c,b,q\sqrt{abq}/c,-q\sqrt{abq}/c;q)_{\infty}}{(\sqrt{abq},-\sqrt{abq},bq/\sqrt c,-bq/\sqrt c,-q,aq/c,c/q;q)_{\infty}}\Q43{aq/c,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c}{q\sqrt{abq}/c,-q\sqrt{abq}/c,q^2/c}q\\
&=\Q43{a,\sqrt c,-\sqrt c,b}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q+\frac{(a,b,q/c;q)_{\infty}(c,abq^3/c;q^2)_{\infty}}{(aq/c,bq/c,c/q;q)_{\infty}(abq,q^2/c;q^2)_{\infty}}\Q43{aq/c,q/\sqrt c,-q/\sqrt c,bq/c}{q\sqrt{abq}/c,-q\sqrt{abq}/c,q^2/c}q
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
定理1の類似として
\begin{align}
&\Q43{a,b,\sqrt c,-\sqrt c}{c,\sqrt{abq},-\sqrt{abq}}q\\
&\qquad+\frac{(\sqrt{q/ab},a,b,c\sqrt{q/ab};q)_{\infty}(c;q^2)_{\infty}}{(\sqrt{aq/b},\sqrt{bq/a},-\sqrt{abq},\sqrt{ab/q},c;q)_{\infty}(cq/ab;q^2)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\Q43{\sqrt{aq/b},\sqrt{bq/a},\sqrt{cq/ab},-\sqrt{cq/ab}}{c\sqrt{q/ab},q\sqrt{q/ab},-q}{q}\\
&=\frac{(\sqrt{q/ab},\sqrt{abq};q)_{\infty}(aq,bq,cq/a,cq/b;q^2)_{\infty}}{(\sqrt{aq/b},\sqrt{bq/a};q)_{\infty}(q,abq,cq,cq/ab;q^2)_{\infty}}
\end{align}
がNassrallahの1991年の論文で示されている.
\begin{align} &\Q43{a,q/a,\sqrt c,-\sqrt c}{-q,e,cq/e}{q}\\ &\qquad+\frac{(a,q/a,e^2/c,e/c,-eq/c;q)_{\infty}(c;q^2)_{\infty}}{(-q,ae/c,eq/ac,e,c/e;q)_{\infty}(e^2/c;q^2)_{\infty}}\Q43{ae/c,eq/ac,e/\sqrt c,-e/\sqrt c}{e^2/c,eq/c,-eq/c}{q}\\ &=\frac{(e/c;q)_{\infty}(ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(e;q)_{\infty}(ae/c,eq/ac;q^2)_{\infty}} \end{align}
前の記事
の定理2の証明と全く同様に,
\begin{align}
&\frac{(ae/\sqrt c,-ae/\sqrt c,-e,e/c;q)_{\infty}}{(-ae,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c;q)_{\infty}}\Q87{-\frac{ae}{q},q\sqrt{-\frac{ae}q},-q\sqrt{-\frac{ae}q},\frac{ae}q,-a,\sqrt c,-,\sqrt c,a}{\sqrt{-\frac{ae}q},-\sqrt{-\frac{ae}q},-q,e,-ae/\sqrt c,ae/\sqrt c,-e}{\frac{eq}{ac}}\\
&=\frac{(e/c;q)_{\infty}(aeq/c,ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(ae/c,e;q)_{\infty}(eq/ac;q^2)_{\infty}}\\
&=\frac{(e/c;q)_{\infty}(ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(e;q)_{\infty}(ae/c,eq/ac;q^2)_{\infty}}
\end{align}
までは成り立つ. ここで,
non-terminating Watsonの変換公式
より
\begin{align}
&\frac{(ae/\sqrt c,-ae/\sqrt c,-e,e/c;q)_{\infty}}{(-ae,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c;q)_{\infty}}\Q87{-\frac{ae}{q},q\sqrt{-\frac{ae}q},-q\sqrt{-\frac{ae}q},\frac{ae}q,-a,\sqrt c,-,\sqrt c,a}{\sqrt{-\frac{ae}q},-\sqrt{-\frac{ae}q},-q,e,-ae/\sqrt c,ae/\sqrt c,-e}{\frac{eq}{ac}}\\
&=\Q43{q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{cq/e,-q,e}{q}\\
&\qquad+\frac{(ae/\sqrt c,-ae/\sqrt c,-e,e/c;q)_{\infty}}{(-ae,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c;q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac{(-ae,q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a,-eq/c,e^2/c;q)_{\infty}}{(-q,e,-ae/\sqrt c,ae/\sqrt c,-e,eq/ac,c/e;q)_{\infty}}\Q43{eq/ac,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c}{-eq/c,e^2/c,eq/c}{q}\\
&=\Q43{q/a,\sqrt c,-\sqrt c,a}{cq/e,-q,e}{q}+\frac{(a,q/a,e/c,-eq/c,e^2/c;q)_{\infty}(c;q^2)_{\infty}}{(-q,ae/c,eq/ac,e,c/e;q)_{\infty}(e^2/c;q^2)_{\infty}}\Q43{eq/ac,e/\sqrt c,-e/\sqrt c,ae/c}{-eq/c,e^2/c,eq/c}{q}
\end{align}
となって示すべき等式が得られた.
$q$積分表示
$q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とすると, 定理1は
\begin{align}
\int_{q/c}^1\frac{(ct,tq;q)_{\infty}(abtq;q^2)_{\infty}}{(at,bt;q)_{\infty}(ct;q^2)_{\infty}}\,d_qt&=\frac{(q^2,cq,q/c,abq/c;q^2)_{\infty}}{(a,b,aq/c,bq/c;q)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えることができる. 同様に, 定理2は
\begin{align}
\int_{e/c}^1\frac{(et,ctq/e;q)_{\infty}}{(at,tq/a;q)_{\infty}}\frac{(tq^2;q^2)_{\infty}}{(ct;q^2)_{\infty}}\,d_qt&=\frac{(e/c,cq/e;q)_{\infty}}{(a,q/a;q)_{\infty}}\frac{(q^2,ae,eq/a;q^2)_{\infty}}{(c,ae/c,eq/ac;q^2)_{\infty}}
\end{align}
と書き換えることができる.
