文献あり

要素がa_i b_jの行列の固有多項式

以前の私の記事 [1]では，要素が全部$a$の行列の固有多項式を，対合を作ることで計算しました (下記定理1)．

行列$A_n$を，要素が全部$a$の$n\times n$行列とする ($a$は定数)．すると，以下が成り立つ．
\begin{align} \det(A_n-xI_n)=(-1)^n(x^n-nax^{n-1}). \end{align}

以前の記事 [1]で使った対合には追加で重みを入れることができ，同じ対合を使って以下も示せます．本稿では以下の定理2を示します．

$n\times n$行列$B_n$を
\begin{align} B_n=\left(a_ib_j\right)_{i,j=1}^n \end{align}
と定める．すると，以下が成り立つ．
\begin{align} \det(B_n-xI_n)=(-1)^n\left(x^n-x^{n-1} \sum_{i=1}^na_ib_i\right). \end{align}

$B_{i,j}$で行列$B_n$の第$(i,j)$成分を表す．
任意の$i,j$と任意の$x,y$に対して，
(式番号☆) $B_{x,i}B_{y,j}=B_{x,j}B_{y,i}$
が成り立てば，以前の記事 [1]で作った対合を使って定理が示せる．
行列$B_n$は式☆が成り立つように作ってある．
（証明終わり）