述語論理 ⑤

Def.

Prop & Proof

必要性と十分性を示す。

1. 必要性（「$a=b$」ならば「$\forall\varepsilon>0,\;|a-b|<\varepsilon$」）
   $a=b$ とする。このとき $a-b=0$ だから、任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し
   $$ |a-b| = |0| = 0 < \varepsilon $$
   となる。よって必要性が示された。
   $ $
2. 十分性（「$\forall\varepsilon>0,\;|a-b|<\varepsilon$」ならば「$a=b$」）
   任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し $|a-b|<\varepsilon$ が成り立つとする。
   もしも $a\neq b$ ならば $|a-b|>0$ であるから、たとえば
   $$ \varepsilon := \frac{|a-b|}{2}\ (>0) $$
   と取ると、仮定より $|a-b|<\varepsilon = |a-b|/2$ となり矛盾する。
   したがって(背理法より) $a=b$ である。
   $$ \Box$$

必要性と十分性を示す。

1. 必要性（「$a\le b$」ならば「$\forall\varepsilon>0,\;a < b+\varepsilon$」）
   $a\le b$ とする。このとき任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し
   $$ b + \varepsilon > b \ge a \quad\Longrightarrow\quad a < b + \varepsilon $$
   となる。よって必要性が示された。
   $ $
2. 十分性（「$\forall\varepsilon>0,\;a < b+\varepsilon$」ならば「$a\le b$」）
   任意の正の実数 $\varepsilon>0$ に対し $a < b+\varepsilon$ が成り立つとする。
   もしも $a > b$ であれば $a-b>0$ だから、たとえば
   $$ \varepsilon := a-b\ (>0) $$
   と取ると、仮定より
   $$ a < b + \varepsilon = b + (a-b) = a $$
   となり矛盾する。
   したがって $a\le b$ である。
   $$ \Box$$