Well-poised 8φ7の部分和の相互関係式
前の記事 において, 以下のBaileyのterminating${}_{10}\phi_9$変換公式を示した.
$v=gq^{-n}/b, a^3q^{n+2}=bcdefg$であるとき,
\begin{align}
&\Q{10}9{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b,c,d,e,f,g,q^{-n}}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq/g,aq^{n+1}}{q}\\
&=\frac{(b,aq,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,vq,a^2q^2/bcdef;q)_n}\\
&\qquad\cdot\Q{10}9{v,\sqrt vq,-\sqrt vq,vb/a,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,g,q^{-n}}{\sqrt v,-\sqrt v,aq/b,a^2q^2/bdef,a^2q^2/bcef,a^2q^2/bcdf,a^2q^2/bcde,vq/g,vq^{n+1}}{q}\\
\end{align}
が成り立つ.
ここで, $g\mapsto aq^{n+1}$とすると, $v=aq/b, a^2q=bcdef$となり,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_k}q^k\\
&=\frac{(b,aq,cq,dq,eq,fq;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^2/b,q;q)_n}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{aq/b}q,-\sqrt{aq/b}q,q,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},cq,dq,eq,fq,q^{1-n}/b,aq^{n+2}/b}{q}
\end{align}
が成り立つ. さらに, $e=aq^{m+1}/b, f=q^{-m}/b$とすると, $ab=cd$となり,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,aq^{m+1}/b,q^{-m}/b;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bq^{-m},abq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(b,aq,cq,dq,q^{1-m}/b,aq^{m+2}/b;q)_n}{(aq/c,aq/d,bq^{-m},abq^{m+1},aq^2/b,q;q)_n}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{aq/b}q,-\sqrt{aq/b}q,q,aq/bc,aq/bd,aq^{m+1},q^{-m},aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},cq,dq,q^{1-m}/b,aq^{m+2}/b,q^{1-n}/b,aq^{n+2}/b}{q}\\
&=\frac{(b,aq,cq,dq;q)_n(b;q)_{-m}(q/b;q)_{n-m}(abq;q)_m(aq^{2}/b;q)_{n+m}}{(aq/c,aq/d,q;q)_n(b;q)_{n-m}(q/b;q)_{-m}(abq;q)_{n+m}(aq^2/b;q)_n(aq^2/b;q)_m}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{aq/b}q,-\sqrt{aq/b}q,q,aq/bc,aq/bd,aq^{m+1},q^{-m},aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},cq,dq,q^{1-m}/b,aq^{m+2}/b,q^{1-n}/b,aq^{n+2}/b}{q}\\
&=\frac{(aq,cq,dq;q)_n(b;q)_n(b;q)_{m}(abq;q)_m(aq^{2}/b;q)_{n+m}}{(aq/c,aq/d,q;q)_n(q/b;q)_{m}(b;q)_{n-m}(b;q)_{m-n}(abq;q)_{n+m}(aq^2/b;q)_n(aq^2/b;q)_m}\frac{q^{\binom{n+1}2-nm+\binom{m+1}2}}{(-b)^{n+m}}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{aq/b}q,-\sqrt{aq/b}q,q,aq/bc,aq/bd,aq^{m+1},q^{-m},aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},cq,dq,q^{1-m}/b,aq^{m+2}/b,q^{1-n}/b,aq^{n+2}/b}{q}
\end{align}
より,
\begin{align}
\frac{(aq/c,aq/d,q,abq;q)_n}{(aq,cq,dq,q/b;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,aq^{m+1}/b,q^{-m}/b;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bq^{-m},abq^{m+1};q)_k}q^k
\end{align}
は$n,m$に関して対称である. よって以下を得る.
$ab=cd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,abq;q)_n}{(aq,cq,dq,q/b;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d,aq^{m+1}/b,q^{-m}/b;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bq^{-m},abq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(aq/c,aq/d,q,abq;q)_m}{(aq,cq,dq,q/b;q)_m}\sum_{k=0}^m\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d,aq^{n+1}/b,q^{-n}/b;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bq^{-n},abq^{n+1};q)_k}q^k
\end{align}
が成り立つ.
特に, $b=q^{\frac 12}$とすると,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,aq^{\frac 32};q)_n}{(aq,cq,dq,q^{\frac 12};q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(1-aq^{2k})(a,q^{\frac 12},c,d;q)_k}{(q,aq^{\frac 12},aq/c,aq/d;q)_k}\frac{(1-aq^{m+\frac 12})(1-q^{-m-\frac 12})}{(1-aq^{m+k+\frac 12})(1-q^{k-m-\frac 12})}q^k\\
&=-\frac{(aq/c,aq/d,q,aq^{\frac 12};q)_n}{(aq,cq,dq,q^{\frac 32};q)_n}\frac{(1-aq^{n+\frac 12})(1-aq^{m+\frac 12})(1-q^{-n-\frac 12})(1-q^{-m-\frac 12})}{(1-q^{\frac 12})(1-aq^{\frac 12})}q^{n+\frac 12}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(a,q^{\frac 12},c,d;q)_k}{(q,aq^{\frac 12},aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{1-aq^{2k}}{(1-aq^{m+k+\frac 12})(1-q^{k-m-\frac 12})}\\
\end{align}
より, 以下を得る.
$aq^{\frac 12}=cd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,aq^{\frac 12};q)_n}{(aq,cq,dq,q^{\frac 32};q)_n}q^{n}\sum_{k=0}^n\frac{(a,q^{\frac 12},c,d;q)_k}{(q,aq^{\frac 12},aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{1-aq^{2k}}{(1-aq^{m+k+\frac 12})(1-q^{k-m-\frac 12})}\\
&=\frac{(aq/c,aq/d,q,aq^{\frac 12};q)_m}{(aq,cq,dq,q^{\frac 32};q)_m}q^{m}\sum_{k=0}^m\frac{(a,q^{\frac 12},c,d;q)_k}{(q,aq^{\frac 12},aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{1-aq^{2k}}{(1-aq^{n+k+\frac 12})(1-q^{k-n-\frac 12})}
\end{align}
が成り立つ.
これは$q$有限対称モーメントの綺麗な相互関係式である.
また, 定理2, 系1において$n\to\infty$とすると以下を得る.
$ab=cd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,abq;q)_{\infty}}{(aq,cq,dq,q/b;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d,aq^{m+1}/b,q^{-m}/b;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,bq^{-m},abq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(aq/c,aq/d,q,abq;q)_m}{(aq,cq,dq,q/b;q)_m}\sum_{k=0}^m\frac{(1-aq^{2k})(a,b,c,d;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_k}\left(\frac{q}{b^2}\right)^k
\end{align}
が成り立つ.
$aq^{\frac 12}=cd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,aq^{\frac 12};q)_{\infty}}{(aq,cq,dq,q^{\frac 32};q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a,q^{\frac 12},c,d;q)_k}{(q,aq^{\frac 12},aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{1-aq^{2k}}{(1-aq^{m+k+\frac 12})(1-q^{k-m-\frac 12})}\\
&=-\frac{(aq/c,aq/d,q,aq^{\frac 12};q)_m}{(aq,cq,dq,q^{\frac 32};q)_m}q^{m+\frac 12}\sum_{k=0}^m\frac{(1-aq^{2k})(a,q^{\frac 12},c,d;q)_k}{(q,aq^{\frac 12},aq/c,aq/d;q)_k}q^k
\end{align}
が成り立つ.
これは 前の記事 の予想の特別な場合である.
古典極限
$q\to 1$の極限において以下を得る.
$a+b=c+d$のとき,
\begin{align}
&\frac{n!(1+a-c,1+a-d,1+a+b)_n}{(a+1,c+1,d+1,1-b)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d,1+a-b+m,-m-b)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,b-m,1+a+b+m)_k}\\
&=\frac{m!(1+a-c,1+a-d,1+a+b)_m}{(a+1,c+1,d+1,1-b)_m}\sum_{k=0}^n\frac{(2k+a)(a,b,c,d,1+a-b+n,-n-b)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,b-n,1+a+b+n)_k}
\end{align}
が成り立つ.
$a+\frac 12=c+d$のとき,
\begin{align}
&\frac{n!\left(1+a-c,1+a-d,a+\frac 12\right)_n}{\left(a+1,c+1,d+1,\frac 32\right)_n}\sum_{k=0}^n\frac{\left(a,\frac 12,c,d\right)_k}{k!\left(a+\frac 12,1+a-c,1+a-d\right)_k}\frac{2k+a}{\left(m+k+a+\frac 12\right)\left(k-m-\frac 12\right)}\\
&=\frac{m!\left(1+a-c,1+a-d,a+\frac 12\right)_m}{\left(a+1,c+1,d+1,\frac 32\right)_m}\sum_{k=0}^m\frac{\left(a,\frac 12,c,d\right)_k}{k!\left(a+\frac 12,1+a-c,1+a-d\right)_k}\frac{2k+a}{\left(n+k+a+\frac 12\right)\left(k-n-\frac 12\right)}
\end{align}
が成り立つ.
$a+b=c+d$のとき,
\begin{align}
&\frac{\Gamma(a+1)\Gamma(c+1)\Gamma(d+1)\Gamma(1-b)}{\Gamma(1+a-c)\Gamma(1+a-d)\Gamma(1+a+b)}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(2k+a)(a,b,c,d,1+a-b+m,-m-b)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d,b-m,1+a+b+m)_k}\\
&=\frac{m!(1+a-c,1+a-d,1+a+b)_m}{(a+1,c+1,d+1,1-b)_m}\sum_{k=0}^m\frac{(2k+a)(a,b,c,d)_k}{k!(1+a-b,1+a-c,1+a-d)_k}
\end{align}
が成り立つ.
左辺に現れているのは対称モーメントの一般化であり, WP-Bailey対のnon-terminating類似と言えるものである. 上の結果は, このような対称モーメントの拡張に関して様々な結果を拡張できる可能性を示唆していると言える.
追記
さらに一般化できることに気づいたのでそれについて書く. 先ほどの式
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,b,c,d,e,f;q)_k}{(q,aq/b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_k}q^k\\
&=\frac{(b,aq,cq,dq,eq,fq;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,aq^2/b,q;q)_n}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{aq/b}q,-\sqrt{aq/b}q,q,aq/bc,aq/bd,aq/be,aq/bf,aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{aq/b},-\sqrt{aq/b},cq,dq,eq,fq,q^{1-n}/b,aq^{n+2}/b}{q}\qquad a^2q=bcdef
\end{align}
において, $b\mapsto aq/b$とすると,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,e,f;q)_n}{(q,b,aq/c,aq/d,aq/e,aq/f;q)_n}q^n\\
&=\frac{(aq/b,aq,cq,dq,eq,fq;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq/e,aq/f,bq,q;q)_n}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{b}q,-\sqrt{b}q,q,b/c,b/d,b/e,b/f,aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{b},-\sqrt{b},cq,dq,eq,fq,bq^{-n}/a,bq^{n+1}}{q}\qquad ab=cdef
\end{align}
となる. ここで, $e=bq^m,f=bq^{-m-1}/\lambda$とすると, $a\lambda q=bcd$のとき,
\begin{align}
&\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q)_n}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,a\lambda q^{m+2}/b;q)_n}q^n\\
&=\frac{(aq/b,aq,cq,dq,bq^{m+1},bq^{-m}/\lambda;q)_n}{(aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,a\lambda q^{m+2}/b,bq,q;q)_n}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{b}q,-\sqrt{b}q,q,b/c,b/d,\lambda q^{m+1},q^{-m},aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{b},-\sqrt{b},cq,dq,bq^{-m}/\lambda,bq^{m+1},bq^{-n}/a,bq^{n+1}}{q}\\
&=\frac{(aq/b,aq,cq,dq;q)_n(aq/b;q)_{-m}(b/\lambda;q)_{n-m}(a\lambda q^2/b;q)_m(bq;q)_{n+m}}{(aq/c,aq/d,q;q)_n(aq/b;q)_{n-m}(b/\lambda;q)_{-m}(a\lambda q^{2}/b;q)_{n+m}(bq;q)_n(bq;q)_m}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{b}q,-\sqrt{b}q,q,b/c,b/d,\lambda q^{m+1},q^{-m},aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{b},-\sqrt{b},cq,dq,bq^{-m}/\lambda,bq^{m+1},bq^{-n}/a,bq^{n+1}}{q}\\
&=\frac{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_n(aq/b;q)_n(\lambda q/b;q)_m(a\lambda q^2/b;q)_n(a\lambda q^2/b;q)_m(bq;q)_{n+m}}{(aq/c,aq/d,q,a\lambda q^2/b;q)_n(b/\lambda;q)_n(b/a;q)_m(aq/b;q)_{n-m}(\lambda q/b;q)_{m-n}(a\lambda q^{2}/b;q)_{n+m}(bq;q)_n(bq;q)_m}\left(-\frac{b}{a}\right)^m\left(-\frac{\lambda}{b}\right)^{n}q^{\binom m2-mn+\binom{n}2}\\
&\qquad\cdot\Q{9}8{\sqrt{b}q,-\sqrt{b}q,q,b/c,b/d,\lambda q^{m+1},q^{-m},aq^{n+1},q^{-n}}{\sqrt{b},-\sqrt{b},cq,dq,bq^{-m}/\lambda,bq^{m+1},bq^{-n}/a,bq^{n+1}}{q}
\end{align}
よって,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,a\lambda q^2/b;q)_n}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q)_n}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,a\lambda q^{m+2}/b;q)_n}q^n
\end{align}
は$(a,n),(\lambda,m)$に関して対称である. よって$a\lambda q^2/b=cdq$であるから, 以下を得る.
$a\lambda q=bcd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,cdq;q)_n}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,cdq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(\lambda q/c,\lambda q/d,q,cdq;q)_m}{(\lambda q,cq,dq,b/a;q)_m}\sum_{k=0}^m\frac{1-\lambda q^{2k}}{1-\lambda }\frac{(\lambda ,\lambda q/b,c,d,bq^n,bq^{-n-1}/a;q)_k}{(q,b,\lambda q/c,\lambda q/d,\lambda q^{1-n}/b,cdq^{n+1};q)_k}q^k
\end{align}
が成り立つ.
ここで, $b,c,d$を固定して$a\to 0$とすると, $\lambda \to\infty$であり,
\begin{align}
\frac{(q,cdq;q)_n}{(cq,dq;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{(c,d,bq^m;q)_k}{(q,b,cdq^{m+1};q)_k}q^k&=\frac{(q,cdq;q)_m}{(cq,dq;q)_m}\sum_{k=0}^m\frac{(c,d,bq^n;q)_k}{(q,b,cdq^{n+1};q)_k}q^k
\end{align}
が得られる. これは
前の記事
で示したAgarwalによる結果の系である.
定理4において, $a\lambda q=b^2$とすると, $b=cd$となり, 左辺は
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,cdq;q)_n}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,cdq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(aq/c,aq/d,q,cdq;q)_n}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_n}\sum_{k=0}^n\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{(1-bq^m)(1-aq^{-m}/b)}{(1-bq^{m+k})(1-aq^{k-m}/b)}\\
&=-\frac{(aq/c,aq/d,q,b;q)_n}{(a,b/\lambda;q)_{n+1}(cq,dq;q)_n}\frac{(1-bq^n)(1-bq^m)(1-aq^{-m}/b)(1-\lambda q^{-n}/b)}{1-b}\frac{bq^n}{\lambda}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(a,aq/b,c,d;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{1-aq^{2k}}{(1-bq^{m+k})(1-aq^{k-m}/b)}
\end{align}
であるから, 以下の系を得る.
$a\lambda q=b^2, b=cd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,b;q)_n}{(a,c,d,b/\lambda;q)_{n+1}}\frac{q^n}{\lambda}\sum_{k=0}^n\frac{(a,aq/b,c,d;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d;q)_k}q^k\frac{1-aq^{2k}}{(1-bq^{m+k})(1-aq^{k-m}/b)}\\
&=\frac{(\lambda q/c,\lambda q/d,q,b;q)_m}{(\lambda,c,d,b/a;q)_{m+1}}\frac{q^m}{a}\sum_{k=0}^m\frac{(\lambda ,\lambda q/b,c,d;q)_k}{(q,b,\lambda q/c,\lambda q/d;q)_k}q^k\frac{1-\lambda q^{2k}}{(1-bq^{n+k})(1-\lambda q^{k-n}/b)}
\end{align}
が成り立つ.
ここで$n\to\infty$とすると, 前の記事 の予想の特別な場合に関して先ほどよりも強い結果(前の記事における$aq/bcd=1$の場合)を得ることができる.
定理4において, $n\to\infty$として以下を得る.
$a\lambda q=bcd$のとき,
\begin{align}
&\frac{(aq/c,aq/d,q,cdq;q)_{\infty}}{(aq,cq,dq,b/\lambda;q)_{\infty}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1-aq^{2k}}{1-a}\frac{(a,aq/b,c,d,bq^m,bq^{-m-1}/\lambda;q)_k}{(q,b,aq/c,aq/d,aq^{1-m}/b,cdq^{m+1};q)_k}q^k\\
&=\frac{(\lambda q/c,\lambda q/d,q,cdq;q)_m}{(\lambda q,cq,dq,b/a;q)_m}\sum_{k=0}^m\frac{1-\lambda q^{2k}}{1-\lambda }\frac{(\lambda ,\lambda q/b,c,d;q)_k}{(q,b,\lambda q/c,\lambda q/d;q)_k}\left(\frac{b}{cd}\right)^k
\end{align}
が成り立つ.
