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大学数学基礎解説
文献あり

【ホモロジー代数 2】 アーベル圏の定義と具体例

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まえがき

前回 は圏における特別な対象とその性質について見てきました。今回はこれらを駆使してアーベル圏を定義します。前回をまだ見ていない方は こちら をご覧ください。
また今回は圏の知識に加えて、簡単な群の知識を使います。ご了承ください。

アーベル圏の定義

以下は「零対象」を「0」、「直和」「直積」を「」「×」、「核」「余核」を「Ker」「Coker」と短縮して書いたものです

Aが以下の4つの性質を満たす時、Aをアーベル圏と言う。
(1)A0を持つ
(2)Aの任意の対象X,Yに対して、XY,i1,i2,X×Y,Pr1,Pr2が存在する。
(3)Aの任意の射fに対して、Kerf,Cokerfが存在する。
(4)Aの任意の射f:XYに対して、
  fがモノ射なら、ある射g:YZが存在して、X,fgの核になる
  fがエピ射なら、ある射h:WXが存在して、Y,fhの余核になる

具体例と反例

次にアーベル圏の具体例と反例について見ていきましょう

アーベル群の圏

Abを、対象がアーベル群(=演算が可換な群)、射が群準同型となる圏とする。
Abはアーベル圏である。

(1)Abの零対象は自明な対象で、零射は全ての元を単位元に送る写像。
(2)Abの圏の直和、直積は共に群の直積
(3)Abf:XYの核と余核はKerf,Y/Imf
(4)f:XYがモノ射なら、(X,f)は商写像g:YY/Imfの核、エピ射なら、(Y,f)は包含写像i:KerfXの余核

アーベル圏の双対圏

Aをアーベル圏とする。
Aopはアーベル圏である。

(1)Aopの零対象はAの零対象で、零射はA上の零射f:YXの双対fop:XY
(2)Aopの圏の直和、直積はA上の直積と直和
(3)Aopf:XYの核と余核はA上の余核と核
(4)fop:XYがモノ射なら、X,fop(kerf)opの核、エピ射なら、Y,fop(cokerf)opの余核

関手圏

Aをアーベル圏とし、Cを小さい圏とする
関手圏Fun(C,A)はアーベル圏である。

(1)Fun(C,A)の零対象は,Cの対象をAの零対象へ送り、射をid0に送る関手。零射は全てが零射の族となる自然変換
(2)Fun(C,A)の対象F,Gの直和はCの対象Xと射fに対して、(FG)(X):=F(X)G(X)
i1:={F(f)0F(f)G(f)},i2:={0G(f)F(f)G(f)}
となる関手と自然変換のペア(直積も同様に定義する)
(3)Fun(C,A)の射α:FGの核はCの対象Xに対して、
kerα:={KerαXF(X)}XobC
(4)α:FGがモノ射なら、F,αCokerα,cokerαの核(余核も同様に示せる)

群の圏(反例)

Grpを対象が群、射が群準同型の圏とする。群の圏はアーベル圏ではない

三次の置換群S3その部分群H:={idG,(2,3)}に対して、、包含写像i:HGはモノ射です。一方Hが正規部分群でないために任意の射の核にはなりえません(群の核は全て正規部分群のため)。よって(4)の条件をGrpは満たさないためアーベル圏ではありません。

まとめ

お読みいただきありがとうございました!次回はアーベル圏における定理とその証明を紹介していきます。

参考文献

[1]
中岡宏行, 圏論の技法, 日本評論社, 2015
[2]
志甫淳, 層とホモロジー代数, 共立出版, 2024
投稿日:20241227
更新日:20241227
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投稿者

大学一年生です。解析的整数論とホモロジー代数に興味があります。抜けが多い性格なので、誤植とかあるかもしれません💦よろしくお願いします。

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  1. まえがき
  2. アーベル圏の定義
  3. 具体例と反例
  4. アーベル群の圏
  5. アーベル圏の双対圏
  6. 関手圏
  7. 群の圏(反例)
  8. まとめ
  9. 参考文献