文献あり

要素がa_i b_jの行列の固有多項式

以前の私の記事 [1]では，要素が全部 $a$ の行列の固有多項式を，対合を作ることで計算しました (下記定理1)．

行列 $A_{n}$ を，要素が全部 $a$ の $n \times n$ 行列とする ( $a$ は定数)．すると，以下が成り立つ．
$\begin{array}{r} \det (A_{n} - x I_{n}) = (- 1)^{n} (x^{n} - n a x^{n - 1}) . \end{array}$

以前の記事 [1]で使った対合には追加で重みを入れることができ，同じ対合を使って以下も示せます．本稿では以下の定理2を示します．

$n \times n$ 行列 $B_{n}$ を
$\begin{array}{r} B_{n} = {(a_{i} b_{j})}_{i, j = 1}^{n} \end{array}$
と定める．すると，以下が成り立つ．
$\begin{array}{r} \det (B_{n} - x I_{n}) = (- 1)^{n} (x^{n} - x^{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i}) . \end{array}$

$B_{i, j}$ で行列 $B_{n}$ の第 $(i, j)$ 成分を表す．
任意の $i, j$ と任意の $x, y$ に対して，
(式番号☆) $B_{x, i} B_{y, j} = B_{x, j} B_{y, i}$
が成り立てば，以前の記事 [1]で作った対合を使って定理が示せる．
行列 $B_{n}$ は式☆が成り立つように作ってある．
（証明終わり）