フーリエ変換で積分を解く。

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フーリエ変換で積分を解く

どうも、らららです。
前書いた記事で $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} d x = \frac{π}{e}$ をフーリエ変換を使って解きました。
その記事ではフーリエの反転公式を使いました。
今回は被積分関数の $2$ 乗した関数をフーリエ変換を使って解いていきます。

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos^{2} x}{(x^{2} + 1)^{2}} d x$

この積分フーリエ変換を使って解いていきます。
解くために必要なプランシュレルの定理がありますので証明しておきます。

プランシュレルの定理

$\int_{- \infty}^{\infty} {| f (x) |}^{2} d x = \int_{- \infty}^{\infty} {| \hat{f} (ξ) |}^{2} d ξ$

ここで $f$ は自乗可積分。

わたしは $f (x)$ のフーリエ変換は $\hat{f} (s)$ が好きなんですけどまあ $Tex$ でキレイに書けるので $ξ$ 使っていきます。
$ξ$ とか $ω$ が一般的だと思います。
最近 $ξ$ キレイに書けるようになった気がします。

証明していきます。

$\begin{aligned} \int_{- \infty}^{\infty} | f (x) |^{2} d x & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) f^{*} (x) d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) {(\int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{2 π i ξ x} d ξ)}^{*} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \int_{- \infty}^{\infty} {\hat{f}}^{*} (ξ) e^{- 2 π i ξ x} d ξ d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} {\hat{f}}^{*} (ξ) \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- 2 π i ξ x} d x d ξ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} {\hat{f}}^{*} (ξ) \hat{f} (ξ) d ξ \\ = \int_{- \infty}^{\infty} {| \hat{f} (ξ) |}^{2} d ξ \end{aligned}$

証明が書かれていたPDF

このプランシュレルの定理を使って積分を解いていきます。

$\frac{\cos x}{x^{2} + 1}$ をフーリエ変換します。

$\begin{aligned} F [\frac{\cos x}{x^{2} + 1}] (ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} e^{- 2 π i ξ x} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} \cos 2 π ξ x d x - i \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} \sin 2 π ξ x d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^{2} + 1} \cos 2 π ξ x d x \\ = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos ((2 π ξ + 1) x)}{x^{2} + 1} d x + \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos ((2 π ξ - 1) x)}{x^{2} + 1} \\ = \frac{π}{2} e^{- | 2 π ξ + 1 |} + \frac{π}{2} e^{- | 2 π ξ - 1 |} \\ = \frac{π}{2} (e^{- | 2 π ξ + 1 |} + e^{- | 2 π ξ - 1 |}) \end{aligned}$

前の記事で示した $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos a x}{x^{2} + 1} d x = π e^{- | a |}$ を用いた。

後に使う積分を解いていきます。
$\begin{aligned} I & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 | x + 1 |} d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 | x |} d x \\ = 2 \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x \\ = \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x \\ = Γ (1) \\ = 1 \end{aligned}$
同様に $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- 2 | x - 1 |} d x = 1$

$\begin{aligned} I & = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- | x + 1 | - | x - 1 |} d x \\ = \int_{- \infty}^{- 1} e^{- | x + 1 | - | x - 1 |} d x + \int_{- 1}^{1} e^{- | x + 1 | - | x - 1 |} d x + \int_{1}^{\infty} e^{- | x + 1 | - | x - 1 |} d x \\ = \int_{- \infty}^{- 1} e^{2 x} d x + \int_{- 1}^{1} e^{- 2} d x + \int_{1}^{\infty} e^{- 2 x} d x \\ = 2 \int_{1}^{\infty} e^{- 2 x} d x + \frac{2}{e^{2}} \\ = \frac{3}{e^{2}} \end{aligned}$

プランシュレルの定理より、
$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\cos^{2} x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \frac{π^{2}}{4} \int_{- \infty}^{\infty} {(e^{- | 2 π ξ + 1 |} + e^{- | 2 π ξ - 1 |})}^{2} d ξ$

$\begin{aligned} I & = \int_{- \infty}^{\infty} {(e^{- | 2 π ξ + 1 |} + e^{- | 2 π ξ - 1 |})}^{2} d x \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} {(e^{- | x + 1 |} + e^{- | x - 1 |})}^{2} d x \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} (e^{- 2 | x + 1 |} + 2 e^{- | x + 1 | - | x - 1 |} + e^{- 2 | x - 1 |}) d x \\ = \frac{1}{2 π} (1 + \frac{6}{e^{2}} + 1) \\ = \frac{1}{2 π} (2 + \frac{6}{e^{2}}) \\ = \frac{1}{π} (1 + \frac{1}{e^{2}}) \end{aligned}$