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【スピン幾何】Clifford代数と外積代数

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  スピノルの基本事項

conventioin
VRt+s:R-ベクトル空間、dimV=n=t+s
g:V上の(t,s)型の計量、gの負の固有値の個数がt個(timelikeのt)、正の固有値の個数がs個(spacelikeのs)
Cl(V),Cl(t,s):(V,g)から作られるClifford代数
ΛV:Vの外積代数
ι:外積代数の内部積

 Clifford代数と外積代数の関係を述べます。Cl(V)の表現を行列環に取る方法以外にもEnd(ΛV)に表現を作ることができることを確認します。このことは多様体上のCliffordバンドルの切断と微分形式にも利用されることがしばしばあります。

Cl(V)End(ΛV)

ϕ:VEnd(ΛV)vϕ(v):=[αvαιvα]
はClifford代数の準同型Cl(V)End(ΛV)を定める。

(ϕ(v)ϕ(w)+ϕ(w)ϕ(v))α=ϕ(v)(wαιwα)+ϕ(w)(vαιvα)=vwαvιwαιv(wα)ιvιwα+wvαwιvαιw(vα)ιwιvα=(ιvw)α(ιwv)α=2g(v,w)α
であるから、普遍性よりϕはClifford代数の準同型Cl(V)End(ΛV)を定める。

Clifford加群としての外積代数

ϕ(Cl(V))1=ΛVが成り立つ。すなわちΛVは有限生成Cl(V)加群である。特に線形同型Cl(V)ΛVが成り立つ。

命題1のϕを使って、q:Cl(V)ΛV
xϕ(x)1
と定義する。(V,g)の正規直交基底を{e1,,en}とし、{ei1eik}ΛVの基底とすると、
q(ei1eik)=ei1eik
であり、明らかに全単射であるから線形同型である。

 q1を量子化写像と呼ぶことがあり、Clifford代数は外積代数の量子化とみなされます。

投稿日:2023717
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Submersion
Submersion
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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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