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NBG集合論について

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

こんにちは。
突然ですがクラスって知ってますか？　学級のことではないです。
集合論でのクラスとはざっくり言えば「集合とはいいたくないものを含む、集まり」です。
例えば集合全体や順序数全体など、集合と呼んでしまったら矛盾する(しそう)なものも含みます。

よく数学の土台となっているZFC集合論ではすべての概念が集合なので、対象としてのクラスを扱うことができません。そのため、「クラスとは論理式のことである」などと言って扱うことも多いです。

しかし、クラスをも対象として扱う集合論が存在します。その一つがNBG集合論(Von Neumann–Bernays–Gödel set theory)です。
NBGの主な特徴として有限公理化可能で、ZFCの保存拡大というのがあります。(保存拡大については詳しくないので聞いた話になります…)

この記事では、公理の紹介、クラス存在定理の概要、およびいくつかのクラスの例示をします。

NBGの公理

NBGにおいて対象はすべてクラスと呼ばれる。
その中で、集合は以下のように定義される。

集合

$s e t (x)$ を $\exists C (x \in C)$ の略記とする
また $s e t (x)$ が成り立つとき「 $x$ は集合である」という。

以下、
$\forall^{s e t} x (\sim)$ を $\forall x (s e t (x) \Rightarrow\sim)$ の略記
$\exists^{s e t} x (\sim)$ を $\exists x (s e t (x) \land \sim)$ の略記
とする.(独自の表記)

基本的な公理

・外延性の公理
$\forall A \forall B [\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B) \Rightarrow A = B]$
・対の公理
$\forall^{s e t} a \forall^{s e t} b \exists^{s e t} p [\forall x (x \in p \Leftrightarrow (x = a \lor x = b))]$

ここで、集合 $a, b$ について唯一存在する、
$\forall x (x \in p \Leftrightarrow (x = a \lor x = b))$ を満たす集合 $p$ を ${a, b}$ と表し、
${a, a}$ を ${a}$ 、 ${{a}, {a, b}}$ を $(a, b)$ と表すことにする。

ZFCのときと同様に $(a, b) = (c, d) \Rightarrow a = c \land b = d$ が成り立つ(証明は省略)

クラス存在公理

NBGでは量化の束縛範囲を集合に限定した内包公理が成立する。
これをクラス存在定理と呼ぶ。これの証明のために必要な外延性と対以外の以下の公理をクラス存在公理という。

述語の公理

・帰属
$\exists E \forall^{s e t} x \forall^{s e t} y [(x, y) \in E \Leftrightarrow x \in y]$
・共通部分
$\forall A \forall B \exists C \forall x [x \in C \Leftrightarrow x \in A \land x \in B]$
・補集合
$\forall A \exists B \forall^{s e t} x [x \in B \Leftrightarrow x \notin A]$
・領域
$\forall A \exists B \forall^{s e t} x [x \in B \Leftrightarrow \exists y (x, y) \in A]$

これらの公理のうち帰属の公理以外は、外延性の公理からそれ以前の全称された変数に対し一意に定まる。
それらを順に $A \cap B, A^{c}, D o m (A)$ と表す。
このとき、帰属の公理で存在が言える $E$ について、
$D o m (E), (E \cap E^{c})^{c}$ は同じクラスを表し、任意の集合を元にして持つ。これを $V$ と書く。

組の公理

$(x, y, z)$ は $((x, y), z)$ のこととする
・ $V$ との直積
$\forall A \exists B \forall^{s e t} u [u \in B \Leftrightarrow \exists^{s e t} x \exists^{s e t} y (u = (x, y) \land x \in A)]$
・巡回
$\forall A \exists B \forall^{s e t} x \forall^{s e t} y \forall^{s e t} z [(x, y, z) \in B \Leftrightarrow (y, z, x) \in A]$
・転置
$\forall A \exists B \forall^{s e t} x \forall^{s e t} y \forall^{s e t} z [(x, y, z) \in B \Leftrightarrow (x, z, y) \in A]$

$V$ との直積の $B$ は $A$ に対し一意に決まるのでこれを $A \times V$ と表す。
上の $E$ や組の公理の $B$ について $E \cap (V \times V)$ や $B \cap (V \times (V \times V))$ は、( $B$ は $A$ に対して)一意に決まる。これらをそれぞれ $E_{0}, C i r c (A), T r a n s (A)$ と書くことにする（独自）

集合公理

外延性の公理と対の公理以外の集合を扱うために必要な公理。

$F u n c t i o n (F)$ を $\forall^{s e t} x \forall^{s e t} y \forall^{s e t} z [(x, y) \in F \land (x, z) \in F \Rightarrow y = z]$ の略記とする
また $F u n c t i o n (F)$ が成り立つとき、 $F$ は関数であるという

・正則性公理
$\forall^{s e t} a [\exists b (b \in a) \Rightarrow \exists u (u \in a \land \forall x (x \notin u \lor x \notin a))]$
・置換公理
$\forall^{s e t} a \forall F [F u n c t i o n (F) \Rightarrow \exists^{s e t} b \forall y (y \in b \Leftrightarrow \exists^{s e t} x ((x, y) \in F \land x \in a))]$
・和集合の公理
$\forall^{s e t} a \exists^{s e t} b \forall x [\exists y (x \in y \land y \in a) \Rightarrow x \in b]$
・冪集合の公理
$\forall^{s e t} a \exists^{s e t} b \forall x [\forall y (y \in x \Rightarrow y \in a) \Rightarrow x \in b]$
・無限公理
$\exists^{s e t} a (\exists e [e \in a] \land \forall x [x \in a \Rightarrow \exists y (y \in a \land \forall z (z \in x \Rightarrow z \in y) \land x \neq y)])$
・大域選択公理
$\exists F [F u n c t i o n (F) \land \forall^{s e t} a (\exists c (c \in a) \Rightarrow \exists^{s e t} b (b \in a \land (b, a) \in F))]$

・関数をクラスで表せるから、置換公理は一つの公理である
・和集合の公理、冪集合の公理は少し弱いものとなっているが、置換公理から元の公理を導ける
・無限公理も弱い形だが、これから元の形を導くには(おそらく)選択公理も必要
・大域選択公理は選択公理より真に強い

クラス存在定理

クラス存在公理から、任意の個数の組の置換、拡張ができることがわかる。特に二組の置換は $D o m ({C i r c}^{2} (T r a n s (C i r c (A \times V))))$ で与えられる。

また、外延性の公理から $A = B$ は $\forall x (x \in A \Leftrightarrow x \in B)$ と等価であり、
$x$ を要素にもつ集合全体のクラスは $({x} \times V) \cap E_{0}$ と表せる。

また、量化を集合に制限した論理式は $\in, \land, \neg, \exists^{s e t}$ のみの等価な論理式で表せ、
後三つは $\cap, \cdot^{c}, D o m$ に対応する。詳しくは Wikipedia を参照してほしい。
ここでは、それに加えて ${x ∣ x \in x}$ を構成することで、正則性公理が不要だと主張しておく

$A = {(x, x) ∣ x \in V}$ はWikipediaと同じように構成できる。
$A \cap E_{0}$ が求めていたクラスである

クラスの例など

ここからより非形式的になります。
集合でないクラスを真のクラスといいます

真のクラス

・集合全体 $V$
・順序数全体 $O N$
・群全体 $G r p$
・位相空間全体 $T o p$
・超現実数全体 $N o$

集合（ZFCと構成できるものは変わらない）

・自然数全体 $N$
・実数全体 $R$

また、以下の命題が成立する(本質的に同値である)

・任意の真のクラス $A, A^{'}$ について全単射 $A \to A^{'}$ が存在する。
・任意のクラスは整列可能である。
・クラス $x$ が集合である必要十分条件は全射 $x \to V$ が存在しないことである
・クラス $x$ が集合である必要十分条件は単射 $V \to x$ が存在しないことである
・任意の真のクラス $A$ に対し、単調増大で $A$ に収束する関数 $O N \to V$ が存在する