x^n+px+q の判別式
$m$次正方行列$A_{11},A_{12},A_{21},A_{22}$について，$A_{11}$が可逆ならば，
$$
\det_{2m} \begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix} = \det_{m} A_{11} \cdot \det_{m}(A_{22}-A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})$$
が成り立つ．
仮定より
$$
\begin{bmatrix}
A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
E_{m} & -A_{11}^{-1}A_{12} \\ O_{m} & E_{m}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
A_{11} & O_{m} \\ A_{21} & A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}
\end{bmatrix}$$
が成り立つので，両辺のディターミナントを取ることで結論を得る．
多項式$f \coloneqq x^{n} + px + q$の判別式$D(f)$について
$$
D(f) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}((-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}p^{n} +n^{n}q^{n-1})$$
が成り立つ．
$f$と$f' = nx^{n-1} + p$との終結式$R(f,f')$を計算すると，
\begin{align}
R(f,f')
&= \det_{2n-1}\begin{bmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 & p & q &&& \\
& \ddots &&&&& \ddots && \\
&& \ddots &&&&& \ddots & \\
&&& 1 & 0 & \cdots & 0 & p & q \\
n & 0 & \cdots & 0 & p &&&& \\
& \ddots &&&& \ddots &&& \\
&& \ddots &&&& \ddots && \\
&&& n & 0 & \cdots & 0 & p & \\
&&&& n & 0 & \cdots & 0 & p
\end{bmatrix}\\
&= (-1)^{(2n-1)+n}n \cdot \det_{2n-2}\begin{bmatrix}
1 &&&& q &&& \\
& 1 &&& p & q && \\
&& \ddots && & \ddots & \ddots & \\
&&& 1 & && p & q \\
n &&&& 0 &&& \\
& n &&& p & 0 && \\
&& \ddots && & \ddots & \ddots & \\
&&& n & && p & 0 \\
\end{bmatrix}
+ (-1)^{(2n-1)+(2n-1)}p \cdot \det_{2n-2}\begin{bmatrix}
1 &&&& p & q && \\
& \ddots &&& & \ddots & \ddots & \\
&& 1 && && p & q \\
&&& 1 & &&& p \\
n &&&& p &&& \\
& \ddots &&& & \ddots && \\
&& n && && p & \\
&&& n & &&& p \\
\end{bmatrix} \\
&= (-1)^{n-1}n \cdot \det_{n-1} \begin{bmatrix}
-nq && \\
\ast & \ddots & \\
& \ast & -nq
\end{bmatrix}
+ p \cdot \det_{n-1} \begin{bmatrix}
(1-n)p & \ast & \\
& \ddots & \ast \\
&& (1-n)p
\end{bmatrix}\\
&= (-1)^{n-1}n(-nq)^{n-1} + p ((1-n)p)^{n-1} \\
&= n^{n}q^{n-1} + (-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}p^{n}
\end{align}
となる（3つめの等号のところでblockを用いた）．よって
$$
D(f) = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}R(f,f') = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}((-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}p^{n} +n^{n}q^{n-1})$$
を得る（cf. satakep.74, 系）．
- $D(x^{2} +px+q) = -(-p^{2} + 4q) = p^{2}-4q$.
- $D(x^{3} +px+q) = -(4p^{3}+27q^{2}) = -4p^{3} - 27q^{2}$.
- $D(x^{4} +px+q) = -27p^{4} + 256q^{3}$.
- $D(x^{5} +px+q) = 256p^{5} + 3125q^{4}$.
