無限桁の自然数が存在することの証明

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に出てくる無限桁の自然数がすこぶる評判が悪いので、無限桁の自然数が存在すること、あるいは、3の列のπに対応する自然数について、「一の桁が2、十の桁が4、百の桁が1…」と無限に続けることができることを証明する。

簡単な証明

1.「すべての自然数は有限桁の自然数＝すべての自然数はある桁以降無限に0が並ぶ」と仮定する。

2.0は他の数字に置き換えることができるので、仮定は間違い。

詳しい説明

1.n桁には必ず次のn+1桁が存在するので、桁は無限に存在する。

2.通常の自然数は、ある桁以降の桁が空白なだけで、桁そのものは無限に持っており、自然数を無限に大きくできるのは(あるいは、自然数はその自然数までの自然数の個数を表すから「自然数が無限に存在するのは」と言い換えてもいい)、その無限の空白の桁に数字を入れることができるからだ。すべての自然数は無限桁であり、そのうちの、ある桁以降無限に0が並ぶものを有限桁の自然数あるいは単に自然数と呼んでいるに過ぎず、真に存在しないのは有限桁の自然数の方なのである。

3.「すべての自然数は有限桁＝すべての自然数はある桁以降の桁が空白あるいはある桁以降無限に0が並ぶ」は間違いである。なぜなら、空白には数字を入れることができるし、0は他の数字に置き換えることができるからである。

4.自然数を「有限桁の自然数」に限定するのは、定義であり、公理とは程遠く、自然数の本質を、損ない、見誤らせることになり、現に数学に携わるほとんどすべての者が見誤っている。

5.「有限桁の自然数」の方が縮小であり、「無限桁の自然数」は、屁理屈でも拡張でも拡大解釈でもなく、これこそが自然数の本質であり公理なのである。

6.ちなみに、計算や大小を比べることができるのはいわゆる「有限桁の自然数」だけであり、自然数は、その自然数までの個数が無限であるため、二つの自然数のそれぞれの自然数までの自然数どうしは全単射が可能で、たとえ「…0001」に1を足した「…0002」という背景があっても、何らかの解決策がない限り両者の大きさは同じになる。また、「…999」のように、9を無限に並べることはできても、すべての桁に9を並べることはできない。これは、実数を無限に並べることはできてもすべての実数を並べることはできないというのに似ている。「…999」は、「最大の桁の9」を見ることができないという状態であり、すべての桁に9が並んでいるわけではない。これに1を足せば「…000」になり、これは同じく「最大の桁の1」を見ることができない状態である。これに無限に1を足していけば再び「…999」になる(このようなことは無限に続けることができる)が、前の「…999」も後の「…999」も「…000」もすべて同じ大きさになる。