次元定理まで

$\mathbb{K}$を含む任意の体${\mathbb{K}}^{\prime }\supset \mathbb{K}$は
$${\mathsf{s}}_a(k^{\prime }):=a{k}^{\prime }=k^{\prime }a$$
により$\mathbb{K}$線型空間となる．

$I$を集合とする．

1. 写像$x:I\to \mathbb{K}$に対して
   $$\mathrm{supp}(x):=\{i\in I\mid x_i:=x(i)\ne 0\}$$
   とおく．
2. 集合${\mathbb{K}}^{\oplus I}$を
   $${\mathbb{K}}^{\oplus I}:=\{x:I\to \mathbb{K}\mid \mathrm{\#}\mathrm{supp}(x)<\mathrm{\infty }\}$$
   で定めると，これは
   $$\begin{array}{rl}x+y& :=[i\mapsto x_i+y_i]\\ x\cdot a& :=[i\mapsto x_{i}a]\end{array}$$
   により線型空間となる．
3. 各$j\in I$に対して，写像${ϵ}_j={ϵ}_j^I:I\to \mathbb{K}$を
   $${ϵ}_j(i):={\delta }_{ij}:=\{\begin{array}{ll}1& i=j\\ 0& i\ne j\end{array}$$
   で定める．明らかに${ϵ}_j\in {\mathbb{K}}^{\oplus I}$である．
4. $x\in {\mathbb{K}}^{\oplus I}$とする．このとき，任意の$i\in I$に対して
   $$\left(\sum _{j\in \mathrm{supp}(x)}{ϵ}_j{x}_j\right)(i)=\sum _{j\in \mathrm{supp}(x)}{ϵ}_j(i)x_j=\sum _{j\in \mathrm{supp}(x)}{\delta }_{ij}{x}_j=x_i=x(i)$$
   が成り立つ．したがって
   $$x=\sum _{j\in \mathrm{supp}(x)}{ϵ}_j{x}_j=:\sum _{j\in I}{ϵ}_j{x}_j$$
   が成り立つ．

$I$を集合とし$V$を線型空間とする．このとき，写像集合
$$\mathrm{Map}(I,V):=\{f\mid f:I\to V\}$$
は
$$\begin{array}{rl}f+g& :=[i\mapsto f(i)+g(i)]\\ a\cdot f& :=[i\mapsto a\cdot f(i)]\end{array}$$
により線型空間となる．

$V,W$を線型空間とする．このとき，直積集合$V\times W$は
$$\begin{array}{rl}(v,w)+(v^{\prime },w^{\prime })& :=(v+v^{\prime },w+w^{\prime })\\ (v,w)\cdot a& :=(va,wa)\end{array}$$
により線型空間となる．これを$V,W$の（外部）直和といい$V\oplus W$で表わす．

任意の$b\in \mathbb{K}$に対して，群準同型
$${\mathsf{s}}_b:V\to V;v\mapsto vb$$
は線型写像である：
$${\mathsf{s}}_b(va)=(va)b=v(ab)=v(ba)=(vb)a=({\mathsf{s}}_{b}v)a.$$
とくに
$$\begin{array}{rl}{\mathsf{s}}_0& :V\to V;v\mapsto 0\\ {\mathsf{s}}_1& :V\to V;v\mapsto v\end{array}$$
は線型写像である．

1. $V,W$を線型空間とする．このとき，
   $$\mathrm{Hom}(V,W):=\{f\mid f:V\to W:\text{linear}\}$$
   は線型空間$\mathrm{Map}(V,W)$の部分空間である：
   $$\begin{array}{rl}(f+g)v& =fv+gv;\\ (af)v& =a(fv).\end{array}$$
2. 線型空間$\mathrm{End}(V):=\mathrm{Hom}(V,V)$は環${\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(V)$の部分環でもあり，
   $$(af)\circ g=a(f\circ g)=f\circ (ag)$$
   が成り立つ．
3. $\mathrm{End}(V)$と${\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(V)$とは一般には一致しない．たとえば，$\mathbb{C}$線型空間$\mathbb{C}$について，複素共軛を取る写像
   $$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C};z\mapsto \overline{z}$$
   は群準同型であるが，線型写像ではない：
   $$f(1\cdot \sqrt{-1})=f(\sqrt{-1})=-\sqrt{-1}\ne \sqrt{-1}=1\cdot \sqrt{-1}=f(1)\cdot \sqrt{-1}.$$
4. $\mathbb{Q}$線型空間$V$について，$\mathrm{End}(V)={\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(V)$が成り立つ．実際，$f\in {\mathrm{End}}_{\mathbb{Z}}(V)$とすると，
   1. 任意の$v\in V,n\in \mathbb{N}$に対して，$f(v\cdot n)=f(v)\cdot n$が成り立つ：
      $$\begin{array}{rl}f(v\cdot 0)& =0=f(v)\cdot 0;\\ f(v\cdot n)& =f(v)\cdot n⟹f(v\cdot (n+1))=f(v\cdot n+v)=f(v\cdot n)+f(v)=f(v)\cdot n+f(v)=f(v)\cdot (n+1).\end{array}$$
   2. 任意の$v\in V,n\in \mathbb{N}$に対して，
      $$f(v\cdot (-n))=f(-(v\cdot n))=-f(v\cdot n)=-(f(v)\cdot n)=f(v)\cdot (-n)$$
      が成り立つ．
   3. 任意の$v\in V,q:=m/n\in \mathbb{Q}$に対して，
      $$f(v\cdot q)\cdot n=f(v\cdot m)=f(v)\cdot m⇝f(v\cdot q)=f(v)\cdot q$$
      が成り立つ．

任意の線型写像$f:V\to W$に対して，
$$f:\text{surjective}⟺\mathrm{Coker}(f):=W/\mathrm{Im}(f)=\{0\}$$
が成り立つ．

$f:V\to W$を全射線型写像とする．このとき，$v_{\bullet }:=(v_i{)}_{i\in I}$が$V$を生成するならば，$f{v}_{\bullet }:=(f{v}_i{)}_{i\in I}$は$W$を生成する．実際，free-modより
$$L_{f{v}_{\bullet }}=f\circ L_{v_{\bullet }}:{\mathbb{K}}^{\oplus I}\to W;{ϵ}_j\mapsto f{v}_j$$
となるので，
$$L_{v_{\bullet }}:\text{surj.}⟹L_{f{v}_{\bullet }}:\text{surj.}$$
が成り立つ．

$v_0\in V$とする．このとき
$$(v_i{)}_{i\in [0]}:\text{lin. indep.}⟺v_0\ne 0$$
が成り立つ．実際，
$$\begin{array}{rl}(v_i{)}_{i\in [0]}:\text{lin. indep.}& ⟺L_{(v_i{)}_{i\in [0]}}:\text{injective}\\ & ⟺\mathrm{Ker}(L_{(v_i{)}_{i\in [0]}})=\{0\}\\ & ⟺[v_0{x}_0=0⟹x_0=0]\\ & ⟺v_0\ne 0\end{array}$$
が成り立つ．

$f:V\to W$を線型写像とする．このとき，$v_{\bullet }:=(v_i{)}_{i\in I}\in V^I$が線型従属ならば，$f{v}_{\bullet }:=(f{v}_i{)}_{i\in I}\in W^I$も線型従属である．また，$f$が単射ならば，逆も成り立つ．実際，free-modより
$$L_{f{v}_{\bullet }}=f\circ L_{v_{\bullet }}:{\mathbb{K}}^{\oplus I}\to W;{ϵ}_j\mapsto f{v}_j$$
となるので，
$$L_{f{v}_{\bullet }}:\text{inj.}⟹L_{v_{\bullet }}:\text{inj.}$$
が成り立ち，$f$が単射ならば，
$$L_{v_{\bullet }}:\text{inj.}⟹L_{f{v}_{\bullet }}:\text{inj.}$$
が成り立つ．

$L_{({ϵ}_i{)}_{i\in I}}={\mathrm{id}}_{{\mathbb{K}}^{\oplus I}}$なので，$({ϵ}_i{)}_{i\in I}$は${\mathbb{K}}^{\oplus I}$の基底である．これを${\mathbb{K}}^{\oplus I}$の標準基底という．

$I$を集合とし$V$を線型空間とする．このとき，写像
$$\mathrm{\Phi }:\mathrm{Hom}({\mathbb{K}}^{\oplus I},V)\to \mathrm{Map}(I,V);f\mapsto [i\mapsto f{ϵ}_i]$$
は線型同型である．実際，線型空間構造の定め方より
$$\mathrm{\Phi }(f+g)=\mathrm{\Phi }f+\mathrm{\Phi }g,\mathrm{\Phi }(af)=a(\mathrm{\Phi }f)$$
が成り立つので$\mathrm{\Phi }$は線型写像であり，free-modより$\mathrm{\Phi }$は全単射である（cf. iso-bij）．とくに“縦ベクトル”空間の双対は“横ベクトル”空間である：
$$\mathrm{Hom}({\mathbb{K}}^{\oplus I},\mathbb{K})\cong \mathrm{Map}(I,\mathbb{K}).$$

1. $I,J$を集合とする．このとき，$\mathrm{Map}(I\times J,\mathbb{K})$の部分空間
   $$\mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K}):=\{A\in \mathrm{Map}(I\times J,\mathbb{K})\mid \mathrm{\forall }j\in J,\hat{A}(j):=[i\mapsto A(i,j)]\in {\mathbb{K}}^{\oplus I}\}$$
   の元を（（列有限）$(I,J)$型）行列という．
2. 任意の行列$A\in \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K})$に対して，free-modより，線型写像$f_A:{\mathbb{K}}^{\oplus J}\to {\mathbb{K}}^{\oplus I}$であって
   $$\mathrm{\forall }j\in J,f_A{ϵ}_j^J=\sum _{i\in I}{ϵ}_i^{I}A(i,j)(=\hat{A}(j))$$
   を満たすものがただ一つ存在する．
3. 逆に，任意の線型写像$f:{\mathbb{K}}^{\oplus J}\to {\mathbb{K}}^{\oplus I}$に対して，行列$M_f\in \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K})$が
   $$M_f(i,j):=(f{ϵ}_j^J)(i)$$
   により定まる．
4. 対応$A\mapsto f_A$は線型写像であり，$f\mapsto M_f$が逆写像を与える：
   $$\mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K})\cong \mathrm{Hom}({\mathbb{K}}^{\oplus J},{\mathbb{K}}^{\oplus I});A\mapsto f_A.$$
5. 集合$H,I,J$に対して，行列の積
   $$\mathrm{Mat}(H,I;\mathbb{K})\times \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K})\to \mathrm{Mat}(H,J;\mathbb{K});(A,B)\mapsto M_{f_A\circ f_B}=:AB$$
   が定まる．$A,B$が列有限であることから
   $$\begin{array}{rl}{f}_A{f}_B{ϵ}_j^J& =f_A(\sum _{i\in I}{ϵ}_i^{I}B(i,j))\\ & =\sum _{i\in I}(f_A{ϵ}_i^I)B(i,j)\\ & =\sum _{i\in I}\sum _{h\in H}{ϵ}_h^{H}A(h,i)B(i,j)\\ & =\sum _{h\in H}{ϵ}_h^H(\sum _{i\in I}A(h,i)B(i,j))\end{array}$$
   となるので，
   $$(AB)(h,j)=(f_A{f}_B{ϵ}_j^J)(h)=\sum _{i\in I}A(h,i)B(i,j)$$
   を得る．
6. 適当な型の行列$A,B,C$に対して，
   $$f_{AB}\circ f_C=(f_A\circ f_B)\circ f_C=f_A\circ (f_B\circ f_C)=f_A\circ f_{BC}$$
   より，
   $$(AB)C=A(BC)$$
   が成り立つ．

$(v_i{)}_{i\in I}\in V^I$が線型独立ならば，

1. 任意の$i\in I$に対して$v_i\ne 0$である（cf. nonzero）．
2. 任意の$i,j\in I$に対して
   $$i\ne j⟹v_i\ne v_j$$
   が成り立つ．

各$u\in \mathbb{R}\setminus \{0\}=:{\mathbb{R}}^{\times }$に対して，free-modより，線型写像$u^{\ast }:{\mathbb{R}}^{\oplus \mathbb{N}}\to \mathbb{R}$であって$u^{\ast }{ϵ}_i=u^i$なるものがただ一つ存在する．このとき$(u^{\ast }{)}_{u\in {\mathbb{R}}^{\times }}$は線型独立である．実際，任意の有限部分集合$\{u_1,\dots ,u_n\}\subset {\mathbb{R}}^{\times }$に対して，
$$u_1^{\ast }{x}_1+\cdots +u_n^{\ast }{x}_n=0$$
とすると，$({ϵ}_i{)}_{i\in [n-1]}$での値を取ることで
$$\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ u_1& \cdots & u_n\\ ⋮& & ⋮\\ u_1^{n-1}& \cdots & u_n^{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]$$
となるが， ヴァンデルモンドの行列式 より
$$\det \left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ u_1& \cdots & u_n\\ ⋮& & ⋮\\ u_1^{n-1}& \cdots & u_n^{n-1}\end{array}\right]=\prod _{i>j}(u_i-u_j)\ne 0$$
であるから，
$$x_1=\cdots =x_n=0$$
を得る．