森田『代数概論』第Ⅱ章 例4.2を理解しよう② シローの定理とその応用
この記事は、「森田『代数概論』第Ⅱ章 例4.2を理解しよう」シリーズの第2回となります。
第1回はこちら
あらすじ
$p,q$ を素数とし、$p>q$, $(q-1) \nmid p$とする。このとき位数$pq$の群はアーベル群である。
という命題の証明が『代数概論』(森田康夫 著)に載っており、その証明を読み解くことが目標でした。証明の全文は第1回の記事を参照して下さい。今回の目標は、第一段落を読み解くことです。
前回の記事で、
- 有限群の構造を調べる際、正規部分群が見つかれば嬉しい
- 正規部分群を見つけるには、ある部分群と共役な部分群が自身しかないことを言えばよい
- 共役な部分群の個数を数える手がかりとして、正規化群とシローの定理がある
ということを述べました。正規化群については前回見たので、今回はシローの定理について見ていきます。
シローの定理
まずは関連する用語の確認から。
$p$を素数とする。位数が$p$のべきである群を$p$-群と呼ぶ。
$\{1\}$も$p$-群であるとします。
$p$を素数とする。群$G$の部分群で$p$-群であるようなものを$G$の$p$-部分群という
$G$を有限群とし、$p$を素数とする。$|G|=p^nm$ ($n$は$0$以上の整数、$m$は$p$と互いに素な整数)と表したとき、位数が$p^n$であるような$G$の部分群をシロー$p$-部分群という。
つまりシロー$p$-部分群は、考え得る最大の位数を持った$p$-部分群です。
$G$を有限群とし、$p$を素数とする。このとき
(1) $G$の任意の$p$-部分群$H$に対し、$H$を含む$G$のシロー$p$-部分群が存在する($H=\{1\}$でもよい)。
(2) シロー$p$-部分群はすべて互いに共役である。
(3) シロー$p$-部分群の個数は $kp+1$ ($k$は整数)の形である。
特に(1)より、任意の有限群、および任意の素数$p$に対し、$G$のシロー$p$-部分群が存在します。証明は、代数学のテキストなら大体載っていると思うので、そちらを参照して下さい。
直感的に納得するのは難しいと思います。単に道具として使うものだと割り切ってしまうのが良いでしょう。
シローの定理は、有限群の構造を調べる際の強力な道具になります。
$G$を有限群、$P$を$G$のシロー$p$-部分群としたとき、$P$と共役な部分群の個数について考えてみます。まず、シローの定理(2)から、「$P$と共役な部分群」は「$G$のシロー$p$-部分群」と言っても同じです。さらにシローの定理(3)とあわせれば、
- $P$と共役な部分群の個数は$kp+1$ ($k$は整数) の形
が得られます。一方、前回学んだことから、
- $P$と共役な部分群の個数は指数$[G : P]$の約数
でもあります。この2つにより、共役な部分群の個数をかなり絞り込むことができます。
具体的な数で例を見ておきましょう。
$G$を位数$75$の群とする。$G$のシロー$5$-部分群$P$が正規部分群であることを示せ。
解答:
シローの定理より、$P$と共役な部分群の個数は$5k+1$ ($k$は整数) の形である。一方$P$と共役な部分群の個数は$[G : P] = 75/25 =3$の約数でもある。これらの条件から、$P$と共役な部分群は1つしかないとわかる。したがって、$P$は$G$の正規部分群である。
これが、有限群の構造を調べる際の典型的な手法の1つです。
なお、この手法がいつでもうまくいくとは限りません。例えば位数$75$の群$G$にはシロー$3$-部分群も存在しますが、同じ方法を使うと、共役な部分群の個数は
- $3k+1$ ($k$は整数) の形
- $25$ の約数
となり、$1$と$25$の2択になってしまいます。なお、シロー$3$-部分群が正規部分群になる例、ならない例がいずれも存在します。
『代数概論』第Ⅱ章 例4.2 第一段落
ではいよいよ、『代数概論』の例の第一段落を見ていきます。と言っても、実はやっていることは上の問題1と同じです。
まずは全体を表示します。
$p,q$を$p>q$なる素数とし、$G$を位数$pq$の有限群とする。このときシローの定理より、$G$はシロー$p$-部分群$P$を含む。$G\supset N_G(P) \supset P$かつ$[G:P]=q$は素数であるから、$N_G(P)=G$または$N_G(P)=P$となる。ところが、シローの定理より、$P$と共役な$G$の部分群の個数$[G:N_G(P)]$は$kp+1$の形であり、$1$でなければ$p$より大である。よって$[G:N_G(P)]=1$だから、$N_G(P)=G$となり、$P$は$G$の正規部分群となる。
細かく見ていきます。
$p,q$を$p>q$なる素数とし、$G$を位数$pq$の有限群とする。このときシローの定理より、$G$はシロー$p$-部分群$P$を含む。
ここまでは良いでしょう。
次にいきなり正規化群$N_G(P)$が登場しますが、その背景には
$P$が正規部分群であることを示したい
↓
$P$と共役な部分群が$P$しかないことを示せば良い
↓
$P$と共役な部分群を数えるには正規化群の位数、指数を求めれば良い
という狙いがある訳です。
$G\supset N_G(P) \supset P$かつ$[G:P]=q$は素数であるから、
$G \supset N_G(P) \supset P$は前回示しました。$[G:P]=q$は素数というのも良いでしょう。
$[G:P]=q$が素数であることから、$P$を含む$G$の部分群は$G$と$P$しかないということになります。よって
$N_G(P)=G$または$N_G(P)=P$となる。
が成り立ちます。なお、それぞれの場合で指数$[G : N_G(P)]$は$1,q$となります。
ところが、シローの定理より、$P$と共役な$G$の部分群の個数$[G:N_G(P)]$は$kp+1$の形であり、$1$でなければ$p$より大である。
「$P$と共役な$G$の部分群の個数」が$[G:N_G(P)]$であるというのは前回見ました。あとはシローの定理(2),(3)ですね。
ここまでで、指数$[G : N_G(P)]$について
- $1$または$q$
- $1$でなければ$p$より大
ということが分かったので、$p > q$とあわせて、$[G : N_G(P)]=1$となります。
よって$[G:N_G(P)]=1$だから、$N_G(P)=G$となり、$P$は$G$の正規部分群となる。
前回、「$P$は$N_G(P)$の正規部分群」ということを述べました。これと$N_G(P)=G$から、$P$は$G$の正規部分群だと言えるわけです。
以上が『代数概論』の例の第一段落です。
問題1と同じように、「シロー$p$-部分群をとり、正規化群の性質とシローの定理を用いて共役な部分群が1つしかないことを示す」という流れになっています。なので、知った上で見れば、単によくある手法を使っているだけなのだと分かります。
今回はここまでとします。
次回は部分群の積、半直積について解説し、第二段落を見ていきます。
