Noetherian affine schemeのコホモロジーの消滅定理

$\Phi :{\mathrm{Hom}}_R(M,N)\to {\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}}(\tilde{M},\tilde{N})$を$\Phi (u)=\tilde{u}$で，$\mathrm{\Psi }:{\mathrm{Hom}}_{\mathcal{O}}(\tilde{M},\tilde{N})\to {\mathrm{Hom}}_R(M,N)$を$\mathrm{\Psi }(\alpha )=\alpha (X)$で定める．ここで，$\tilde{u}$は$u$から自然に誘導される準同型である．$\tilde{M}$の大域切断は$M$と同型になるので，$\tilde{u}(X)$は$M$から$N$への準同型写像となる．
また各ストーク上で，$\Phi \circ \mathrm{\Psi }(\alpha {)}_{\mathfrak{p}}={\widetilde{\alpha (X)}}_{\mathfrak{p}}$であるが，$\tilde{M}$の大域切断の$\mathfrak{p}$による局所化は$\tilde{M}$の$\mathfrak{p}$のストークと同型である．なので，$\Phi \circ \mathrm{\Psi }(\alpha {)}_{\mathfrak{p}}$は恒等写像になる．

$\mathcal{F}$は準連接層ゆえ任意の$\mathfrak{p}\in U$に対し，$\mathfrak{p}$の開近傍$D(f)$が存在して次の完全列を得る．
$(\mathcal{O}{|}_{D(f)}{)}^{\oplus I}\stackrel{\psi }{\to }(\mathcal{O}{|}_{D(f)}{)}^{\oplus J}\stackrel{\phi }{\to }\mathcal{F}{|}_{D(f)}\to 0$
さて，$M(f):=\mathrm{Coker}(R_f^{\oplus I}\to R_f^{\oplus J})\cong \mathrm{Coker}(\psi (D(f)))$を考える．すると$\widetilde{M(f)}\cong \mathcal{F}{|}_{D(f)}$となる．ゆえに$M(f)\cong \mathcal{F}(D(f))$となる．$X$は準コンパクトなので，有限個の開被覆$D(f_i)$で覆われて，各$i\in \mathrm{\Lambda }$で$\widetilde{M(f_i)}\cong \mathcal{F}{|}_{D(f_i)}$となっている．$M=\mathcal{F}(X)$とおく．$M_{f_i}\cong M(f_i)$が各$i\in \mathrm{\Lambda }$で示せたのならば，$\tilde{M}{|}_{D(f_i)}\cong \mathcal{F}{|}_{D(f_i)}$となるため題意が示せる．
補題1から，自然な準同型$\alpha :\tilde{M}\to \mathcal{F}$が存在するから，$R_{f_i}$加群の準同型$u_i:=\alpha (D(f_i)):\tilde{M}(D(f_i))\to \mathcal{F}(D(f_i))$が存在する．
$u_i$が単射であること:$s\in \tilde{M}(X)\cong M$は$u_i(s{|}_{D(f_i)})=0$となるものとする．すると任意の$\mathfrak{p}\in D(f_i)$で$u_{i\mathfrak{p}}(s_{\mathfrak{p}})=0$．任意の$j\in \mathrm{\Lambda }$と任意の$\mathfrak{q}\in D(f_i{f}_j)=D(f_i)\cap D(f_j)$に対して，$\mathcal{F}{|}_{D(f_i{f}_j)}=(\mathcal{F}{|}_{D(f_j)}){|}_{D(f_i{f}_j)}\cong \widetilde{M(f_j)}{|}_{D(f_i{f}_j)}$となることと，$\alpha$の作り方から$s_{\mathfrak{q}}=0$．$\mathrm{\Gamma }(D(f_i{f}_j),\widetilde{M(f_j)})\cong M(f_j{)}_{f_i{f}_j}$なので，$0/1=s/(f_i{f}_j)\in M(f_j{)}_{f_i{f}_j}$．また，$R_{f_j}$上で$f_j/1$は可逆元なので，$0/1=s/f_i\in M(f_j{)}_{f_i}$となる．なので，$i$によらない正整数$n$が存在して$0=s{f}_i^n\in M(f_j)\cong \mathcal{F}(D(f_j))$．ゆえに$\mathcal{F}(X)=M$で$s{f}_i^n$は零元ゆえ$s/1\in M_{f_i}\cong \tilde{M}(D(f_i))$も零元．
$u_i$が全射であること:$z_i\in \mathcal{F}(D(f_i))$を取る．$z_i{|}_{D(f_i{f}_j)}\in \mathcal{F}(D(f_i{f}_j))\cong M(f_j{)}_{f_i{f}_j}$から，単射の議論と同様にある$n$があって$f_i^n{z}_i\in M(f_j)$が任意の$j\in \mathrm{\Lambda }$で成り立つ．よって$z=f_i^n{z}_i$と置けば全射性が示せた．

任意に$R$加群の単射準同型写像$f:M\to N$と$R$加群の準同型写像$g:M\to I$が与えられているとする．以下$f$を通じて$M$を$N$の部分加群とみなす．
$(\mathcal{S},\le )$を1の命題9で作った半順序集合とする．極大元を$(N_0,h_0)$とする．
$N_0⊊N$と仮定する．$x\in N\setminus N_0$を取り，イデアル$\mathfrak{b}:=\{a\in R\mid ax\in N_0\}$と置く．準同型写像$\alpha :\mathfrak{b}\to I$を$\alpha (a)=h_0(ax)$と置くと，仮定から準同型写像$\beta :R\to I$が存在し，$\beta {|}_{\mathfrak{b}}=\alpha$を満たす．そこで$h_1:N_0+(x)\to I$を$h_1(n+ax)=h_0(n)+\beta (a)$とおくと$h_1{|}_{N_0}=h_0$となるがこれは$(N_0,h_0)$のに反する．ゆえに$I$は移入的加群となる．

各正整数$i$に対し，イデアル${\mathfrak{b}}_i:=\{h\in R\mid h{f}^i=0\}$とおくと，昇鎖列${\mathfrak{b}}_1\subset {\mathfrak{b}}_2\subset \cdots$を得る．$R$はNoether環なので，ある$r$が存在し，${\mathfrak{b}}_r={\mathfrak{b}}_{r+1}={\mathfrak{b}}_{r+2}=\cdots$となる．
さて，$x/f^n\in I_f$を取り固定する．$R$準同型写像$\phi :(f^{n+r})\to I$を$f^{n+r}\mapsto f^{r}x$として定める．これはwell-definedである．なぜなら，$a{f}^{n+r}=0\in (f^{n+r})$の時，$a\in {\mathfrak{b}}_{n+r}={\mathfrak{b}}_r$から，$\phi (a{f}^{n+r})=a{f}^{n}x=0$となるためである．$I$は移入的加群なので$R$準同型写像$\psi :R\to I$が存在して，$\psi {|}_{(f^{n+r})}=\phi$を満たす．ここで$z=\psi (1)$とおくと，$f^{n+r}z=\psi (f^{n+r})=\phi (f^{n+r})=f^{r}x$となるため，$z/1=x/f^n$．故に$\theta (z)=x/f^n$．

定理3から任意のイデアル$\mathfrak{b}$に対し，${\mathrm{Hom}}_R(R,J)\to {\mathrm{Hom}}_R(\mathfrak{b},J)$が全射であることを確かめればよい．すなわち任意の準同型写像$\psi :\mathfrak{b}\to J$に対し，ある$\phi :R\to J$があって，$\psi =\phi {|}_{\mathfrak{b}}$を満たすものが存在することを確かめる．
$J$の作り方から任意の$b\in \mathfrak{b}$に対し，ある$n>0$があって${\mathfrak{a}}^n\psi (b)=0$を満たす．$\mathfrak{b}$は有限生成イデアルゆえある$N>0$が存在して，${\mathfrak{a}}^N\psi (\mathfrak{b})=\psi ({\mathfrak{a}}^N\mathfrak{b})=0$．Artin-Reesの補題からある$k>0$が存在して，$m=N+k$とおくと，${\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b}={\mathfrak{a}}^N({\mathfrak{a}}^k\cap \mathfrak{b})\subset {\mathfrak{a}}^N\mathfrak{b}$となるので$\psi ({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b})=0$．なので，$\tilde{\psi }:\mathfrak{b}/({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b})\to J$を$\tilde{\psi }(b+({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b}))=\psi (b)$はwell-definedな準同型写像で，自然な射影$\mathfrak{b}\to \mathfrak{b}/({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b})$との合成は$\psi$になる．$I$は移入的加群なので，自然な包含写像$i:\mathfrak{b}/({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b})\hookrightarrow R/{\mathfrak{a}}^m$と準同型写像$\mathfrak{b}/({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b})\to J\hookrightarrow I$に対して$\tilde{\phi }:R/{\mathfrak{a}}^m\to I$が存在し，$\tilde{\psi }=\tilde{\phi }\circ i$を満たす．さらに，$\mathrm{Im}\tilde{\phi }=\{w\in R\mid {\mathfrak{a}}^{m}w=0\}\subset J$ゆえ射影$R\to R/{\mathfrak{a}}^m$を合成したものを$\phi :R\to J$とすれば$\psi =\phi {|}_{\mathfrak{b}}$を満たす．
$$RR/{\mathfrak{a}}^m\tilde{\phi }\mathfrak{b}\psi \mathfrak{b}/({\mathfrak{a}}^m\cap \mathfrak{b})\tilde{\psi }JI$$

$\mathcal{I}=\tilde{I}$とおき，$Y_0=\overline{\mathrm{supp}(\mathcal{I})}$とおく．任意の開集合$U\subset X$をとり，任意に$\xi \in \mathcal{I}(U)$を取る．ある$z\in \mathcal{I}(X)$が存在して，$\xi =z{|}_U$であることを示す．$\xi =0$のとき，明らかに成り立つので，$\xi \ne 0$としてよい．すなわち$U\cap Y_0\ne \mathrm{\varnothing }$．開集合$D(f)\subset U$を$D(f)\cap Y_0\ne \mathrm{\varnothing }$となるように取る．$\xi {|}_{D(f)}\in \mathrm{\Gamma }(D(f),\mathcal{I})\cong I_f$から，補題4より$s_1\in \mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{I})\cong I$で，$s_1{|}_{D(f)}=\xi {|}_{D(f)}$となるものが存在する．すなわち$(s_1{|}_U-\xi ){|}_{D(f)}=0$．$U$は準コンパクトから，定理2の$u_i$の単射性の議論と同様にある$n>0$が存在して$f^n(s_1{|}_U-\xi )=0$．$I_1=\{w\in I\mid (f{)}^{n}w=0,\mathrm{\exists }n>0\}$とおく．これは補題5から移入的加群である．${\mathcal{I}}_1=\widetilde{I_1}$とおき，$Y_1=\overline{\mathrm{supp}({\mathcal{I}}_1)}$とおくと，$Y_1⊊Y_0$である．なぜなら，$Y_1\cap D(f)=\mathrm{\varnothing }$であるため．さて，$s_1{|}_U-\xi \in {\mathcal{I}}_1(U)$に対し$s_1{|}_U-\xi \ne 0$なら，開集合$D(f_1)\subset U$を$D(f_1)\cap Y_0\ne \mathrm{\varnothing }$となるように取り，同様の議論である$s_2\in \mathrm{\Gamma }(X,\mathcal{I})$が存在して$0=(s_2{|}_U-(s_1{|}_U-\xi )){|}_{D(f_1)}=((s_2-s_1){|}_U+\xi ){|}_{D(f_1)}$．同様に$I_2=\{w\in I\mid (f_1{)}^{n}w=0,\mathrm{\exists }n>0\}$，${\mathcal{I}}_2=\widetilde{I_2}$，$Y_2=\overline{\mathrm{supp}({\mathcal{I}}_2)}$と置けば$Y_2⊊Y_1$となる．$X$はNoether空間ゆえこの操作は有限回で終わる．すなわちある$n>0$で$s:=\sum _{i=0}^n{s}_i$と置けば$\xi -s{|}_U=0$となる．ゆえに$\tilde{I}$は脆弱層である．

$M:=\mathcal{F}(X)$とおく．1の定理14から$M$の移入的分解
$0\to M\to I_0\to I_1\to \cdots$
が存在する．なので，定理6から$\tilde{M}$の脆弱層分解
$0\to \tilde{M}\to \widetilde{I_0}\to \widetilde{I_1}\to \cdots$
を得る．なので，2の定理3から$H^0(X,\mathcal{F})=M$，$H^k(X,\mathcal{F})=0$，$k\ge 1$を得る．