まえがき
前回
は圏における特別な対象とその性質について見てきました。今回はこれらを駆使してアーベル圏を定義します。前回をまだ見ていない方は
こちら
をご覧ください。
また今回は圏の知識に加えて、簡単な群の知識を使います。ご了承ください。
アーベル圏の定義
以下は「零対象」を「0」、「直和」「直積」を「」「」、「核」「余核」を「」「」と短縮して書いたものです
圏が以下の4つの性質を満たす時、をアーベル圏と言う。
はを持つ
の任意の対象に対して、が存在する。
の任意の射に対して、が存在する。
の任意の射に対して、
がモノ射なら、ある射が存在して、はの核になる
がエピ射なら、ある射が存在して、はの余核になる
具体例と反例
次にアーベル圏の具体例と反例について見ていきましょう
アーベル群の圏
を、対象がアーベル群(=演算が可換な群)、射が群準同型となる圏とする。
はアーベル圏である。
(1)の零対象は自明な対象で、零射は全ての元を単位元に送る写像。
(2)の圏の直和、直積は共に群の直積
(3)のの核と余核は
(4)がモノ射なら、は商写像の核、エピ射なら、は包含写像の余核
アーベル圏の双対圏
(1)の零対象はの零対象で、零射は上の零射の双対
(2)の圏の直和、直積は上の直積と直和
(3)のの核と余核は上の余核と核
(4)がモノ射なら、はの核、エピ射なら、はの余核
関手圏
をアーベル圏とし、を小さい圏とする
関手圏はアーベル圏である。
(1)の零対象は,の対象をの零対象へ送り、射をに送る関手。零射は全てが零射の族となる自然変換
(2)の対象の直和はの対象と射に対して、
となる関手と自然変換のペア(直積も同様に定義する)
(3)の射の核はの対象に対して、
(4)がモノ射なら、はの核(余核も同様に示せる)
群の圏(反例)
を対象が群、射が群準同型の圏とする。群の圏はアーベル圏ではない
三次の置換群その部分群に対して、、包含写像はモノ射です。一方が正規部分群でないために任意の射の核にはなりえません(群の核は全て正規部分群のため)。よって(4)の条件をは満たさないためアーベル圏ではありません。
まとめ
お読みいただきありがとうございました!次回はアーベル圏における定理とその証明を紹介していきます。