森田『代数概論』第Ⅱ章 例4.2を理解しよう② シローの定理とその応用

　この記事は、「森田『代数概論』第Ⅱ章 例4.2を理解しよう」シリーズの第2回となります。
　 第1回はこちら

あらすじ

という命題の証明が『代数概論』(森田康夫　著)に載っており、その証明を読み解くことが目標でした。証明の全文は第1回の記事を参照して下さい。今回の目標は、第一段落を読み解くことです。

　前回の記事で、

• 有限群の構造を調べる際、正規部分群が見つかれば嬉しい
• 正規部分群を見つけるには、ある部分群と共役な部分群が自身しかないことを言えばよい
• 共役な部分群の個数を数える手がかりとして、正規化群とシローの定理がある

ということを述べました。正規化群については前回見たので、今回はシローの定理について見ていきます。

シローの定理

まずは関連する用語の確認から。

$\{1\}$も$p$-群であるとします。

つまりシロー$p$-部分群は、考え得る最大の位数を持った$p$-部分群です。

特に(1)より、任意の有限群、および任意の素数$p$に対し、$G$のシロー$p$-部分群が存在します。証明は、代数学のテキストなら大体載っていると思うので、そちらを参照して下さい。
　直感的に納得するのは難しいと思います。単に道具として使うものだと割り切ってしまうのが良いでしょう。

　シローの定理は、有限群の構造を調べる際の強力な道具になります。
　$G$を有限群、$P$を$G$のシロー$p$-部分群としたとき、$P$と共役な部分群の個数について考えてみます。まず、シローの定理(2)から、「$P$と共役な部分群」は「$G$のシロー$p$-部分群」と言っても同じです。さらにシローの定理(3)とあわせれば、

• $P$と共役な部分群の個数は$kp+1$ ($k$は整数) の形

が得られます。一方、前回学んだことから、

• $P$と共役な部分群の個数は指数$[G:P]$の約数

でもあります。この2つにより、共役な部分群の個数をかなり絞り込むことができます。

　具体的な数で例を見ておきましょう。

これが、有限群の構造を調べる際の典型的な手法の1つです。
　なお、この手法がいつでもうまくいくとは限りません。例えば位数$75$の群$G$にはシロー$3$-部分群も存在しますが、同じ方法を使うと、共役な部分群の個数は

• $3k+1$ ($k$は整数) の形
• $25$ の約数

となり、$1$と$25$の2択になってしまいます。なお、シロー$3$-部分群が正規部分群になる例、ならない例がいずれも存在します。

『代数概論』第Ⅱ章 例4.2 第一段落

ではいよいよ、『代数概論』の例の第一段落を見ていきます。と言っても、実はやっていることは上の問題1と同じです。
　まずは全体を表示します。

　$p,q$を$p>q$なる素数とし、$G$を位数$pq$の有限群とする。このときシローの定理より、$G$はシロー$p$-部分群$P$を含む。$G\supset N_G(P)\supset P$かつ$[G:P]=q$は素数であるから、$N_G(P)=G$または$N_G(P)=P$となる。ところが、シローの定理より、$P$と共役な$G$の部分群の個数$[G:N_G(P)]$は$kp+1$の形であり、$1$でなければ$p$より大である。よって$[G:N_G(P)]=1$だから、$N_G(P)=G$となり、$P$は$G$の正規部分群となる。

細かく見ていきます。

　$p,q$を$p>q$なる素数とし、$G$を位数$pq$の有限群とする。このときシローの定理より、$G$はシロー$p$-部分群$P$を含む。

ここまでは良いでしょう。

次にいきなり正規化群$N_G(P)$が登場しますが、その背景には

$P$が正規部分群であることを示したい
　↓
$P$と共役な部分群が$P$しかないことを示せば良い
　↓
$P$と共役な部分群を数えるには正規化群の位数、指数を求めれば良い

という狙いがある訳です。

$G\supset N_G(P)\supset P$かつ$[G:P]=q$は素数であるから、

$G\supset N_G(P)\supset P$は前回示しました。$[G:P]=q$は素数というのも良いでしょう。

$[G:P]=q$が素数であることから、$P$を含む$G$の部分群は$G$と$P$しかないということになります。よって

$N_G(P)=G$または$N_G(P)=P$となる。

が成り立ちます。なお、それぞれの場合で指数$[G:N_G(P)]$は$1,q$となります。

ところが、シローの定理より、$P$と共役な$G$の部分群の個数$[G:N_G(P)]$は$kp+1$の形であり、$1$でなければ$p$より大である。

「$P$と共役な$G$の部分群の個数」が$[G:N_G(P)]$であるというのは前回見ました。あとはシローの定理(2),(3)ですね。

ここまでで、指数$[G:N_G(P)]$について

• $1$または$q$
• $1$でなければ$p$より大

ということが分かったので、$p>q$とあわせて、$[G:N_G(P)]=1$となります。

よって$[G:N_G(P)]=1$だから、$N_G(P)=G$となり、$P$は$G$の正規部分群となる。

前回、「$P$は$N_G(P)$の正規部分群」ということを述べました。これと$N_G(P)=G$から、$P$は$G$の正規部分群だと言えるわけです。

以上が『代数概論』の例の第一段落です。

　問題1と同じように、「シロー$p$-部分群をとり、正規化群の性質とシローの定理を用いて共役な部分群が1つしかないことを示す」という流れになっています。なので、知った上で見れば、単によくある手法を使っているだけなのだと分かります。

今回はここまでとします。
次回は部分群の積、半直積について解説し、第二段落を見ていきます。