備忘録 (半単純環とか既約分解とかの話)

$A=\bigoplus_{i\in I} A_i$; $A_i$: 単純とする.
$1=\sum_{i}e_i$とすると$e_i$は有限個を除いて$0$, 即ち$1\in\bigoplus_{i=1}^NA_{a_i}$となる$a_i$達が存在する.
よって$A=A\cdot 1\subset A\cdot \bigoplus_{i=1}^NA_{a_i}=\bigoplus_{i=1}^NA_{a_i}$. 逆の包含関係は明らかに成り立つので$A=\bigoplus_{i=1}^NA_{a_i}$.

($\Rightarrow$) (超限帰納法)
入射性, 即ち任意の$N\subset M$に対して$M=N\oplus K$なる$K\subset M$の存在を示せばよい.
順序数$\alpha$に対して$N\cap K_\alpha=0$となる$K_\alpha$を($K_0\subset K_1\subset\cdots$となるように)帰納的に定める.
$K_0=0$.
$\alpha$は極限順序数の時は$K_{\alpha}=\bigcup_{\beta<\alpha}K_{\beta}$.
$\alpha=\beta+1$の時. まず, $M=N\oplus K_\beta$なら$K_{\alpha}=K_\beta$とすればよい. そうならない時, $m\in M\backslash N\oplus K_\beta$が取れる.
$m=\sum e_im$より, $m_i=e_im$とすれば$m=\sum m_i$かつ$m_i\in A_iM$.
$m\not\in N\oplus K_\beta$より, $m_{{}^\exists i}\not\in N\oplus K_\beta$.
ここで, $\varphi:A_i\to M/(N\oplus K_\beta);a\mapsto \overline{am}$とすると$\varphi(e_i)=\overline{e_im}=\overline{m_i}\neq0$である. $A_i$は単純なのでこれから$\varphi$は単射.
これより, $Am_i\cap (N\oplus K_\beta)=Ae_im\cap (N\oplus K_\beta)=A_im\cap (N\oplus K_\beta)=0$となることがわかる.
よって$K_{\alpha}=K_\beta\oplus Am_i$とするとこれが$N\cap K_\alpha=0$を満たす.

構成より, いつかは$K_{\alpha}=K_{\alpha+1}=\cdots$になるので, その$\alpha$に対して$K=K_\alpha$とすれば欲しい分解が得られる.

($\Leftarrow$)
帰納的に$A$の直和因子となる単純部分加群を構成していけばよい.

($\Rightarrow$)
($A$:Artin)
$A=I_0\supsetneqq I_1\supsetneqq I_2\supsetneqq\cdots$とする.
任意の対象が入射的なので$I_i=I_{i+1}\oplus J_{i}$とできる.
よって$A=I_0=I_1\oplus J_0=I_2\oplus J_1\oplus J_0=\cdots$となる.
よって$J=\bigoplus_{i}J_i$とすると$J\subset A$.

$J_i\cap A_j$は$A_j$の部分加群となるので$J_i\cap A_j=A_j,0$である.
また, $i\neq i'$のとき$J_i\cap J_{i'}=0$なので$J_i\cap A_j=A_j$となる$j$と$J_{i'}\cap A_{j'}=A_{j'}$となる$j'$は一致しない.
よって$\bigoplus J_i$は無限個の相異なる$A_i$達を部分加群に持つがこれは補題1から$A_i$達が有限個しか取れないことに矛盾する.

よってイデアルの無限下鎖列は存在せず, $A$はArtin.

($J(A)=0$)
$J(A)$は$A$のジャコブソン根基, 即ち全ての単純加群を零化するイデアルであるとする. しかし, $A$は単純加群の直和であるので$J(A)$は$1\in A$を零化する. よって$J(A)=0$である.

($\Leftarrow$)
claim: Artin環の極大イデアルは有限個.
($\because$ $\mathfrak m_1,\mathfrak m_2,\mathfrak m_3,\ldots$を$A$の相異なる極大イデアルとすると$\mathfrak m_1\supsetneqq\mathfrak m_1\cap\mathfrak m_2\supsetneqq\mathfrak m_1\cap\mathfrak m_2\cap\mathfrak m_3\supsetneqq\cdots$はイデアルの無限降鎖列になるため.
(等号にならないことは, 小さい方で割って中国剰余定理を使えば単純加群の直和で書けるのでそこから分かる.))

$\mathfrak m_1,\mathfrak m_2,\mathfrak m_3,\ldots,\mathfrak m_N$を$A$の極大イデアルとすると, $0=J(A)=\bigcap_{i=1}^N\mathfrak m_i$であるので中国剰余定理から$A=A/0\cong\bigoplus_{i=1}^NA/\mathfrak m_i$. これが欲しかった単純加群による分解である.

$f: M\to N$とする.
$f(M)$は$N$の部分加群なので$f(M)=0,N$. よって$f\neq0$なら$f$は全射.
また$\mathrm{Ker} f$は$M$の部分加群なので$\mathrm{Ker} f=0,M$. よって$f\neq 0$なら$f$は単射.
よって非零な射が存在するなら$M$と$N$は同型である. 同型の時は$M=N$としてよく, この時はEndの環構造が入る. 非零な$f$は同型射だから逆射が存在してそれは乗法逆元である.

$\Leftarrow$は明らか. というのも$D_i$は$A$加群として単純だから.

$\Rightarrow$を示す. まず補題1より$A=\bigoplus_{i=1}^N A_i^{n_i}$; $A_i$:単純, $i\neq j\Rightarrow A_i\not\cong A_j$とできる.
よって
\begin{align*}A\text{-}\mathrm{mod}(A,A)&\cong A\text{-}\mathrm{mod}\bigg(\bigoplus_{i=1}^N A_i^{n_i},\bigoplus_{i=1}^N A_i^{n_i}\bigg)\\ &\cong \prod_{i=1}^N\bigoplus_{j=1}^NA\text{-}\mathrm{mod}( A_i^{n_i},A_j^{n_j})\\ &\cong \prod_{i=1}^N M_{n_i}(D_i) \end{align*}
となるので示された.

$I$をイデアル, $J=J(A)$をジャコブソン根基とする.
$J^n$からなる降鎖列はArtin性から停留する$J^n=J^{n+1}=Z$とする(本当はここでNAKを使いたいけどまだ有限生成性が言えないので別の方法を取る).

claim: $Z=0$.
($\because$ $Z\neq0$として矛盾を導く.
$Z\mathfrak a\neq0$となるイデアルの中で極小なものを$\mathfrak a$とする($ZA=Z\neq0$なのでそのようなものは存在する).
$a\in\mathfrak a$として$Za\neq0$を満たすものが取れる. このとき$Z(Za)=Z^2a=Za\neq0$だから$Za\subset \mathfrak a$は$\mathfrak a$の極小性から$Za\supset \mathfrak a$も言えるので$Za=\mathfrak a$.
特に$za=a$なる$z\in Z\subset J$がある. $(1-z)a=0$だが, $1-z$は単元なので$a=0$となり, 矛盾. よって$Z=0$.)

$J$は冪零であることが結論される. $J^N=0$とする.
$I\supset JI\supset J^2I\supset\cdots J^NI=0$を考える.
各$J^kI/J^{k+1}I$のイデアルがNoetherであることを示せば元の$I$のNoether性も分かる. $J^kI/J^{k+1}I$は$A$のArtin性からArtinであり, (上の補題から半単純環である)$A/J$上の加群だと思える. 従って上の補題(3)のように考えれば$J^kI/J^{k+1}I$はNoetherであることがわかる.

$\mathrm{End}_{\mathscr A}(X)$:localのとき, $X$は(直)既約.
何故なら $X=Y\oplus Z$とすると$\mathrm{End}_{\mathscr A}(X)$が$\mathrm{End}_{\mathscr A}(Y)$を含む極大イデアルと$\mathrm{End}_{\mathscr A}(Z)$を含む極大イデアルの二つ以上を持ってしまうことになって局所性に矛盾するため.
逆に$X$が(直)既約なら, $\mathrm{End}_{\mathscr A}(X)$:local.
何故なら$X$はKrull-Schmidt性から$\mathrm{End}_{\mathscr A}(X_i)$:localとなる$X_i$達の直和で書けるが, $X$の直既約性から$X\cong X_1$であるため従う.

よってKrull-Schmidt性は少なくとも既約分解の可能性を保証している.
後は一意性を示せばよい.
2通りの既約対象による直和分解を$X\cong\bigoplus_{i=1}^NX_{i}\cong\bigoplus_{i=1}^{N'}X'_{i}$とする.
$\mathrm{End}_{\mathscr A}(X_1)=\mathscr{A}(X_1,X)\mathscr{A}(X,X_{1})\cong\sum_{i=1}^{N'}\mathscr{A}(X_1,X'_{i})\mathscr{A}(X'_i,X_{1})$
ここで$X_1\not\cong X'_i$なら$\mathscr{A}(X_1,X'_{i})\mathscr{A}(X'_i,X_{1})$は極大イデアル$\mathfrak m_i\subsetneqq \mathrm{End}_{\mathscr A}(X_1)$に入る.
よって$X'_i$達のうちどれかは$X_1$と同型. あとは帰納法.

$d=\dim_k\mathrm{End}_{\mathscr A}(X)$の帰納法で欲しい直和分解の存在を示す.
$d=1$の時は$\mathrm{End}_{\mathscr A}(X)$自身が体なので局所的だから良い.
$R=\mathrm{End}_{\mathscr A}(X)$がlocalでないとき, $X\cong Y\oplus Z$なる$0$でない$Y$, $Z$があれば, $\dim_k\mathrm{End}_{\mathscr A}(Y), \dim_k\mathrm{End}_{\mathscr A}(Z)$は$d$よりも小さくなるので帰納法が回る.
さらに, $\mathscr A$が冪等完備だったので, $R$が$0,1$以外の冪等元を持つことを示せば良い.

$R$は$0,1$以外の冪等元を持たない非局所環であると仮定する. $R$は有限次元$k$代数なのでArtin.
次の補題からこれが矛盾であることが従う.

$A$はArtinより極大イデアルは有限個. $\mathfrak m_1,\mathfrak m_2,\ldots,\mathfrak m_N$を$A$の極大イデアルとする. 仮定より$N\geqq2$である.

極大イデアルが有限個であることを示した時と同じ議論から$\mathfrak m_1+\bigcap_{i=2}^N\mathfrak m_i=A$. よって(1の表現を考えて)$a\in \mathfrak m_1$かつ$1-a\in\bigcap_{i=2}^N\mathfrak m_i$なる$a$が存在する.
この$a$は$a(1-a)\in J(A)$を満たす.

$A$: Artinより, $J(A)$は冪零. $J(A)^N=0$とする.
このとき, $b=(1-(1-a)^N)^N$とすると$b\equiv0\pmod{\mathfrak m_1}$, $b\equiv 1\pmod{\cap_{i=2}^N\mathfrak m_i}$であり, $a^N(1-a)^N\mid b(1-b)$だから$b(1-b)=0$.
よってこれが求める非自明な冪等元である.

($\subset$)
$x\in J(A)$なら$1+AxA\in A^{\times}$を示す.
任意の単純$A$加群$M$に対して$AxAM=AxM=A0=0$となるので$AxA\subset J(A)$. $1+J(A)\subset A^{\times}$なので示された.

($\supset$)
$1+AxA\in A^{\times}$なら任意の極大イデアル$\mathfrak m$に対して$x\in\mathfrak m$を言えばOK.
$x\not\in\mathfrak m$なる$\mathfrak m$があるとする.
このとき$Ax+\mathfrak m=A\ni1$なので$ax+m=1$とできるから$m=1-ax\in 1+AxA\subset A^{\times}$. これは矛盾.

$J(A)$が両側イデアルであり, $1\not\in J(A)$なので$J(A)=0$.
よってArtin性と合わせて半単純性が言える.

$a$の作用の繰り返しは任意の単純加群をいつか零化するが, 単純性から$1$回の作用で零化することが従う.