実数体の部分群
$G < \mathbb{R}$を非自明な部分群とすると，$G\cap\mathbb{R}_{>0}\neq \varnothing$より，$a\coloneqq \inf(G\cap\mathbb{R}_{>0})\in\mathbb{R}_{\geq 0}$が定まる．このとき次が成り立つ：
- $a>0$ならば，$a\in G$であり，$G=a\mathbb{Z}$となる；
- $a=0$ならば，$\cl{G}=\mathbb{R}$となる．
-
- もし$a\notin G$であったとすると，$g,g'\in G\cap\mathbb{R}_{>0}$であって
$$ a < g < g' < 2a \quad\leadsto\quad 0 < \underbrace{g'-g}_{\in G} < 2a-a=a$$
なるものが存在することになり不合理である．よって$a\in G$であり，$a=\min(G\cap\mathbb{R}_{>0})$が成り立つ． - 任意の$g\in G$に対して，$n\coloneqq \lfloor g/a \rfloor \in \mathbb{Z}$とおくと
$$ g-an\in G,\ 0 \leq g-an < a \quad\leadsto\quad g=an \in a\mathbb{Z}$$
が成り立つので，$G=a\mathbb{Z}$となる．
- もし$a\notin G$であったとすると，$g,g'\in G\cap\mathbb{R}_{>0}$であって
- $x\in\mathbb{R},\,\varepsilon>0$とする．このとき，$g\in G\cap\mathbb{R}_{>0}$であって$0< g<\varepsilon$なるものが存在するので，$n\coloneqq \lfloor x/g \rfloor \in\mathbb{Z}$とおくと，$ng\in G$であり
$$ x-\varepsilon < x-g < ng \leq x < x+\varepsilon$$
が成り立つ．
- $\mathbb{R}$の離散部分群は巡回群である；
- $\mathbb{R}$の非可算部分群は稠密である；
- $\mathbb{R}$の閉部分群は$a\mathbb{Z},\,\mathbb{R}$のいづれかに一致する；
- $\mathbb{R}$の開部分群は$\mathbb{R}$のみである．
- $G<\mathbb{R}$を離散部分群とすると，$\varepsilon>0$であって$G\cap[0,\varepsilon] = \{0\}$なるものが存在するので，$a\geq \varepsilon>0$となる．
- 明らか．
- 明らか．
- $G<\mathbb{R}$を開部分群とすると，$G$は$0$の或る近傍を含むので，とくに非可算である．また，一般に位相群の開部分群は（その積作用による軌道分解を考えることで）閉部分群でもある（ことがわかる）ので，前段より，$G=\mathbb{R}$となる．
$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$を定数でない周期函数とする：
$$
P\coloneqq\{p\in\mathbb{R} \mid \forall\,x\in\mathbb{R},\ f(x+p)=f(x)\}\neq \{0\}.$$
このとき，$f$が連続ならば，最小の正の周期$a\in P\cap\mathbb{R}_{>0}$が存在して$P = a\mathbb{Z}$が成り立つ．
明らかに$0\in P$であり，任意の$p,p_{1},p_{2} \in P$に対して
\begin{align}
f(x-p) &= f((x-p)+p) = f(x);\\
f(x+(p_{1}+p_{2})) &= f(x+p_{1}) = f(x);
\end{align}
が成り立つので，$P<\mathbb{R}$は非自明な部分群である．また，
$$
\forall\,p\in P,\ f(p) = f(0+p) = f(0) \quad\leadsto\quad f|P:\text{constant}$$
が成り立つので，$P\subset\mathbb{R}$が稠密であるとすると，$f$の連続性より$f$は定数函数となって仮定に反する．
任意の無理数$\theta\in\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}$に対して，部分群$\theta\mathbb{Z}+\mathbb{Z}<\mathbb{R}$は稠密である：実際，$\theta\mathbb{Z}+\mathbb{Z}=\prescript{\exists}{}a\mathbb{Z}$とすると，$\theta,1\in a\mathbb{Z}$より
$$
\exists\,m,n\in\mathbb{Z},\ \theta = am ,\ 1=an\quad\leadsto\quad \theta = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$$
となって不合理である．
$\theta\mathbb{Z}+\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$も稠密である：
- $\theta\mathbb{Z}=(-\theta)\mathbb{Z}$より，$\theta>0$としてよい．
- $x\in\mathbb{R},\varepsilon>0$とし，$m_{0}\coloneqq \lfloor x/\theta \rfloor \in \mathbb{Z}$とおく：
$$ \theta m_{0} \leq x < \theta(m_{0}+1).$$ - $\theta\mathbb{Z}+\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$の稠密性より，$m,n\in\mathbb{Z}$であって
$$ |\theta m+n|<\varepsilon$$
なるものが存在する．必要なら$(-m,-n)$を考えることで，$n\in\mathbb{N}$としてよい． -
- $\alpha\coloneqq \theta m+n > 0$のとき，$k\coloneqq \lfloor (x-\theta m_{0})/\alpha \rfloor\in\mathbb{N}$とおくと
$$ 0 \leq x-\theta m_{0}-k\alpha < \alpha \quad\leadsto\quad -\varepsilon < x-(\theta(m_{0}+km)+kn) < \varepsilon$$
が成り立つ． - $\alpha<0$のとき，$\ell\coloneqq \lfloor (x-\theta(m_{0}+1))/\alpha \rfloor \in \mathbb{N}$とおくと
$$ \alpha < x-\theta(m_{0}+1) - \ell\alpha \leq 0 \quad\leadsto\quad -\varepsilon < x-(\theta(m_{0}+1+\ell m)+\ell n) < \varepsilon$$
が成り立つ．
- $\alpha\coloneqq \theta m+n > 0$のとき，$k\coloneqq \lfloor (x-\theta m_{0})/\alpha \rfloor\in\mathbb{N}$とおくと
上の議論を$\theta'\coloneqq \theta-\lfloor\theta\rfloor\in\mathbb{R}_{>0}\smallsetminus\mathbb{Q}$および$x'\coloneqq x-\lfloor x \rfloor\in\mathbb{R}_{>0}$に適用すると，$m_{0}=\lfloor x'/\theta' \rfloor\in\mathbb{N}$であり，[3]において$m\in\mathbb{N}$としてよいので，$N\in\mathbb{N},M\in\mathbb{Z}$であって
$$
|(\theta'N+M)-x'| < \varepsilon \quad\leadsto\quad |(\theta N -\lfloor\theta\rfloor N+M+\lfloor x \rfloor) - x|<\varepsilon$$
なるものが存在することがわかる．よって，$\theta\mathbb{N}+\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}$も稠密である．
$2\pi\mathbb{Z}+\mathbb{N}\subset\mathbb{R}$の稠密性と正弦函数の連続性より
$$
[-1,1]=\sin(\mathbb{R}) = \sin(\cl(2\pi\mathbb{Z}+\mathbb{N})) \subset \cl\sin(2\pi\mathbb{Z}+\mathbb{N}) = \cl\sin(\mathbb{N}) \subset [-1,1]$$
が成り立つので，$\{\sin{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\subset[-1,1]$は稠密である．同様にして$\{\cos{n}\mid n\in\mathbb{N}\}\subset[-1,1]$が稠密であることもわかる．よって，$\{e^{n\sqrt{-1}}\mid n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{S}^{1}$は稠密である．
無限部分群$H<\mathbb{S}^{1}$は稠密である：実際，全射連続群準同型
$$
f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{S}^{1};\ t \mapsto e^{2\pi t\sqrt{-1}}$$
による$H$の逆像$f^{-1}(H)<\mathbb{R}$に対して$G\coloneqq f^{-1}(H)+\mathbb{Z}<\mathbb{R}$は稠密なので，$f$の連続性により
$$
\mathbb{S}^{1} = f(\mathbb{R}) = f(\cl{G}) \subset \cl{f(G)} = \cl{H} \subset \mathbb{S}^{1}$$
が成り立つ．したがって，たとへば無理数$\theta\in\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}$に対して， 部分群$\langle e^{2\pi\theta\sqrt{-1}}\rangle <\mathbb{S}^{1}$は稠密である．
無理数$\theta\in\mathbb{R}\smallsetminus\mathbb{Q}$に対して，連続写像$f_{\theta} \colon \mathbb{R}\to\mathbb{T}^{2}$を
$$
f_{\theta}(t) \coloneqq (e^{2\pi t\sqrt{-1}},e^{2\pi \theta t\sqrt{-1}})$$
で定めると，その像$f_{\theta}(\mathbb{R})\subset\mathbb{T}^{2}$は稠密である：実際，$x,y\in\mathbb{R},\,n,m\in\mathbb{Z}$に対して
$$
\left\|f_{\theta}(n+x)-(e^{2\pi x\sqrt{-1}},e^{2\pi y\sqrt{-1}})\right\| = \left|e^{2\pi\theta(n+x)\sqrt{-1}}-e^{2\pi y\sqrt{-1}}\right| = \left|e^{2\pi(\theta n+m -(y-\theta x))\sqrt{-1}}-1\right|$$
が成り立つので，指数函数の連続性とkrより，与られた$x,y\in\mathbb{R},\varepsilon>0$に対して適当に$n,m\in\mathbb{Z}$を選べば，右辺を$\varepsilon$より小さくすることができる．
