【スピン幾何】Clifford代数と外積代数
conventioin
$V\simeq\mathbb{R}^{t+s}:\mathbb{R}$-ベクトル空間、$dim V=n=t+s$
$g:V$上の$(t,s)$型の計量、$g$の負の固有値の個数が$t$個(timelikeのt)、正の固有値の個数が$s$個(spacelikeのs)
$Cl(V),Cl_{(t,s)}:(V,g)$から作られるClifford代数
$\Lambda^*V:V$の外積代数
$\iota:$外積代数の内部積
Clifford代数と外積代数の関係を述べます。$Cl(V)$の表現を行列環に取る方法以外にも$End(\Lambda^*V)$に表現を作ることができることを確認します。このことは多様体上のCliffordバンドルの切断と微分形式にも利用されることがしばしばあります。
\begin{align}
\phi:V\to &End(\Lambda^*V)\\
v\mapsto&\phi(v):=[\alpha\mapsto v\wedge\alpha-\iota_v\alpha]
\end{align}
はClifford代数の準同型$Cl(V)\to End(\Lambda^*V)$を定める。
\begin{align}
&(\phi(v)\phi(w)+\phi(w)\phi(v))\alpha \\
=&\phi(v)(w\wedge\alpha-\iota_w\alpha)+\phi(w)(v\wedge\alpha-\iota_v\alpha)\\
=& v\wedge w\wedge\alpha-v\wedge\iota_w\alpha-\iota_v(w\wedge\alpha)-\iota_v\iota_w\alpha
+w\wedge v\wedge\alpha-w\wedge\iota_v\alpha-\iota_w(v\wedge\alpha)-\iota_w\iota_v\alpha\\
=&-(\iota_vw)\alpha-(\iota_wv)\alpha=-2g(v,w)\alpha
\end{align}
であるから、普遍性より$\phi$はClifford代数の準同型$Cl(V)\to End(\Lambda^*V)$を定める。
$\phi(Cl(V))1=\Lambda^*V$が成り立つ。すなわち$\Lambda^*V$は有限生成$Cl(V)$加群である。特に線形同型$Cl(V)\simeq \Lambda^*V$が成り立つ。
命題１の$\phi$を使って、$q:Cl(V)\to\Lambda^*V$を
$$
x\mapsto \phi(x)1
$$
と定義する。$(V,g)$の正規直交基底を$\{e_1,\cdots,e_n\}$とし、$\{e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}\}$を$\Lambda^*V$の基底とすると、
$$
q(e_{i_1} \cdots e_{i_k})=e_{i_1}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}
$$
であり、明らかに全単射であるから線形同型である。
$q^{-1}$を量子化写像と呼ぶことがあり、Clifford代数は外積代数の量子化とみなされます。