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Srivastavaによる二重q超幾何級数の展開公式

Srivastava(1984)

\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_m(c_1,\dots,c_u;q)_n(e;q)_{m+n}}{(b_1,\dots,b_s,q;q)_m(d_1,\dots,d_v,q;q)_n(f;q)_{m+n}}x^ny^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r,c_1,\dots,c_u,e,f/e;q)_n}{(fq^{n-1};q)_n(f;q)_{2n}(b_1,\dots,b_s,d_1,\dots,d_v;q)_n}q^{n(n-1)}\frac{(exy)^n}{(q;q)_n}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a_1q^n,\dots,a_rq^n,eq^n;q)_j}{(b_1q^n,\dots,b_sq^n,fq^{2n},q;q)_j}x^j\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(c_1q^n,\dots,c_uq^n,eq^n;q)_k}{(d_1q^n,\dots,d_vq^n,fq^{2n},q;q)_k}y^k \end{align}

$\alpha_n:=\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_n}{(b_1,\dots,b_s;q)_n},\beta_n:=\frac{(c_1,\dots,c_u;q)_n}{(d_1,\dots,d_v;q)_n}$とすれば, 右辺は
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-fq^{2n-1})(f;q)_{n-1}(f/e;q)_n}{(e;q)_n}e^nq^{n(n-1)}\sum_{0\leq j,k}\frac{(e;q)_{n+j}(e;q)_{n+k}}{(f;q)_{2n+j}(f;q)_{2n+k}(q;q)_j(q;q)_k}\alpha_{n+j}\beta_{n+k}x^{n+j}y^{n+k}\\ &=\sum_{0\leq j,k}(e;q)_j(e;q)_k\alpha_j\beta_kx^jy^k\sum_{0\leq n}\frac{(1-fq^{2n-1})(f;q)_{n-1}(f/e;q)_n}{(e;q)_n(f;q)_{n+j}(f;q)_{n+k}(q;q)_{j-n}(q;q)_{k-n}}e^nq^{n(n-1)}\\ \end{align}
ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-fq^{2n-1})(f;q)_{n-1}(f/e;q)_n}{(e;q)_n(f;q)_{n+j}(f;q)_{n+k}(q;q)_{j-n}(q;q)_{k-n}}e^nq^{n(n-1)}\\ &=\frac{1}{(f,q;q)_j(f,q;q)_k}\Q65{f/q,\sqrt{fq},-\sqrt{fq},f/e,q^{-j},q^{-k}}{\sqrt{f/q},-\sqrt{f/q},e,fq^j,fq^k}{eq^{j+k}}\\ &=\frac{1}{(f,q;q)_j(f,q;q)_k}\frac{(f;q)_j(f;q)_k(e;q)_{j+k}}{(e;q)_j(e;q)_k(f;q)_{j+k}}\\ &=\frac{(e;q)_{j+k}}{(e,q;q)_j(e,q;q)_k(f;q)_{j+k}} \end{align}
を代入して右辺を得る.

$e\mapsto 0$とすると, 以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_m(c_1,\dots,c_u;q)_n}{(b_1,\dots,b_s,q;q)_m(d_1,\dots,d_v,q;q)_n(f;q)_{m+n}}x^ny^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r,c_1,\dots,c_u;q)_n}{(fq^{n-1};q)_n(f;q)_{2n}(b_1,\dots,b_s,d_1,\dots,d_v;q)_n}q^{\frac 32n(n-1)}\frac{(-fxy)^n}{(q;q)_n}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a_1q^n,\dots,a_rq^n;q)_j}{(b_1q^n,\dots,b_sq^n,fq^{2n},q;q)_j}x^j\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(c_1q^n,\dots,c_uq^n;q)_k}{(d_1q^n,\dots,d_vq^n,fq^{2n},q;q)_k}y^k \end{align}

$f\mapsto 0$とすると以下を得る.

\begin{align} &\sum_{0\leq m,n}\frac{(a_1,\dots,a_r;q)_m(c_1,\dots,c_u;q)_n(e;q)_{m+n}}{(b_1,\dots,b_s,q;q)_m(d_1,\dots,d_v,q;q)_n}x^ny^m\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(a_1,\dots,a_r,c_1,\dots,c_u,e;q)_n}{(b_1,\dots,b_s,d_1,\dots,d_v;q)_n}q^{n(n-1)}\frac{(exy)^n}{(q;q)_n}\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq j}\frac{(a_1q^n,\dots,a_rq^n,eq^n;q)_j}{(b_1q^n,\dots,b_sq^n,q;q)_j}x^j\\ &\qquad\cdot\sum_{0\leq k}\frac{(c_1q^n,\dots,c_uq^n,eq^n;q)_k}{(d_1q^n,\dots,d_vq^n,q;q)_k}y^k \end{align}