Noetherian affine schemeのコホモロジーの消滅定理

$\varPhi:\Hom_{R}(M,N)\to\Hom_{\mathcal{O}}(\widetilde{M},\widetilde{N})$を$\varPhi(u)=\widetilde{u}$で，$ \Psi :\Hom_{\mathcal{O}}(\widetilde{M},\widetilde{N})\to\Hom_{R}(M,N)$を$\Psi(\alpha)=\alpha(X)$で定める．ここで，$\widetilde{u}$は$u$から自然に誘導される準同型である．$\widetilde{M}$の大域切断は$M$と同型になるので，$\widetilde{u}(X)$は$M$から$N$への準同型写像となる．
また各ストーク上で，$\varPhi\circ\Psi(\alpha)_\mathfrak{p}=\widetilde{\alpha(X)}_\mathfrak{p}$であるが，$\widetilde{M}$の大域切断の$\mathfrak{p}$による局所化は$\widetilde{M}$の$\mathfrak{p}$のストークと同型である．なので，$\varPhi\circ\Psi(\alpha)_\mathfrak{p}$は恒等写像になる．

$\mathscr{F}$は準連接層ゆえ任意の$\mathfrak{p}\in U$に対し，$\mathfrak{p}$の開近傍$D(f)$が存在して次の完全列を得る．
$(\mathcal{O}|_{D(f)})^{ \oplus I}\xrightarrow[]{ \psi }(\mathcal{O}|_{D(f)})^{ \oplus J}\xrightarrow[]{ \varphi }\mathcal{F}|_{D(f)}\to 0$
さて，$M(f):= \Coker(R_f^{ \oplus I}\to R_f^{ \oplus J})\cong\Coker(\psi(D(f))) $を考える．すると$\widetilde{M(f)}\cong \mathcal{F}|_{D(f)}$となる．ゆえに$M(f)\cong\mathcal{F}(D(f))$となる．$X$は準コンパクトなので，有限個の開被覆$D(f_i)$で覆われて，各$i\in \Lambda $で$\widetilde{M(f_i)}\cong \mathcal{F}|_{D(f_i)}$となっている．$M=\mathcal{F}(X)$とおく．$M_{f_i}\cong M(f_i)$が各$i\in\Lambda$で示せたのならば，$\widetilde{M}|_{D(f_i)}\cong\mathcal{F}|_{D(f_i)}$となるため題意が示せる．
補題1から，自然な準同型$\alpha:\widetilde{M}\to\mathcal{F}$が存在するから，$R_{f_i}$加群の準同型$u_i:=\alpha(D(f_i)):\widetilde{M}(D(f_i))\to \mathcal{F}(D(f_i))$が存在する．
$u_i$が単射であること:$s\in \widetilde{M}(X)\cong M$は$u_i(s|_{D(f_i)})=0$となるものとする．すると任意の$\mathfrak{p}\in D(f_i)$で$u_{i\mathfrak{p}}(s_{\mathfrak{p}})=0$．任意の$j\in\Lambda$と任意の$\mathfrak{q}\in D(f_if_j)=D(f_i)\cap D(f_j)$に対して，$\mathcal{F}|_{D(f_if_j)}=(\mathcal{F}|_{D(f_j)})|_{D(f_if_j)}\cong\widetilde{M(f_j)}|_{D(f_if_j)}$となることと，$\alpha $の作り方から$s_\mathfrak{q}=0$．$\Gamma(D(f_if_j),\widetilde{M(f_j)})\cong M(f_j)_{f_if_j}$なので，$0/1=s/(f_if_j)\in M(f_j)_{f_if_j}$．また，$R_{f_j}$上で$ f_j/1$は可逆元なので，$0/1=s/f_i\in M(f_j)_{f_i}$となる．なので，$i$によらない正整数$n$が存在して$0= sf_i^n\in M(f_j)\cong\mathcal{F}(D(f_j))$．ゆえに$\mathcal{F}(X)=M$で$sf_i^n$は零元ゆえ$s/1\in M_{f_i}\cong\widetilde{M}(D(f_i))$も零元．
$u_i$が全射であること:$z_i\in \mathcal{F}(D(f_i))$を取る．$z_i|_{D(f_if_j)}\in \mathcal{F}(D(f_if_j))\cong M(f_j)_{f_if_j}$から，単射の議論と同様にある$n$があって$f^n_i z_i\in M(f_j)$が任意の$j\in \Lambda$で成り立つ．よって$ z=f^n_i z_i$と置けば全射性が示せた．

任意に$R$加群の単射準同型写像$f:M\to N$と$R$加群の準同型写像$g:M\to I$が与えられているとする．以下$f$を通じて$M$を$N$の部分加群とみなす．
$(\mathcal{S},\leq)$を1の命題9で作った半順序集合とする．極大元を$(N_0,h_0)$とする．
$N_0 \subsetneq N$と仮定する．$x\in N\setminus N_0$を取り，イデアル$\mathfrak{b}:=\{a\in R \mid ax\in N_0\}$と置く．準同型写像$\alpha:\mathfrak{b}\to I$を$\alpha(a)=h_0(ax)$と置くと，仮定から準同型写像$\beta:R\to I$が存在し，$\beta|_\mathfrak{b}=\alpha$を満たす．そこで$h_1:N_0+(x)\to I$を$h_1(n+ax)=h_0(n)+\beta(a) $とおくと$h_1|_{N_0}=h_0$となるがこれは$(N_0,h_0)$のに反する．ゆえに$I$は移入的加群となる．

各正整数$i$に対し，イデアル$\mathfrak{b}_i:=\{h\in R\mid hf^i=0\}$とおくと，昇鎖列$\mathfrak{b}_1\subset\mathfrak{b}_2\subset\cdots$を得る．$R$はNoether環なので，ある$r$が存在し，$ \mathfrak{b}_r=\mathfrak{b}_{r+1}=\mathfrak{b}_{r+2}=\cdots$となる．
さて，$x/f^n\in I_f$を取り固定する．$R$準同型写像$\varphi:(f^{n+r})\to I$を$f^{n+r}\mapsto f^r x$として定める．これはwell-definedである．なぜなら，$af^{n+r}=0\in(f^{n+r})$の時，$a\in \mathfrak{b}_{n+r}=\mathfrak{b}_{r}$から，$ \varphi(af^{n+r})=af^nx=0$となるためである．$I$は移入的加群なので$R$準同型写像$\psi:R\to I$が存在して，$\psi|_{(f^{n+r})}=\varphi$を満たす．ここで$z=\psi(1)$とおくと，$f^{n+r}z=\psi(f^{n+r})=\varphi(f^{n+r})=f^rx$となるため，$z/1=x/f^n$．故に$\theta(z)=x/f^n$．

定理3から任意のイデアル$\mathfrak{b}$に対し，$\Hom_R(R,J)\to\Hom_R(\mathfrak{b},J)$が全射であることを確かめればよい．すなわち任意の準同型写像$\psi:\mathfrak{b}\to J$に対し，ある$\varphi:R\to J$があって，$ \psi=\varphi|_\mathfrak{b}$を満たすものが存在することを確かめる．
$J$の作り方から任意の$b\in\mathfrak{b}$に対し，ある$n>0 $があって$\mathfrak{a}^n \psi(b)=0$を満たす．$\mathfrak{b}$は有限生成イデアルゆえある$N>0 $が存在して，$\mathfrak{a}^N \psi(\mathfrak{b})= \psi(\mathfrak{a}^N\mathfrak{b})=0$．Artin-Reesの補題からある$k>0$が存在して，$m=N+k$とおくと，$\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b}=\mathfrak{a}^{N}(\mathfrak{a}^{k}\cap\mathfrak{b})\subset\mathfrak{a}^{N} \mathfrak{b}$となるので$\psi(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b})=0$．なので，$\widetilde{\psi}:\mathfrak{b}/(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b})\to J$を$\widetilde{\psi}(b+(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b}))=\psi(b) $はwell-definedな準同型写像で，自然な射影$\mathfrak{b}\to\mathfrak{b}/(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b}) $との合成は$\psi$になる．$I$は移入的加群なので，自然な包含写像$i:\mathfrak{b}/(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b})\hookrightarrow R/\mathfrak{a}^{m}$と準同型写像$\mathfrak{b}/(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b})\to J\hookrightarrow I $に対して$\widetilde{\varphi}:R/\mathfrak{a}^{m}\to I$が存在し，$\widetilde{\psi} =\widetilde{\varphi}\circ i$を満たす．さらに，$\Im\widetilde{\varphi}=\{w\in R\mid \mathfrak{a}^m w=0\}\subset J$ゆえ射影$R\to R/\mathfrak{a}^{m}$を合成したものを$\varphi :R\to J$とすれば$ \psi=\varphi|_\mathfrak{b}$を満たす．
\begin{xy} \xymatrix { R\ar[r] & R/\mathfrak{a}^{m} \ar@{.>}[drr]^{\widetilde{\varphi}} \ar@{.>}[dr]\\ \mathfrak{b}\ar@{^{(}->}[u] \ar@/_10pt/[rr]_{\psi} \ar[r] & \mathfrak{b}/(\mathfrak{a}^{m}\cap\mathfrak{b})\ar@{^{(}->}[u] \ar[r]^{\widetilde{\psi}}& J \ar@{^{(}->}[r] & I } \end{xy}

$\mathcal{I}=\widetilde{I}$とおき，$Y_0= \overline{ \supp(\mathcal{I}) } $とおく．任意の開集合$U\subset X$をとり，任意に$ \xi \in\mathcal{I}(U) $を取る．ある$z\in\mathcal{I}(X)$が存在して，$\xi=z|_{U}$であることを示す．$\xi=0$のとき，明らかに成り立つので，$\xi\not= 0$としてよい．すなわち$U\cap Y_0\not =\emptyset$．開集合$D(f)\subset U$を$D(f)\cap Y_0\not =\emptyset$となるように取る．$\xi|_{D(f)}\in\Gamma(D(f),\mathcal{I})\cong I_f$から，補題4より$s_1\in\Gamma(X,\mathcal{I})\cong I$で，$s_1|_{D(f)}=\xi|_{D(f)}$となるものが存在する．すなわち$(s_1|_U-\xi)|_{D(f)}=0$．$U$は準コンパクトから，定理2の$u_i$の単射性の議論と同様にある$n>0$が存在して$f^n(s_1|_U-\xi)=0$．$I_1=\{w\in I\mid (f)^n w=0, \exists n>0 \}$とおく．これは補題5から移入的加群である．$\mathcal{I}_1=\widetilde{I_1}$とおき，$Y_1= \overline{ \supp(\mathcal{I}_1) } $とおくと，$Y_1\subsetneq Y_0$である．なぜなら，$Y_1\cap D(f)=\emptyset$であるため．さて，$ s_1|_U-\xi\in\mathcal{I}_1(U)$に対し$s_1|_U-\xi\not=0 $なら，開集合$D(f_1)\subset U$を$D(f_1)\cap Y_0\not =\emptyset$となるように取り，同様の議論である$s_2\in\Gamma(X,\mathcal{I})$が存在して$0=(s_2|_U-(s_1|_U-\xi))|_{D(f_1)}=((s_2-s_1)|_U+\xi)|_{D(f_1)}$．同様に$I_2=\{w\in I\mid (f_1)^n w=0, \exists n>0 \}$，$\mathcal{I}_2=\widetilde{I_2}$，$Y_2= \overline{ \supp(\mathcal{I}_2) } $と置けば$Y_2\subsetneq Y_1$となる．$X$はNoether空間ゆえこの操作は有限回で終わる．すなわちある$n>0$で$s:= \sum_{i=0}^{n}s_i $と置けば$\xi-s|_U=0$となる．ゆえに$\widetilde{I}$は脆弱層である．

$M:= \mathcal{F}(X)$とおく．1の定理14から$M$の移入的分解
$0\to M\to I_0\to I_1\to\cdots$
が存在する．なので，定理6から$\widetilde{M}$の脆弱層分解
$0\to\widetilde{M}\to\widetilde{I_0}\to\widetilde{I_1}\to\cdots$
を得る．なので，2の定理3から$H^0(X,\mathcal{F})=M$，$H^k(X,\mathcal{F})=0$，$k \geq 1$を得る．