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大学数学基礎解説
述語論理 ⑤
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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。
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はじめに
こちら ① に、これまでに作成した数学ノートをシリーズとしてまとめています(※)。
※ 読み進める順番は、ページ下部（古い記事）から上部（新しい記事）へです。
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こちら ➁ に、証明を進めるうえでのポイントを随時まとめています。必要に応じて参照してください。
こちら ③ に、数学における基本用語を随時まとめています。必要に応じて参照してください。
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Def.
定義
命題 $P,Q$ について考える。
- $P$ が $Q$ の十分条件であるとは
$$ P\Rightarrow Q $$
が成り立つことをいう。このとき $Q$ は $P$ の必要条件であるともいう。
$ $ - $P$ が $Q$ の必要条件であるとは
$$ Q\Rightarrow P $$
が成り立つことをいう。このとき $Q$ は $P$ の十分条件であるともいう。
$ $ - $P$ が $Q$ の必要十分条件であるとは
$$ P\Leftrightarrow Q $$
が成り立つことをいう。
Prop & Proof
練習
$2$つの実数 $a$ と $b$ に対し、
「$a = b$」であるための必要十分条件は「任意の正の実数 $\varepsilon > 0$ に対し $|a - b| < \varepsilon$」である。
必要性と十分性を示す。
- 必要性（「$a=b$」ならば「$\forall\varepsilon>0,\;|a-b|<\varepsilon$」）
$a=b$ とする。このとき $a-b=0$ だから、任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し
$$ |a-b| = |0| = 0 < \varepsilon $$
となる。よって必要性が示された。
$ $ - 十分性（「$\forall\varepsilon>0,\;|a-b|<\varepsilon$」ならば「$a=b$」）
任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し $|a-b|<\varepsilon$ が成り立つとする。
もしも $a\neq b$ ならば $|a-b|>0$ であるから、たとえば
$$ \varepsilon := \frac{|a-b|}{2}\ (>0) $$
と取ると、仮定より $|a-b|<\varepsilon = |a-b|/2$ となり矛盾する。
したがって(背理法より) $a=b$ である。
$$ \Box$$
練習
$2$つの実数 $a$ と $b$ に対し、
「$a \leq b$」であるための必要十分条件は「任意の正の実数 $\varepsilon > 0$ に対し $a < b + \varepsilon$」である。
必要性と十分性を示す。
- 必要性（「$a\le b$」ならば「$\forall\varepsilon>0,\;a < b+\varepsilon$」）
$a\le b$ とする。このとき任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し
$$ b + \varepsilon > b \ge a \quad\Longrightarrow\quad a < b + \varepsilon $$
となる。よって必要性が示された。
$ $ - 十分性（「$\forall\varepsilon>0,\;a < b+\varepsilon$」ならば「$a\le b$」）
任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し $a < b+\varepsilon$ が成り立つとする。
もしも $a > b$ であれば $a-b>0$ だから、たとえば
$$ \varepsilon := a-b\ (>0) $$
と取ると、仮定より
$$ a < b + \varepsilon = b + (a-b) = a $$
となり矛盾する。
したがって $a\le b$ である。
$$ \Box$$
投稿日：16日前
更新日：5日前
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投稿者
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かぐら
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集合論の勉強から再度始める事にしました。自分自身がいつ読み返しても理解できるようなノート作りをコンセプトにしています。証明や命題に誤りなどがありましたら、ご指摘いただけると幸いです (2025年12月28日)。
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