10ψ10の部分和の隣接関係式
$a^4q^2=b_1\cdots b_8$に対し,
\begin{align}
\Omega_m(a|b_1,\dots,b_8):=\sum_{m\leq n}\frac{(1-aq^{2n})(b_1,\dots,b_8;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_8;q)_n}q^n
\end{align}
と定義する. 今回は以下の公式を示す.
$a^4q^2=b_1\cdots b_6gh$に対し,
\begin{align}
\Omega_m:=\Omega_m(g,h)&:=\Omega_m(a|b_1,\dots,b_6,g,h)\\
A_g&:=\frac{(1-h)(1-a/h)\prod_{i=1}^6(1-aq/b_ig)}{(1-hq/g)(1-q/g)(1-aq/g)(1-aq/gh)(1-h/g)}\\
A_h&:=\frac{(1-g)(1-a/g)\prod_{i=1}^6(1-aq/b_ih)}{(1-gq/h)(1-q/h)(1-aq/h)(1-aq/gh)(1-g/h)}\\
C&:=\frac 1{1-a}\left(\frac{\prod_{i=1}^6(1-b_i)}{(1-aq/g)(1-aq/h)}-\frac{\prod_{i=1}^6(1-a/b_i)}{(1-g/q)(1-h/q)}\right)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
&A_g(\Omega_m(g/q,hq)-\Omega_m)+A_h(\Omega_m(gq,h/q)-\Omega_m)+C\Omega_m\\
&=\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_{\infty}}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_{\infty}}-\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_m}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_m}\frac{\prod_{i=1}^6(1-aq^m/b_i)}{(1-gq^{m-1})(1-hq^{m-1})}
\end{align}
が成り立つ.
これは Gupta-Massonの隣接関係式 の一般化である.
\begin{align}
u_n:=u_n(g,h):=\frac{(1-aq^{2n})(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_n}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_n}q^n
\end{align}
として, $y:=q^n$とすると
\begin{align}
\frac{u_{n+1}}{u_n}&=\frac{1-ay^2q^2}{1-ay^2}\left(\prod_{i=1}^6\frac{1-b_iy}{1-ayq/b_i}\right)\frac{(1-gy)(1-hy)}{(1-ayq/g)(1-ayq/h)}q\\
\frac{u_n(g/q,hq)}{u_n}&=\frac{(1-g/q)(1-hy)(1-aq/g)(1-ay/h)}{(1-gy/q)(1-h)(1-ayq/g)(1-a/h)}=:R_g(y)\\
\frac{u_n(gq,h/q)}{u_n}&=\frac{(1-h/q)(1-gy)(1-aq/h)(1-ay/g)}{(1-hy/q)(1-g)(1-ayq/h)(1-a/g)}=:R_h(y)\\
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
H(y):=\frac{\prod_{i=1}^6(1-ay/b_i)}{y(1-ay^2)(1-gy/q)(1-hy/q)}
\end{align}
とすると
\begin{align}
\frac{u_{n+1}}{u_n}H(yq)&=\frac{\prod_{i=1}^6(1-b_iy)}{y(1-ay^2)(1-ayq/g)(1-ayq/h)}\\
\end{align}
となり, $y$に関する有理関数の間の等式
\begin{align}
&\frac{u_{n+1}}{u_n}H(yq)-H(y)\\
&=\frac 1{y(1-ay^2)}\left(\frac{\prod_{i=1}^6(1-b_iy)}{(1-ayq/g)(1-ayq/h)}-\frac{\prod_{i=1}^6(1-ay/b_i)}{(1-gy/q)(1-hy/q)}\right)\\
&=A_g(R_g(y)-1)+A_h(R_h(y)-1)+C
\end{align}
が成り立つことが確認できる. 両辺に$u_n$を掛けて$n=m$から$\infty$まで足し合わせると, 望遠鏡和により,
\begin{align}
&A_g(\Omega_m(g/q,hq)-\Omega_m)+A_h(\Omega_m(gq,h/q)-\Omega_m)+C\Omega_m\\
&=\lim_{n\to\infty}u_nH(q^n)-u_mH(q^m)\\
&=\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_{\infty}}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_{\infty}}-\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_m}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_m}\frac{\prod_{i=1}^6(1-aq^m/b_i)}{(1-gq^{m-1})(1-hq^{m-1})}
\end{align}
となって示すべき等式を得る.
二重和の隣接関係式
定理1において, 特に級数がterminatingの場合は第1項が消えて,
\begin{align}
&A_g(\Omega_m(g/q,hq)-\Omega_m)+A_h(\Omega_m(gq,h/q)-\Omega_m)+C\Omega_m\\
&=-\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_m}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_m}\frac{\prod_{i=1}^6(1-aq^m/b_i)}{(1-gq^{m-1})(1-hq^{m-1})}
\end{align}
となる. $g$または$h$が$q^{-N}$の形であるとして,
\begin{align}
F:=F(g,h):=\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m-1})(a/q,a/b_1,\dots,a/b_6,aq/gh;q)_m}{(q,b_1,\dots,b_6,gh/q;q)_m}q^m\Omega_m(a|b_1,\dots,b_6,g,h)
\end{align}
とする. このとき, 上の漸化式を足し合わせることにより,
\begin{align}
&A_g(F(g/q,hq)-F)+A_h(F(gq,h/q)-F)+CF\\
&=-\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m-1})(a/q,a/b_1,\dots,a/b_6,aq/gh;q)_m}{(q,b_1,\dots,b_6,gh/q;q)_m}q^m\\
&\qquad\cdot\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h;q)_m}{(aq/b_1,\dots,aq/b_6,aq/g,aq/h;q)_m}\frac{\prod_{i=1}^6(1-aq^m/b_i)}{(1-gq^{m-1})(1-hq^{m-1})}\\
&=-\frac{\prod_{i=1}^6(1-a/b_i)}{(1-g/q)(1-h/q)}\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m-1})(a/q,g/q,h/q,aq/gh)_m}{(q,aq/g,aq/h,gh/q;q)_m}q^m
\end{align}
ここで, $g$または$h$が$q^{-N}$の形であると仮定していたので, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より
\begin{align}
&\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m-1})(a/q,g/q,h/q,aq/gh)_m}{(q,aq/g,aq/h,gh/q;q)_m}q^m\\
&=\frac{(a/q,g,h,aq^2/gh;q)_{\infty}}{(aq/g,aq/h,gh/q,q;q)_{\infty}}\\
&=0
\end{align}
となる. よって以下を得る.
$a^4q^2=b_1\cdots b_6gh$とする. $g,h$の一方が非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
F:=F(g,h):=\sum_{0\leq m}\frac{(1-aq^{2m-1})(a/q,a/b_1,\dots,a/b_6,aq/gh;q)_m}{(q,b_1,\dots,b_6,gh/q;q)_m}q^m\Omega_m(a|b_1,\dots,b_6,g,h)
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&A_g(F(g/q,hq)-F)+A_h(F(gq,h/q)-F)+CF=0
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
A_g&:=\frac{(1-h)(1-a/h)\prod_{i=1}^6(1-aq/b_ig)}{(1-hq/g)(1-q/g)(1-aq/g)(1-aq/gh)(1-h/g)}\\
A_h&:=\frac{(1-g)(1-a/g)\prod_{i=1}^6(1-aq/b_ih)}{(1-gq/h)(1-q/h)(1-aq/h)(1-aq/gh)(1-g/h)}\\
C&:=\frac 1{1-a}\left(\frac{\prod_{i=1}^6(1-b_i)}{(1-aq/g)(1-aq/h)}-\frac{\prod_{i=1}^6(1-a/b_i)}{(1-g/q)(1-h/q)}\right)
\end{align}
である.
${}_4\psi_4$の隣接関係式
$b_1\cdots b_4q^2=c_1\cdots c_4$として,
\begin{align}
\Lambda_m(b_1,\dots,b_4|c_1,\dots,c_4):=\sum_{m\leq n}\frac{(b_1,\dots,b_4;q)_n}{(c_1,\dots,c_4;q)_n}q^n
\end{align}
とする. このとき, 以下が成り立つ.
$b_1\cdots b_4q^2=c_1\cdots c_4$として,
\begin{align}
\Lambda_m=\Lambda_m(g,h)&:=\Lambda_m(b_1,b_2,g,h|c_1,c_2,c_3,c_4)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
&\frac{(1-h)\prod_{i=1}^4(1-c_i/g)}{(1-hq/g)(1-q/g)(1-h/g)}(\Lambda_m(g/q,hq)-\Lambda_m)\\
&\qquad+\frac{(1-g)\prod_{i=1}^4(1-c_i/h)}{(1-gq/h)(1-q/h)(1-g/h)}(\Lambda_m(gq,h/q)-\Lambda_m)\\
&\qquad+\left((1-b_1)(1-b_2)-\frac{\prod_{i=1}^4(1-c_i/q)}{(1-g/q)(1-h/q)}\right)\Lambda_m\\
&=\frac{(b_1,b_2,g,h;q)_{\infty}}{(c_1,c_2,c_3,c_4;q)_{\infty}}-\frac{(b_1,b_2;q)_m(g,h;q)_{m-1}}{(c_1,c_2,c_3,c_4;q)_{m-1}}
\end{align}
が成り立つ.
これは Askey-Wilsonの隣接関係式 の一般化である.
定理1において, $b_3,b_4,b_5,b_6$を$aq/c_1,aq/c_2,aq/c_3,aq/c_4$に置き換えて$a\to 0$とすると, 示すべき等式を得る.
$b_1\cdots b_4q^2=c_1\cdots c_4$とする. $g,h$の一方が非負整数$N$を用いて$q^{-N}$と表されるとき,
\begin{align}
G=G(g,h)&:=\sum_{0\leq m}\frac{(c_1/q,\dots,c_4/q;q)_m}{(q,b_1,b_2,gh/q;q)_m}q^m\Lambda_m(b_1,b_2,g,h|c_1,c_2,c_3,c_4)
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&\frac{(1-h)\prod_{i=1}^4(1-c_i/g)}{(1-hq/g)(1-q/g)(1-h/g)}(G(g/q,hq)-G)\\
&\qquad+\frac{(1-g)\prod_{i=1}^4(1-c_i/h)}{(1-gq/h)(1-q/h)(1-g/h)}(G(gq,h/q)-G)\\
&\qquad+\left((1-b_1)(1-b_2)-\frac{\prod_{i=1}^4(1-c_i/q)}{(1-g/q)(1-h/q)}\right)G=0
\end{align}
が成り立つ.
定理2において, $b_3,b_4,b_5,b_6$を$aq/c_1,aq/c_2,aq/c_3,aq/c_4$に置き換えて$a\to 0$とすると, 示すべき等式を得る.
古典極限
$2+4a=b_1+\cdots+b_8$に対し, あらためて
\begin{align}
\Omega_m(a|b_1,\dots,b_8):=\sum_{m\leq n}\frac{(2n+a)(b_1,\dots,b_8)_n}{(1+a-b_1,\dots,1+a-b_8)_n}
\end{align}
とする. 定理1, 定理2の古典極限を考えると以下を得る.
$2+4a=b_1+\cdots b_6+g+h$に対し,
\begin{align}
\Omega_m:=\Omega_m(g,h)&:=\Omega_m(a|b_1,\dots,b_6,g,h)\\
A_g&:=\frac{h(a-h)\prod_{i=1}^6(1+a-b_i-g)}{(1+h-g)(1-g)(1+a-g)(1+a-g-h)(h-g)}\\
A_h&:=\frac{g(a-g)\prod_{i=1}^6(1+a-b_i-h)}{(1+g-h)(1-h)(1+a-h)(1+a-g-h)(g-h)}\\
C&:=\frac 1a\left(\frac{\prod_{i=1}^6b_i}{(1+a-g)(1+a-h)}-\frac{\prod_{i=1}^6(a-b_i)}{(g-1)(h-1)}\right)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
&A_g(\Omega_m(g-1,h+1)-\Omega_m)+A_h(\Omega_m(g+1,h-1)-\Omega_m)+C\Omega_m\\
&=\frac{\Gamma(1+a-b_1)\cdots\Gamma(1+a-b_6)\Gamma(1+a-g)\Gamma(1+a-h)}{\Gamma(b_1)\cdots\Gamma(b_6)\Gamma(g)\Gamma(h)}\\
&\qquad-\frac{(b_1,\dots,b_6,g,h)_m}{(1+a-b_1,\dots,1+a-b_6,1+a-g,1+a-h)_m}\frac{\prod_{i=1}^6(a-b_i+m)}{(g+m-1)(h+m-1)}
\end{align}
が成り立つ. また, $-g,-h$の一方が非負整数であるとして,
\begin{align}
F:=F(g,h):=\sum_{0\leq m}\frac{(2m+a-1)(a-1,a-b_1,\dots,a-b_6,1+a-g-h)_m}{m!(b_1,\dots,b_6,g+h-1)_m}\Omega_m(a|b_1,\dots,b_6,g,h)
\end{align}
とするとき,
\begin{align}
&A_g(F(g-1,h+1)-F)+A_h(F(g+1,h-1)-F)+CF=0
\end{align}
が成り立つ.
以下, $b_1+\cdots+b_4+2=c_1+\cdots+c_4$に対し, あらためて
\begin{align}
\Lambda_m(b_1,\dots,b_4|c_1,\dots,c_4):=\sum_{m\leq n}\frac{(b_1,\dots,b_4)_n}{(c_1,\dots,c_4)_n}
\end{align}
とする. このとき定理3, 定理4の古典極限を考えると以下を得る.
$b_1+\cdots b_4+2=c_1+\cdots+c_4$として,
\begin{align}
\Lambda_m=\Lambda_m(g,h)&:=\Lambda_m(b_1,b_2,g,h|c_1,c_2,c_3,c_4)
\end{align}
とする. このとき,
\begin{align}
&\frac{h\prod_{i=1}^4(c_i-g)}{(1+h-g)(1-g)(h-g)}(\Lambda_m(g-1,h+1)-\Lambda_m)\\
&\qquad+\frac{g\prod_{i=1}^4(c_i-h)}{(1+g-h)(1-h)(g-h)}(\Lambda_m(g+1,h-1)-\Lambda_m)+\left(b_1b_2-\frac{\prod_{i=1}^4(c_i-1)}{(g-1)(h-1)}\right)\Lambda_m\\
&=\frac{\Gamma(c_1)\Gamma(c_2)\Gamma(c_3)\Gamma(c_4)}{\Gamma(b_1)\Gamma(b_2)\Gamma(g)\Gamma(h)}-\frac{(b_1,b_2)_m(g,h)_{m-1}}{(c_1,c_2,c_3,c_4)_{m-1}}
\end{align}
が成り立つ. また, $-g,-h$の一方が非負整数であるとして,
\begin{align}
G=G(g,h)&:=\sum_{0\leq m}\frac{(c_1-1,\dots,c_4-1)_m}{m!(b_1,b_2,g+h-1)_m}\Lambda_m(b_1,b_2,g,h|c_1,c_2,c_3,c_4)
\end{align}
とすると,
\begin{align}
&\frac{h\prod_{i=1}^4(c_i-g)}{(1+h-g)(1-g)(h-g)}(G(g-1,h+1)-G)\\
&\qquad+\frac{g\prod_{i=1}^4(c_i-h)}{(1+g-h)(1-h)(g-h)}(G(g+1,h-1)-G)+\left(b_1b_2-\frac{\prod_{i=1}^4(c_i-1)}{(g-1)(h-1)}\right)G=0
\end{align}
が成り立つ.
この定理6の後半の結果は RahmanによるAskey-Wilson陪多項式の二重級数表示 と同値である.
