次元定理まで
線型空間
$V$を可換群とする．このとき，$V$の自己群準同型全体のなす集合
$$
\End_{\mathbb{Z}}(V) := \{f \colon V \to V \mid f(u+v) = f(u) + f(v)\}$$
は
$$
f+g := [v \mapsto f(v)+g(v)]$$
で定まる和により可換群となり，写像の合成を積としてモノイドをなす．さらにこれらの演算に関して分配律が成り立ち，したがって環をなす．
$\mathbb{K}$を体とする．可換群$V$と環準同型$\mathsf{s} \colon \mathbb{K} \to \End_{\mathbb{Z}}(V)$との組$(V,\mathsf{s})$を$\mathbb{K}$（上の）線型空間という．
- 各$a \in \mathbb{K}$に対して，群準同型
$$ \mathsf{s}_{a} := \mathsf{s}(a) \colon V \to V$$
による$v \in V$の像を$av, a \cdot v,va,v \cdot a$などと書く． - $\mathsf{s} \colon \mathbb{K} \to \End_{\mathbb{Z}}(V)$が環準同型であることから，
\begin{align} v(a+b) &= va + vb\\ v \cdot 0 &= 0 \\ v(-a) &= -(va)\\ v(ab) &= (va)b \\ v \cdot 1 &= v \end{align}
が成り立つ． - $\mathsf{s}_{a} \colon V \to V$が群準同型であることから，
\begin{align} (v+v')a &= va + v'a\\ 0 \cdot a &= 0 \\ (-v)a &= -(va) \end{align}
が成り立つ． - 任意の$a \in \mathbb{K}\smallsetminus\{0\}$に対して$\mathsf{s}_{a^{-1}} \circ \mathsf{s}_{a} = \id_{V}$となるので，
$$ va = 0 \iff v = 0 \lor a = 0$$
が成り立つ．
以下，例によって“線型空間$V$”などと略記する．
$\mathbb{K}$を含む任意の体$\mathbb{K}' \supset \mathbb{K}$は
$$
\mathsf{s}_{a}(k') := ak' = k'a$$
により$\mathbb{K}$線型空間となる．
$I$を集合とする．
- 写像$x \colon I \to \mathbb{K}$に対して
$$ \supp{x} := \{i \in I \mid x_{i} := x(i) \neq 0\}$$
とおく． - 集合$\mathbb{K}^{\oplus I}$を
$$ \mathbb{K}^{\oplus I} := \{x \colon I \to \mathbb{K} \mid \#\supp{x} < \infty\}$$
で定めると，これは
\begin{align} x+y &:= [i \mapsto x_{i}+y_{i}] \\ x \cdot a &:= [i \mapsto x_{i}a] \end{align}
により線型空間となる． - 各$j \in I$に対して，写像$\epsilon_{j} = \epsilon_{j}^{I} \colon I \to \mathbb{K}$を
$$ \epsilon_{j}(i) := \delta_{ij} := \begin{cases} 1 & i=j\\ 0 & i\neq j \end{cases}$$
で定める．明らかに$\epsilon_{j} \in \mathbb{K}^{\oplus I}$である． - $x \in \mathbb{K}^{\oplus I}$とする．このとき，任意の$i \in I$に対して
$$ \left(\sum_{j \in \supp{x}} \epsilon_{j} x_{j}\right)(i) = \sum_{j \in \supp{x}} \epsilon_{j}(i) x_{j} = \sum_{j\in\supp{x}} \delta_{ij}x_{j} = x_{i} = x(i)$$
が成り立つ．したがって
$$ x = \sum_{j \in \supp{x}} \epsilon_{j}x_{j} =: \sum_{j\in I} \epsilon_{j}x_{j}$$
が成り立つ．
$I$を集合とし$V$を線型空間とする．このとき，写像集合
$$
\mathrm{Map}(I,V) := \{f \mid f \colon I \to V\}$$
は
\begin{align}
f+g &:= [i \mapsto f(i) + g(i)]\\
a \cdot f &:= [i \mapsto a \cdot f(i)]
\end{align}
により線型空間となる．
$V,W$を線型空間とする．このとき，直積集合$V \times W$は
\begin{align}
(v,w) + (v',w') &:= (v+v',w+w')\\
(v,w) \cdot a &:= (va,wa)
\end{align}
により線型空間となる．これを$V,W$の（外部）直和といい$V \oplus W$で表わす．
線型写像：その1
$(V,\mathsf{s}_{V}),(W,\mathsf{s}_{W})$を線型空間とする．
-
- 群準同型$f \colon V \to W$について
$$ \forall a \in \mathbb{K},\ f \circ \mathsf{s}_{V}(a) = \mathsf{s}_{W}(a) \circ f$$
が成り立つとき，$f$を線型写像という．
$$ \xymatrix{ {V} \ar[r]^{\mathsf{s}_{V}(a)} \ar[d]_{f} & {V} \ar[d]^{f} \\ {W} \ar[r]_{\mathsf{s}_{W}(a)} & {W} }$$ - さらに，線型写像$g \colon W \to V$であって
$$ g \circ f = \id_{V},\ f \circ g = \id_{W}$$
を満たすものが存在するとき，$f$を線型同型（写像）という．
- 群準同型$f \colon V \to W$について
- 線型同型写像$V \to W$が存在するとき，$V$と$W$とは（線型）同型であるといい$V \cong W$で表わす．
任意の$b \in \mathbb{K}$に対して，群準同型
$$
\mathsf{s}_{b} \colon V \to V;\ v \mapsto vb$$
は線型写像である：
$$
\mathsf{s}_{b}(va) = (va)b = v(ab) = v(ba) = (vb)a = (\mathsf{s}_{b}v)a.$$
とくに
\begin{align}
\mathsf{s}_{0} &\colon V \to V;\ v \mapsto 0\\
\mathsf{s}_{1} &\colon V \to V;\ v \mapsto v
\end{align}
は線型写像である．
$f \colon V \to W$を線型写像とする．このとき次は同値である：
- $f$は線型同型である；
- $f$は全単射である．
(i)$\implies$(ii)
明らか．
(ii)$\implies$(i)
逆写像$f^{-1} \colon W \to V$が線型写像であることを示せばよい．ところで，$f^{-1}$は群準同型であり，任意の$a \in \mathbb{K}$に対して
\begin{align}
f^{-1}\circ\mathsf{s}_{W}(a)
&= f^{-1}\circ(\mathsf{s}_{W}(a) \circ f) \circ f^{-1} \\
&= f^{-1} \circ (f \circ \mathsf{s}_{V}(a)) \circ f^{-1} \\
&= \mathsf{s}_{V}(a) \circ f^{-1}
\end{align}
が成り立つ．
線型写像の合成は線型写像である．
$f \colon U \to V,\ g \colon V \to W$を線型写像とする．このとき，$g \circ f \colon U \to W$は群準同型であり，任意の$a \in \mathbb{K}$に対して
\begin{align}
(g\circ f) \circ \mathsf{s}_{U}(a)
&= g \circ (f \circ \mathsf{s}_{U}(a)) \\
&= g \circ (\mathsf{s}_{V}(a) \circ f) \\
&= (g \circ \mathsf{s}_{V}(a)) \circ f \\
&= (\mathsf{s}_{W}(a) \circ g) \circ f \\
&= \mathsf{s}_{W}(a) \circ (g \circ f)
\end{align}
が成り立つ．
部分空間と商空間
$(V,\mathsf{s})$を線型空間とし，$U \subset V$を（可換群$V$の）部分群とする．任意の$a \in \mathbb{K}$に対して$U$が$\mathsf{s}_{a}$不変であるとき，$U$を$V$の部分（線型）空間という．
各$a \in \mathbb{K}$に対して
$$
\mathsf{s}_{U}(a) \colon U \to U;\ u \mapsto \mathsf{s}_{a}(u)$$
は群準同型であり，
$$
\mathsf{s}_{U} \colon \mathbb{K} \to \End_{\mathbb{Z}}(U);\ a \mapsto \mathsf{s}_{U}(a)$$
は環準同型である．よって$(U,\mathsf{s}_{U})$は線型空間であり，包含写像$\id_{U}^{V} \colon U \to V$は線型写像である．
- $V,W$を線型空間とする．このとき，
$$ \Hom(V,W) := \{f \mid f \colon V \to W:\text{linear}\}$$
は線型空間$\mathrm{Map}(V,W)$の部分空間である：
\begin{align} (f+g)v &= fv + gv;\\ (af)v &= a(fv). \end{align} - 線型空間$\End(V) := \Hom(V,V)$は環$\End_{\mathbb{Z}}(V)$の部分環でもあり，
$$ (af) \circ g = a(f \circ g) = f \circ (ag)$$
が成り立つ． - $\End(V)$と$\End_{\mathbb{Z}}(V)$とは一般には一致しない．たとえば，$\mathbb{C}$線型空間$\mathbb{C}$について，複素共軛を取る写像
$$ f \colon \mathbb{C} \to \mathbb{C};\ z \mapsto \bar{z}$$
は群準同型であるが，線型写像ではない：
$$ f(1 \cdot \sqrt{-1}) = f(\sqrt{-1}) = - \sqrt{-1} \neq \sqrt{-1}= 1 \cdot\sqrt{-1} = f(1)\cdot\sqrt{-1}.$$ - $\mathbb{Q}$線型空間$V$について，$\End(V) = \End_{\mathbb{Z}}(V)$が成り立つ．実際，$f \in \End_{\mathbb{Z}}(V)$とすると，
- 任意の$v \in V, n \in \mathbb{N}$に対して，$f(v \cdot n) = f(v) \cdot n$が成り立つ：
\begin{align} f(v \cdot 0) &= 0 = f(v) \cdot 0;\\ f(v \cdot n) &= f(v) \cdot n \implies f(v\cdot (n+1)) = f(v\cdot n + v) = f(v \cdot n) + f(v) = f(v) \cdot n + f(v) = f(v) \cdot (n+1). \end{align} - 任意の$v \in V, n \in \mathbb{N}$に対して，
$$ f(v \cdot (-n)) = f(-(v \cdot n)) = -f(v\cdot n) = -(f(v) \cdot n) = f(v) \cdot (-n)$$
が成り立つ． - 任意の$v \in V, q := m/n \in \mathbb{Q}$に対して，
$$ f(v \cdot q) \cdot n = f(v \cdot m) = f(v) \cdot m\ \leadsto\ f(v\cdot q) = f(v) \cdot q$$
が成り立つ．
- 任意の$v \in V, n \in \mathbb{N}$に対して，$f(v \cdot n) = f(v) \cdot n$が成り立つ：
$f \colon V \to W$を線型写像とする．このとき次が成り立つ：
- $\Ker(f) := f^{\leftarrow}(\{0\})$は$V$の部分空間である；
- $\Im(f) := f^{\rightarrow}(V)$は$W$の部分空間である．
- 任意の$v \in \Ker(f),a \in \mathbb{K}$に対して，
$$ f(va) = (fv)a = 0a = 0$$
より，$va \in \Ker(f)$が成り立つ． - $w \in \Im(f), a\in \mathbb{K}$とする．このとき$v \in V$であって$fv=w$なるものが存在するので，
$$ wa = (fv)a = f(va) \in \Im(f)$$
が成り立つ．
任意の線型写像$f \colon V \to W$に対して，
$$
f:\text{injective} \iff \Ker(f) = \{0\}$$
が成り立つ．
- $f$が単射であるとき，$v \in \Ker(f)$とすると，
$$ fv = 0 = f0$$
より$v=0$が成り立つ． - $\Ker(f) = \{0\}$のとき，
$$ fv = fv' \implies f(v-v') = 0 \implies v-v' \in \Ker(f) = \{0\} \implies v=v'$$
が成り立つので，$f$は単射である．
$V$を線型空間とし$W \subset V$をその部分空間とする．各$a \in \mathbb{K}$に対して，
$$
v-v' \in W \implies va - v'a \in W$$
より，剰余群$V/W$のあいだの群準同型$\bar{\mathsf{s}}_{a} \colon V/W \to V/W$が一意に定まる：
$$
\xymatrix{
{V} \ar[r]^{\mathsf{s}_{a}} \ar[d] & {V} \ar[d] \\
{V/W} \ar@{.>}[r]_{\bar{\mathsf{s}}_{a}} & {V/W}
}$$
誘導群準同型の一意性より，写像
$$
\bar{\mathsf{s}} \colon \mathbb{K} \to \End_{\mathbb{Z}}(V/W);\ a \mapsto \bar{\mathsf{s}}_{a}$$
は環準同型であり，したがって$(V/W,\bar{\mathsf{s}})$は線型空間である．これを$V$の$W$による商（線型）空間という．写像$\bar{\mathsf{s}}$の定義より，射影$\pi \colon V \to V/W$は線型写像である．
任意の線型写像$f \colon V \to W$に対して，
$$
f:\text{surjective} \iff \Cok(f) := W/\Im(f) = \{0\}$$
が成り立つ．
任意の全射線型写像$f \colon V \to W$は線型同型
$$
V/\Ker(f) \cong W$$
を誘導する．
$\pi \colon V \to V/\Ker(f)$を射影とする．誘導される群同型写像$\bar{f} \colon V/\Ker(f) \to W$が線型写像であることを示せばよい（cf. iso-bij）．そこで$a \in \mathbb{K}$とすると，
\begin{align}
(\bar{f} \circ \bar{\mathsf{s}}_{V}(a)) \circ \pi
&= \bar{f} \circ (\bar{\mathsf{s}}_{V}(a) \circ \pi) \\
&= \bar{f} \circ (\pi \circ \mathsf{s}_{V}(a)) \\
&= (\bar{f} \circ \pi) \circ \mathsf{s}_{V}(a) \\
&= f \circ \mathsf{s}_{V}(a) \\
&= \mathsf{s}_{W}(a) \circ f \\
&= \mathsf{s}_{W}(a) \circ (\bar{f} \circ \pi) \\
&= (\mathsf{s}_{W}(a) \circ \bar{f}) \circ \pi
\end{align}
より
$$
\bar{f} \circ \bar{\mathsf{s}}_{V}(a) = \mathsf{s}_{W}(a) \circ \bar{f}$$
が成り立つ．
線型写像：その2
$I$を集合とする．このとき，任意の線型空間$V$とその元の族$v_{\bullet} := (v_{i})_{i \in I} \in V^{I}$とに対して，線型写像$L_{v_{\bullet}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to V$であって
$$
\forall j \in I,\ L_{v_{\bullet}}\epsilon_{j} = v_{j}$$
を満たすものがただ一つ存在する：
$$
\xymatrix{
{I} \ar[r]^{\epsilon_{\bullet}\quad} \ar[dr]_{v_{\bullet}} & {\mathbb{K}^{\oplus I}} \ar@{.>}[d]^{L_{v_{\bullet}}} \\
& {V}
}$$
一意性
$f \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to V$を$f\epsilon_{j} = v_{j}$なる線型写像とすると，任意の$x \in \mathbb{K}^{\oplus I}$に対して
$$
fx = \sum_{j\in \supp{x}} f(\epsilon_{j}x_{j}) = \sum_{j\in \supp{x}} (f\epsilon_{j})x_{j} = \sum_{j\in \supp{x}} v_{j}x_{j}$$
が成り立つ．
存在
写像$L_{v_{\bullet}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to V$を
$$
L_{v_{\bullet}}x := \sum_{j\in\supp{x}} v_{j}x_{j} =: \sum_{j\in I} v_{j}x_{j}$$
で定める．$L_{v_{\bullet}}$が線型写像であることを示せばよい．
- 任意の$x,y \in \mathbb{K}^{\oplus I}$に対して，
\begin{align} L_{v_{\bullet}}(x+y) &= \sum_{j\in I}v_{j}(x_{j}+y_{j}) \\ &= \sum_{j\in I} v_{j}x_{j} + \sum_{j \in I} v_{j}y_{j} \\ &= L_{v_{\bullet}}x + L_{v_{\bullet}}y \end{align}
が成り立つ． - 任意の$x \in \mathbb{K}^{\oplus I},\,a \in \mathbb{K}$に対して，
\begin{align} L_{v_{\bullet}}(xa) &= \sum_{j\in I} v_{j}(x_{j}a) \\ &= \left(\sum_{j\in I} v_{j}x_{j}\right) \cdot a \\ &= (L_{v_{\bullet}}x)a \end{align}
が成り立つ．
$V$を線型空間とし$(v_{i})_{i\in I} \in V^{I}$とする．線型写像$L_{(v_{i})_{i\in I}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to V$が，
- 全射であるとき，$(v_{i})_{i \in I}$は$V$を生成する，$(v_{i})_{i \in I}$は$V$を張るなどという；
- 単射であるとき，$(v_{i})_{i \in I}$は線型独立であるという；
- 単射でないとき，$(v_{i})_{i \in I}$は線型従属であるという；
- 全単射であるとき，$(v_{i})_{i \in I}$を$V$の基底という．
$f \colon V \to W$を全射線型写像とする．このとき，$v_{\bullet} := (v_{i})_{i \in I}$が$V$を生成するならば，$fv_{\bullet} := (fv_{i})_{i \in I}$は$W$を生成する．実際，free-modより
$$
L_{\!fv_{\bullet}} \textcolor{orange}{=} f \circ L_{v_{\bullet}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to W;\ \epsilon_{j} \mapsto fv_{j}$$
となるので，
$$
L_{v_{\bullet}}:\text{surj.} \implies L_{\!fv_{\bullet}}:\text{surj.}$$
が成り立つ．
$v_{0} \in V$とする．このとき
$$
(v_{i})_{i\in[0]}:\text{lin. indep.} \iff v_{0} \neq 0$$
が成り立つ．実際，
\begin{align}
(v_{i})_{i\in[0]}:\text{lin. indep.}
&\iff L_{(v_{i})_{i\in[0]}}:\text{injective} \\
&\iff \Ker(L_{(v_{i})_{i\in[0]}}) = \{0\} \\
&\iff [v_{0}x_{0} = 0 \implies x_{0} = 0] \\
&\iff v_{0} \neq 0
\end{align}
が成り立つ．
$f \colon V \to W$を線型写像とする．このとき，$v_{\bullet}:= (v_{i})_{i \in I} \in V^{I}$が線型従属ならば，$fv_{\bullet} := (fv_{i})_{i \in I} \in W^{I}$も線型従属である．また，$f$が単射ならば，逆も成り立つ．実際，free-modより
$$
L_{\!fv_{\bullet}} \textcolor{orange}{=} f \circ L_{v_{\bullet}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to W;\ \epsilon_{j} \mapsto fv_{j}$$
となるので，
$$
L_{\!fv_{\bullet}}:\text{inj.} \implies L_{v_{\bullet}}:\text{inj.}$$
が成り立ち，$f$が単射ならば，
$$
L_{v_{\bullet}}:\text{inj.} \implies L_{\!fv_{\bullet}}:\text{inj.}$$
が成り立つ．
$L_{(\epsilon_{i})_{i\in I}} = \id_{\mathbb{K}^{\oplus I}}$なので，$(\epsilon_{i})_{i \in I}$は$\mathbb{K}^{\oplus I}$の基底である．これを$\mathbb{K}^{\oplus I}$の標準基底という．
$I$を集合とし$V$を線型空間とする．このとき，写像
$$
\Phi \colon \Hom(\mathbb{K}^{\oplus I},V) \to \mathrm{Map}(I,V);\ f \mapsto [i \mapsto f\epsilon_{i}]$$
は線型同型である．実際，線型空間構造の定め方より
$$
\Phi(f+g) = \Phi f + \Phi g,\ \Phi(af) = a (\Phi f)$$
が成り立つので$\Phi$は線型写像であり，free-modより$\Phi$は全単射である（cf. iso-bij）．とくに“縦ベクトル”空間の双対は“横ベクトル”空間である：
$$
\Hom(\mathbb{K}^{\oplus I},\mathbb{K}) \cong \mathrm{Map}(I,\mathbb{K}).$$
- $I,J$を集合とする．このとき，$\mathrm{Map}(I \times J,\mathbb{K})$の部分空間
$$ \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K}) := \{A \in \mathrm{Map}(I \times J,\mathbb{K}) \mid \forall j \in J,\ \hat{A}(j):= [i \mapsto A(i,j)] \in \mathbb{K}^{\oplus I}\}$$
の元を（（列有限）$(I,J)$型）行列という． - 任意の行列$A \in \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K})$に対して，free-modより，線型写像$f_{A} \colon \mathbb{K}^{\oplus J} \to \mathbb{K}^{\oplus I}$であって
$$ \forall j \in J,\ f_{A}\epsilon_{j}^{J} = \sum_{i\in I} \epsilon_{i}^{I}A(i,j)\quad (\,=\hat{A}(j)\,)$$
を満たすものがただ一つ存在する． - 逆に，任意の線型写像$f \colon \mathbb{K}^{\oplus J} \to \mathbb{K}^{\oplus I}$に対して，行列$M_{\!f} \in \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K})$が
$$ M_{\!f}(i,j) := (f\epsilon_{j}^{J})(i)$$
により定まる． - 対応$A \mapsto f_{A}$は線型写像であり，$f \mapsto M_{\!f}$が逆写像を与える：
$$ \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K}) \cong \Hom(\mathbb{K}^{\oplus J},\mathbb{K}^{\oplus I});\ A \mapsto f_{A}.$$ - 集合$H,I,J$に対して，行列の積
$$ \mathrm{Mat}(H,I;\mathbb{K}) \times \mathrm{Mat}(I,J;\mathbb{K}) \to \mathrm{Mat}(H,J;\mathbb{K});\ (A,B) \mapsto M_{\!f_{A}\circ f_{B}} =: AB$$
が定まる．$A,B$が列有限であることから
\begin{align} f_{A}f_{B}\epsilon_{j}^{J} &= f_{A}\left(\sum_{i \in I} \epsilon_{i}^{I} B(i,j)\right) \\ &= \sum_{i \in I} (f_{A}\epsilon_{i}^{I}) B(i,j) \\ &= \sum_{i \in I} \sum_{h \in H} \epsilon_{h}^{H} A(h,i)B(i,j) \\ &= \sum_{h \in H} \epsilon_{h}^{H}\left(\sum_{i \in I} A(h,i)B(i,j)\right) \end{align}
となるので，
$$ (AB)(h,j) = (f_{A}f_{B}\epsilon_{j}^{J})(h) = \sum_{i \in I} A(h,i)B(i,j)$$
を得る． - 適当な型の行列$A,B,C$に対して，
$$ f_{AB}\circ f_{C} = (f_{A} \circ f_{B}) \circ f_{C} = f_{A} \circ (f_{B} \circ f_{C}) = f_{A} \circ f_{BC}$$
より，
$$ (AB)C = A(BC)$$
が成り立つ．
$V,W$を線型空間とし，$(v_{i})_{i \in I} \in V^{I},\, (w_{i})_{i\in I} \in W^{I}$とする．このとき，$(v_{i})_{i\in I}$が$V$の基底ならば，線型写像$f \colon V \to W$であって$fv_{j} = w_{j}$なるものがただ一つ存在する．さらに，
\begin{align}
f:\text{surjective} &\iff L_{(w_{i})_{i \in I}}:\text{surjective};\\
f:\text{injective} &\iff L_{(w_{i})_{i \in I}}:\text{injective};
\end{align}
が成り立つ．
- 仮定より線型同型
$$ L_{V} := L_{(v_{i})_{i \in I}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to V;\ \epsilon_{j} \mapsto v_{j},$$
および線型写像
$$ L_{W} := L_{(w_{i})_{i \in I}} \colon \mathbb{K}^{\oplus I} \to W;\ \epsilon_{j} \mapsto w_{j}$$
が存在するので，$f:= L_{W} \circ L_{V}^{-1} \colon V \to W$とおけばよい．
$$ \xymatrix{ {\mathbb{K}^{\oplus I}} \ar[d]_{L_{V}}^{\cong} \ar@{=}[r] & {\mathbb{K}^{\oplus I}} \ar[d]^{L_{W}} \\ {V} \ar@{.>}[r]_{f\quad} & {W} }$$
明らかに，$f$が全射（resp. 単射）であるためには，$L_{W}$が全射（resp. 単射）であることが必要かつ十分である． - 線型写像$g \colon V \to W$が$gv_{j} = w_{j}$を満たすとすると，
$$ gL_{V}\epsilon_{j} = w_{j}$$
より$g \circ L_{V} = L_{W}$となるので（cf. free-mod），
$$ g = L_{W} \circ L_{V}^{-1} = f$$
が成り立つ．
生成系と独立系
線型空間$V$の元の族$(v_{i})_{i \in I} \in V^{I}$に対して
$$
\Span((v_{i})_{i \in I}) := \Im(L_{(v_{i})_{i \in I}})$$
とおく．これは$\{v_{i} \in V \mid i \in I\}$を含む$V$の部分空間のうち最小のものである（cf. subsp）．
$V$を線型空間とし$v_{\bullet}:=(v_{j})_{j \in J},v'_{\bullet}:=(v'_{i})_{i \in I}$を$V$の元の族とする．このとき次は同値である：
- $\{v_{j} \mid j \in J\} \subset \Span((v'_{i})_{i \in I})$;
- $\Span((v_{j})_{j \in J}) \subset \Span((v'_{i})_{i \in I})$.
(i)$\implies$(ii)
$v := L_{v_{\bullet}}x \in \Span((v_{j})_{j \in J})$とする．仮定より，各$j \in \supp{x}$に対して，$\eta_{j} \in \mathbb{K}^{\oplus I}$であって$v_{j} = L_{v'_{\bullet}}\eta_{j}$なるものが存在する．よって
$$
v = L_{v_{\bullet}}x = \sum_{j\in\supp{x}} v_{j}x_{j} = \sum_{j\in\supp{x}} (L_{v'_{\bullet}}\eta_{j})x_{j} = L_{v'_{\bullet}}\left(\sum_{j\in\supp{x}} \eta_{j}x_{j}\right) \in \Span((v'_{i})_{i \in I})$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
明らか．
$V$を線型空間，$v_{\bullet}:=(v_{i})_{i \in I} \in V^{I}$をその元の族とし，$J \subset I$とする．このとき次が成り立つ：
- $L_{v_{\bullet}|J}:\text{surjective} \implies L_{v_{\bullet}}:\text{surjective}$;
- $L_{v_{\bullet}}:\text{injective} \implies L_{v_{\bullet}|J}:\text{injective}$.
- span-clより
$$ V = \Span(v_{\bullet}|J) \subset \Span(v_{\bullet}) \subset V$$
が成り立つ． - $J \subset I$であるから，free-modより，線型写像$L_{J}^{I} \colon \mathbb{K}^{\oplus J} \to \mathbb{K}^{\oplus I}$であって$L_{J}^{I}\epsilon_{j}^{J} = \epsilon_{j}^{I}$なるものがただ一つ存在する．このとき$L_{J}^{I}$は単射であり，free-modより
$$ L_{v_{\bullet}|J} \textcolor{orange}{=} L_{v_{\bullet}} \circ L_{J}^{I} \colon \mathbb{K}^{\oplus J} \to V;\ \epsilon_{j}^{J} \mapsto v_{j}$$
が成り立つので，$L_{v_{\bullet}|J}$は単射である．
$V$を線型空間とし$(v_{i})_{i\in I} \in V^{I}$とする．このとき次は同値である：
- $(v_{i})_{i\in I}$は線型独立である；
- 任意の有限部分集合$J \subset I$に対して，$(v_{j})_{j \in J}$は線型独立である．
(ii)$\implies$(i) が成り立つことを示せばよい．そこで$x \in \Ker(L_{(v_{i})_{i \in I}})$とすると，有限部分集合$J := \supp{x} \subset I$について，仮定より
$$
0 = L_{(v_{i})_{i \in I}}x = \sum_{j \in J} v_{j} x_{j} = L_{(v_{j})_{j \in J}}(x|J)\ \leadsto\ x|J = 0$$
が成り立つので，$x = 0$を得る．
$(v_{i})_{i \in I} \in V^{I}$が線型独立ならば，
- 任意の$i \in I$に対して$v_{i} \neq 0$である（cf. nonzero）．
- 任意の$i,j \in I$に対して
$$ i \neq j \implies v_{i} \neq v_{j}$$
が成り立つ．
各$u \in \mathbb{R}\smallsetminus\{0\}=:\mathbb{R}^{\times}$に対して，free-modより，線型写像$u^{*} \colon \mathbb{R}^{\oplus \mathbb{N}} \to \mathbb{R}$であって$u^{*}\epsilon_{i} = u^{i}$なるものがただ一つ存在する．このとき$(u^{*})_{u\in\mathbb{R}^{\times}}$は線型独立である．実際，任意の有限部分集合$\{u_{1},\ldots,u_{n}\} \subset \mathbb{R}^{\times}$に対して，
$$
u_{1}^{*}x_{1} +\cdots+ u_{n}^{*}x_{n} = 0$$
とすると，$(\epsilon_{i})_{i\in[n-1]}$での値を取ることで
$$
\begin{bmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
u_{1} & \cdots & u_{n} \\
\vdots & & \vdots \\
\,u_{1}^{n-1} & \cdots & u_{n}^{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\ \vdots \\ \vdots \\ \,x_{n}\,
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\ 0\ \\ \vdots \\ \vdots \\ 0
\end{bmatrix}$$
となるが，
ヴァンデルモンドの行列式
より
$$
\det \begin{bmatrix}
1 & \cdots & 1 \\
u_{1} & \cdots & u_{n} \\
\vdots & & \vdots \\
\,u_{1}^{n-1} & \cdots & u_{n}^{n-1}
\end{bmatrix} = \prod_{i>j} (u_{i} - u_{j}) \neq 0$$
であるから，
$$
x_{1} = \cdots = x_{n} = 0$$
を得る．
$V$を線型空間とし$(v_{i})_{i\in I} \in V^{I}$を線型独立な族とする．このとき，任意の$v_{I} \in V$に対して，
$$
v_{I} \notin \Span((v_{i})_{i \in I}) \implies (v_{i})_{i \in I \cup \{I\}}:\text{lin. indep.}$$
が成り立つ．
- $v_{I} \notin \Span((v_{i})_{i \in I})$より$v_{I} \neq 0$である．
- 任意の有限部分集合$\{i_{1},\ldots,i_{n}\} \subset I$に対して，
$$ v_{i_{1}}x_{i_{1}} + \cdots + v_{i_{n}}x_{i_{n}} + v_{I}x_{I} = 0$$
とすると，$v_{I} \notin \Span((v_{i})_{i \in I})$より$x_{I} = 0$であるから，span-indep-dualより，
$$ v_{i_{1}}x_{i_{1}} + \cdots + v_{i_{n}}x_{i_{n}} = 0\ \leadsto\ x_{i_{1}} =\cdots= x_{i_{n}} = 0$$
が成り立つ．
よってlin-indep-subより，$(v_{i})_{i \in I \cup \{I\}}$は線型独立である．
基底の存在
$V$を線型空間とし$W_{1},W_{2} \subset V$をその部分空間とする．このとき
$$
W_{1}+W_{2} := \{v\in V \mid \exists\,w_{i} \in W_{i},\ v = w_{1}+w_{2}\}$$
は$V$の部分空間である．とくに
$$
V = W_{1}+W_{2},\ W_{1} \cap W_{2} = \{0\}$$
が成り立つとき，
$$
V = W_{1} \oplus W_{2}$$
と書き，$W_{3-i}$を$W_{i}$の補空間という．
$V$を線型空間，$W \subset V$を部分空間とし，$(v_{i})_{i \in I} \in V^{I}$とする．このとき
$$
V = W + \Span((v_{i})_{i \in I})$$
が成り立つならば，$J \subset I$であって
$$
(v_{j})_{j\in J}:\text{lin. indep.},\ V = W \oplus \Span((v_{j})_{j\in J})$$
を満たすものが存在する．
（包含関係による）順序集合
$$
\mathcal{I} := \{I' \subset I \mid (v_{i'})_{i'\in I'}:\text{lin. indep.},\ W \cap \Span((v_{i'})_{i'\in I'}) = \{0\}\}$$
を考える．
- $\varnothing \in \mathcal{I}$より$\mathcal{I} \neq \varnothing$である．
- $\mathcal{I}' \subset \mathcal{I}$を全順序部分集合とする．このとき
$$ I_{\infty} := \bigcup \mathcal{I}' \in \mathcal{I}$$
が成り立つことを示す．- 任意の有限部分集合$I_{0} \subset I_{\infty}$に対して，$\mathcal{I}'$の全順序性より，$I' \in \mathcal{I}'$であって$I_{0} \subset I'$なるものが存在するので，span-indep-dualより$(v_{i})_{i \in I_{0}}$は線型独立である．よってlin-indep-subより$(v_{i})_{i\in I_{\infty}}$は線型独立である．
- $$
w = L_{(v_{i})_{i \in I_{\infty}}}x\in W \cap \Span((v_{i})_{i \in I_{\infty}})$$
とする．このとき，有限集合$\supp{x} \subset I_{\infty}$に対して，$I' \in \mathcal{I}'$であって$\supp{x} \subset I'$なるものが存在するので，
$$ w = \sum_{i' \in\supp{x}} v_{i'}x_{i'} \in W \cap \Span((v_{i'})_{i' \in I'}) = \{0\}$$
より$w = 0$となる．
よってZornの補題より極大元$J \in \mathcal{I}$が存在する：
$$
(v_{j})_{j\in J}:\text{lin. indep.},\ W \cap \Span((v_{j})_{j \in J}) = \{0\}.$$
あとは
$$
V= W+\Span((v_{j})_{j \in J})$$
が成り立つことを示せばよい．
- 等号が成り立たないとすると，仮定とspan-clより，$\infty \in I$であって
$$ v_{\infty} \notin W + \Span((v_{j})_{j \in J})$$
なるものが存在する． - indep-spanより$(v_{j})_{j \in J \cup \{\infty\}}$は線型独立である．
- また，$v_{\infty}$の取り方より
$$ w = \sum_{j\in J} v_{j}x_{j} + v_{\infty}x_{\infty} \in W \cap \Span((v_{j})_{j \in J \cup \{\infty\}}) \implies x_{\infty} = 0\ \leadsto\ w \in W \cap \Span((v_{j})_{j \in J}) = \{0\}$$
となるので，$W \cap \Span((v_{j})_{j \in J \cup \{\infty\}}) = \{0\}$が成り立つ． - よって$J \subsetneq J \cup \{\infty\} \in \mathcal{I}$となるが，これは$J$の極大性に反する．
$I$が有限集合のときは
$$
m:= \max\{n \in \mathbb{N} \mid \exists\,I'\in\mathcal{I},\ \#I' = n\}\ (\,\leq \#I < \infty\,)$$
が定まるので，$J \in \mathcal{I}$であって$\#J = m$なるものを取ればよい．
任意の線型空間$V\ (\,\neq\{0\}\,)$は基底を持つ．
extractを$W := \{0\}, \id_{V} \in V^{V}$に適用すればよい．
$V$を線型空間，$W \subset V$をその部分空間とし，$\beta := (\beta_{i})_{i\in I} \in W^{I}$を$W$の基底とする（cf. base）．このとき，$V$の線型独立な族$\gamma:= (\gamma_{j})_{j \in J} \in V^{J}$であって，
$$
\beta\vee\!\gamma\, \colon I \sqcup J \to V;\ h \mapsto \begin{cases}
\beta_{h} & h \in I\\
\gamma_{h} & h \in J
\end{cases}$$
が$V$の基底となるようなものが存在する．
$W,\id_{V}\in V^{V}$に対してextractを適用することで，$J \subset V$であって
$$
\gamma:= \id_{V}|J \in V^{J}:\text{lin. indep.},\ V = W \oplus \Span(\gamma)$$
を満たすものが得られる．
- 明らかに
$$ V = \Span(\beta\vee\!\gamma)$$
が成り立つ． - $L_{\beta\vee\gamma}x = 0$とすると，
$$ L_{\beta}(x|I) = -L_{\gamma}(x|J) \in W \cap \Span(\gamma) = \{0\}$$
より，
$$ x|I = 0,\ x|J = 0\ \leadsto\ x = 0$$
が成り立つ．
線型空間$V$の任意の部分空間$W \subset V$に対して，その補空間が（同型を除いてただ一つ）存在する．
一意性のみ示せばよい．そこで$U \subset V$を$W$の補空間とする．
- $W$の基底$\beta$および$U$の基底$\gamma$を取ると$\beta\vee\!\gamma$は$V$の基底であるから，kitei-no-yukusakiより，全射線型写像$\pi_{U} \colon V \to U$であって
\begin{align} \pi_{U}\beta_{i} &= 0 \\ \pi_{U}\gamma_{j} &= \gamma_{j} \end{align}
を満たすものがただ一つ存在する． - 定義より$W = \Ker(\pi_{U})$が成り立つので，isom-thmより
$$ V/W \cong U$$
を得る．
$V$を線型空間とし$W \subset V$をその部分空間とする．
- 全射線型写像$\pi_{W} \colon V \to W$であって$\pi_{W}|W = \id_{W}$となるものが存在する．
- 任意の線型写像$f \colon W \to V'$に対して，線型写像$\tilde{f} \colon V \to V'$であって$\tilde{f}|W = f$を満たすものが存在する：
$$ \tilde{f} := f \circ \pi_{W} \colon V \to W \to V'.$$
線型空間の次元
線型空間$V$の次元$\dim V \in \mathbb{N}\cup\{\infty\}$を次のように定める：
- $V = \{0\}$のとき，$V$は$0$次元であるといい$\dim V := 0$と定める；
- $n \in \mathbb{N}_{>0}$とする．線型独立な族$\beta \in V^{n}$が存在し，任意の$(v_{i})_{i\in[n]} \in V^{[n]}$が線型従属であるとき，$V$は$n$次元であるといい$\dim V := n$と定める；
- 任意の$n \in \mathbb{N}$に対して，線型独立な族$(v_{i})_{i\in[n]} \in V^{[n]}$が存在するとき，$V$は無限次元であるといい$\dim V := \infty$と定める（cf. infin-dim）．
$\#I = \infty$ならば，$\dim\mathbb{K}^{\oplus I} = \infty$である（cf. can-base，lin-indep-sub）．
dualを見ると，同じ無限次元でも，$\mathbb{R}^{\oplus \mathbb{N}}$の“次元”よりも$\Hom(\mathbb{R}^{\oplus\mathbb{N}},\mathbb{R})$の“次元”の方がはるかに“大きい”ように思える．この印象は，無限次元線型空間の“次元”を適切に定義することで正当化される．詳しくは，たとえば以下を参照せられたい：
$V$を線型空間とする．
- $\dim V \in \mathbb{N}$であるとき，$V$は有限次元であるといい$\dim V < \infty$で表わす．
- 部分空間$W \subset V$について，商空間$V/W$の次元を$W$の余次元といい$\codim W$で表わす：
$$ \codim W := \dim(V/W).$$
また，$\codim W < \infty$なるとき（すなわち$W \subset V$の補空間が有限次元であるとき（cf. complement，iso-dim）），$W$は有限余次元であるという．
$V$を線型空間とし，$n \in \mathbb{N}_{>0}$とする．このとき次は同値である：
- $\dim V = n$;
- $V$は基底$\beta \in V^{n}$を持つ．
(i)$\implies$(ii)
仮定より，線型独立な族$\beta \in V^{n}$が存在する．このとき$V = \Span(\beta)$となることを示せばよい．そこで$v \in V$とすると，$\dim V = n$より$(v,\beta_{1},\ldots,\beta_{n}) \in V^{[n]}$は線型従属なので，$x \in \Ker(L_{(v,\beta_{1},\ldots,\beta_{n})}) \smallsetminus \{0\}$が取れる：
$$
0 = L_{(v,\beta_{1},\ldots,\beta_{n})}x = vx_{0} + \sum_{j=1}^{n} \beta_{j}x_{j}.$$
もし$x_{0} = 0$であるとすると，$\beta$の線型独立性より
$$
0 = \sum_{j=1}^{n} \beta_{j}x_{j}\ \leadsto\ x_{1} = \cdots = x_{n} = 0$$
となって不合理である．よって$x_{0} \neq 0$であり，
$$
v = \sum_{j=1}^{n} \beta_{j}(-x_{j}x_{0}^{-1}) \in \Span(\beta)$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
線型独立な族$(v_{i})_{i\in[n]} \in V^{[n]}$が存在したとする．
- 仮定より$v_{0} \in V \textcolor{orange}{=} \Span(\beta)$であるから，
$$ v_{0} = \beta_{1}x_{1} +\cdots+ \beta_{n}x_{n}$$
と書ける．いま$v_{0} \neq 0$であるから，必要なら番号を付け替えることで，$x_{1} \neq 0$としてよい．よって$\beta_{1} \in \Span((v_{0},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}))$となるので，span-clより
$$ \Span(\beta) = \Span((v_{0},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}))$$
となる． - $v_{1} \in \Span(\beta) = \Span((v_{0},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}))$より，
$$ v_{1} = v_{0}x_{0} + \beta_{2}x_{2} +\cdots+ \beta_{n}x_{n}$$
と書ける．$v_{1} \neq 0$であって$(v_{0},v_{1})$は線型独立なので（cf. span-indep-dual），$x_{2} \neq 0$としてよい．よって
$$ \Span(\beta) = \Span((v_{0},v_{1},\beta_{3},\ldots,\beta_{n}))$$
が成り立つ． - 以下同様にして
$$ v_{n} \in \Span(\beta) = \Span((v_{0},\ldots,v_{n-1}))$$
を得るが，これは$(v_{0},\ldots,v_{n-1},v_{n})$が線型独立であることに反する．
$\dim V = \dim W := n < \infty$のとき，dimより
$$
V \cong \mathbb{K}^{\oplus [n]_{>0}} \cong W$$
が成り立つ．
$\mathbb{R}$は$\mathbb{Q}$線型空間として無限次元である（cf. reference ）：
- 有限次元$\mathbb{Q}$線型空間は可算集合であるから，非可算集合$\mathbb{R}$は有限次元ではあり得ない．
- $n$番目の素数を$p_{n}$とおくと，$(\log p_{n})_{n\in\mathbb{N}_{>0}}$は線型独立な族を与える．
- $t \in \mathbb{R}$を超越数とすると，$(t^{n})_{n\in\mathbb{N}}$は線型独立な族を与える．
dim (ii)$\implies$(i) と同様の証明で次がわかる：
$V$を線型空間とし，$w_{\bullet} \in V^{m}, \beta \in V^{n}$とする．このとき，$w_{\bullet}$が線型独立であって$\{w_{1},\ldots,w_{m}\} \subset \Span(\beta)$が成り立つならば，$m \leq n$である．
$V$を線型空間とし$W \subset V$を部分空間とする．このとき，$\dim V < \infty$ならば，$\dim W < \infty$であって
- $\dim W \leq \dim V$;
- $\dim W = \dim V \iff W = V$;
が成り立つ．
$V, W \neq \{0\}$としてよい．
- indep-leq-spanより
$$ m := \max\{n \in \mathbb{N}_{>0} \mid \exists\,(w_{1},\ldots,w_{n}) \in W^{n}:\text{lin. indep.}\} \textcolor{orange}{\leq} \dim V$$
が定まる．したがって線型独立な族$\gamma \in W^{m}$が存在し，$m$の最大性より任意の$(w_{i})_{i\in[m]} \in W^{[m]}$は線型従属である．よって
$$ \dim W = m \leq \dim V < \infty$$
が成り立つ． -
- $\dim W = \dim V$のとき，$W$の基底は$V$の基底であり，したがって$W = V$が成り立つ（cf. dimの証明）．
- $W = V$のとき，明らかに$\dim W = \dim V$が成り立つ．
次元定理
$f \colon V \to W$を線型写像とする．線型空間$\Im(f)$が有限次元であるとき，$f$は有限階数であるという．また，その次元$\dim \Im(f) \in \mathbb{N}$を$f$の階数といい$\rank f$で表わす．
$\dim V < \infty$とする．このとき，任意の部分空間$W \subset V$は有限次元かつ有限余次元であり
$$
\dim V = \dim W + \codim W$$
が成り立つ．
- dim-subspより，$W$は有限次元である．
- complementの証明より，$V/W$は$W \subset V$の補空間に同型である．よってiso-dim，dim-subspより$W$は有限余次元である．
- base-ext（の証明）より
$$ \dim V = \dim W + \codim W$$
が成り立つ．
$W \subset V$の補空間（のひとつ）を$U$とおくと，$U \cong V/W$が成り立つのだった（cf. complement）．よって（$V$の次元にかかわらず）
$$
V = W \oplus U \cong W \oplus (V/W)$$
が成り立つ．
$f \colon V \to W$を線型写像とする．
- $\dim V < \infty$ならば，$f$は有限階数であり
$$ \rank f \leq \dim V = \dim\Ker(f) + \rank f$$
が成り立つ．さらに
$$ \rank f = \dim V \iff f:\text{injective}$$
が成り立つ．
$$ \xymatrix{ {}\ar@{=}[dd] \ar@{.>}[rrd] && {} \ar@{-}[d]\\ {} && {} \ar@{=}[dd]^{\Im(f)}\\ {} \ar@{-}[d]_{\Ker(f)} \ar@{.>}[rrd] && {} \\ {} \ar[rr]_{f} && {} }$$ - $\dim W < \infty$ならば，$f$は有限階数であり
$$ \rank f \leq \dim W = \rank f + \dim\Cok(f)$$
が成り立つ．さらに
$$ \rank f = \dim W \iff f:\text{surjective}$$
が成り立つ．
- isom-thmより$V/\Ker(f) \cong \Im(f)$であるから，iso-dim，codimより$f$は有限階数であって
\begin{align} \rank f &\leq \dim\Ker(f) + \rank f \\ &= \dim\Ker(f) + \dim\Im(f) \\ &= \dim\Ker(f) + \dim(V/\Ker(f)) \\ &= \dim\Ker(f) + \codim\Ker(f) \\ &= \dim V \end{align}
が成り立つ．さらにinj-kerより
$$ \rank f = \dim V \iff \Ker(f) = \{0\} \textcolor{orange}{\iff} f:\text{injective}$$
が成り立つ． - codimより，$\Im(f) \subset W$は有限（余）次元であり
\begin{align} \rank f &\leq \rank f + \dim\Cok(f) \\ &= \dim\Im(f) + \dim(W/\Im(f)) \\ &= \dim\Im(f) + \codim\Im(f) \\ &= \dim W \end{align}
が成り立つ．さらにdim-subspより
$$ \rank f = \dim W \textcolor{orange}{\iff} \Im(f) = W \iff f:\text{surjective}$$
が成り立つ．
$\Ker(f) \subset V$の補空間（のひとつ）を$U$とおくと
$$
U \cong V/\Ker(f) \cong \Im(f)$$
が成り立つのだった（cf. complement，isom-thm）．よって（$V$の次元にかかわらず）
$$
V = \Ker(f) \oplus U \cong \Ker(f) \oplus \Im(f)$$
が成り立つ．同様に（$W$の次元にかかわらず）
$$
W \cong \Im(f) \oplus \Cok(f)$$
が成り立つ．
- 線型写像$f \colon V \to W$について，$\Ker(f), \Cok(f)$がともに有限次元であるとき，その次元の差
$$ \ind f := \dim\Ker(f) - \dim\Cok(f) \in \mathbb{Z}$$
を$f$の（Fredholm）指数という． - $V,W$が有限次元であるとき，codimより，任意の$f \in \Hom(V,W)$に対してその指数が定まるが，fin-rankより
\begin{align} \ind f &= \dim\Ker(f) - \dim\Cok(f)\\ &= \dim\Ker(f) - (\dim W - \rank f) \\ &= (\dim\Ker(f) +\rank f) - \dim W\\ &= \dim V - \dim W \end{align}
となる．
$f \colon V \to W$を指数が定義できる線型写像とする．このとき，$\ind f = 0$ならば，次は同値である：
- $f$は全射である；
- （線型）写像$s \colon W \to V$であって$f \circ s = \id_{W}$なるものが存在する；
- $f$は単射である；
- （線型）写像$r \colon W \to V$であって$r \circ f = \id_{V}$なるものが存在する；
- $f$は全単射である（cf. iso-bij）．
明らかに，(v)$\implies$(ii)$\implies$(i)，および (v)$\implies$(iv)$\implies$(iii) が成り立つので，あとは(i)$\iff$(iii) が成り立つことを示せば十分である．ところで，仮定より
$$
\dim \Ker(f) = \dim \Cok(f)$$
であるから，surj-cok，inj-kerより
\begin{align}
f:\text{surjective}
&\iff \Cok(f) = \{0\} \\
&\iff \dim\Cok(f) = 0\\
&\iff \dim\Ker(f) = 0\\
&\iff \Ker(f) = \{0\} \\
&\iff f:\text{injective}
\end{align}
が成り立つ．
$V,W$が有限次元のとき，仮定より$\dim V = \dim W < \infty$であるから，fin-rankより，$f$は有限階数であって
\begin{align}
f:\text{surjective}
&\iff \rank f = \dim W \\
&\iff \rank f = \dim V\\
&\iff f:\text{injective}
\end{align}
が成り立つ．
