ランベルト級数をテータ関数を用いて表す

はじめに

　この記事では
$$1+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}=\t_3(q)^2$$
のような
$$(\text{ランベルト級数})=(\text{テータ関数}\ \t_2,\t_3,\t_4\ \text{についての多項式})$$
という形の等式をいっぱい求めていきます。
　ちなみに
$$(\t_2,\t_3,\t_4\ \text{についての単項式})=(\text{ランベルト級数})$$
という形の等式については この記事 にもまとめています。

概説

　やることとしては単純で、まず この記事 で紹介した
$$\farc{2K}\pi\dn u=1+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos2nv \qquad\l(u=\frac{2K}\pi v\r)$$
といった形の公式における$v^{2m}$の係数を比較することで次のような表示が求まります。

　そしてこれを
$$\frac{2K}\pi=\t_3(q)^2,\quad k=\frac{\t_2(q)^2}{\t_3(q)^2}$$
を用いて整理することで
$$(\t_2,\t_3,\t_4\ \text{についての多項式}) =4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n)^{2m}q^n}{1+q^{2n}}$$
といった表示が得られる、といった具合です。

$L,L^1,L^2,L^3$の定義

　そんなわけで以下では非負整数$d$に対し
\begin{align} L_{\pm,\pm'}(q)&=\sum^\infty_{n=1}(\pm1)^n\frac{n^dq^{2n}}{1\pm'q^{2n}}\\ L^1_{\pm,\pm'}(q)&=\sum^\infty_{n=1}(\pm1)^n\frac{(2n-1)^dq^{2n-1}}{1\pm'q^{2n-1}}\\ L^2_{\pm,\pm'}(q)&=\sum^\infty_{n=1}(\pm1)^n\frac{n^dq^n}{1\pm'q^{2n}}\\ L^3_{\pm,\pm'}(q)&=\sum^\infty_{n=1}(\pm1)^n\frac{(2n-1)^dq^{n-\frac12}}{1\pm'q^{2n-1}}\\ \end{align}
という$16$通りのランベルト級数のテータ関数による表示を求めていきます。
　一応 この記事 の公式集にまとめた公式を用いることでこれら全てを求めることはできますが、各種の楕円関数の展開係数をいちいち求めていくのはあまり効率的ではないので、そんな手間を減らすためまずはこれらのランベルト級数たちが満たす強い関係式、いわゆる保型性というものを紹介しておきましょう。

$L,L^1,L^2,L^3$の再定義

　そのためにはまず$L,L^1,L^2,L^3$たちを次のように再定義しておく必要があります。
　ただし$B_{2k},E_{2k}$はそれぞれベルヌーイ数とオイラー数、つまり
\begin{align} \frac x{e^x-1}&=1-\frac x2+\sum^\infty_{k=1}B_{2k}\frac{x^{2k}}{(2k)!}\\ \frac2{e^x+e^{-x}}&=\sum^\infty_{k=0}E_{2k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{align}
によって定まる有理数列とします。このとき
$$|B_{2k}|=(-1)^{k-1}B_{2k},\quad|E_{2k}|=(-1)^kE_{2k}$$
が成り立つことを覚えておくと役に立つかもしれません。

　ただし変則的に$d=0$の場合の$L^2_{\pm,+}$は定数項を追加して
\begin{align} L^2_{+,+}&=1+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\\ L^2_{-,+}&=1+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^n}{1+q^{2n}} \end{align}
と置く必要があったり、$d=1$の場合の
$$L_{+,-}=1+24\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^{2n}}{1-q^{2n}}$$
などは(適切な保型性を持っていないため)テータ関数を用いて表せなかったりします。
　また$d$が偶数のときの$L_{\pm,\pm}$や$d$が奇数のときの$L^1_{-,-},L^2_{+,+},L^3_{+,+}$などもテータ関数を用いて表せないものと思います。おそらくそれらのランベルト級数が適切な保型性を満たさないのだと思いますが、詳しくは調べていません。

ランベルト級数の保型性

　いま、よく知られているようにアイゼンシュタイン級数
$$E_{2k}(q)=1-\frac{4k}{B_{2k}}\sum^\infty_{n=1}\frac{n^{2k-1}q^{2n}}{1-q^{2n}}$$
について、$q=e^{\pi i\tau}$としてこれを$\tau$についての関数とみなしたとき
$$E_{2k}\l(-\frac1\tau\r)=\tau^{2k}E_{2k}(\tau),\quad E_{2k}(\tau+1)=E_{2k}(\tau)$$
という対称性が成り立つわけですが、実は$L,L^1,L^2,L^3$たちも似たような対称性を持っていることが確かめられます。

　この対応関係(と$\tau\mapsto\tau+1$における対応関係)を表にまとめると次のようになります。

　いまこの関係式とテータ関数の保型性
\begin{align} \t_2(\tau+1)&=e^{\frac{\pi i}4}\t_2(\tau)& \t_2\l(-\frac1\tau\r)&=\sqrt{-i\tau}\t_4(\tau)\\ \t_3(\tau+1)&=\t_4(\tau)& \t_3\l(-\frac1\tau\r)&=\sqrt{-i\tau}\t_3(\tau)\\ \t_4(\tau+1)&=\t_3(\tau)& \t_4\l(-\frac1\tau\r)&=\sqrt{-i\tau}\t_2(\tau)\\ \end{align}
とを組み合わせることで$d=2k-1$のときの
$$L_{+,-},\quad L^1_{+,-},\quad L^2_{+,-},\quad L^3_{+,-}$$
および$d=2k$のときの$L^2_{+,+}$が求まっていれば$\t_2,\t_3,\t_4$を適当に置換するだけでその他のランベルト級数を全て求めることができるわけです。

展開係数を求める

　ということで問題は上の$5$つのランベルト級数を求めることに帰着され、そしてそれらは冒頭で説明したように この記事 で得られた公式のうち
\begin{alignat}{3} \l(\frac{2K}\pi\r)^2\frac1{\sn^2u} &=\frac1{\sin^2v}&+A&-8\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^{2n}}{1-q^{2n}}\cos2nv\\ \frac{2K}\pi\frac1{\sn u} &=\frac1{\sin v}&&+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\sin(2n-1)v\\ \l(\frac{2kK}\pi\r)^2\sn^2u &=&A&-8\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^n}{1-q^{2n}}\cos2nv\\ \frac{2kK}\pi\sn u &=&&+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\sin(2n-1)v\\ \farc{2K}\pi\dn u &=&1&+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\cos2nv \end{alignat}
の両辺の展開係数を比較することで求めることができます。
　ただこれらの展開係数を手計算で求めるのは非常にダルいので Wolfram Alpha に

Series[1/sn(u,k^2)^2, {u, 0, 8}]

とでも打ち込んで計算を丸投げすることにしましょう。するとこんな感じの結果が得られます。

　これでもう求めるものは求まったのであとはここから得られる公式をまとめていくこととしましょう。

余談

　ちなみにこれらの展開係数を自力で求めたい場合は、次の微分方程式から漸化式を立てられることを覚えておくと良いかもしれません。

　余談の余談ですが、これらの微分方程式を導出するにはそれぞれの関数が
$$(y')^2=F(y)\qquad(F:\text{多項式})$$
という形の微分方程式を満たすことから、これをさらに微分することで
$$y''=\frac{F'(y)}2$$
を得る、とするのが見通しがいいと思います。

メモ

　上での議論によって得られる公式集を眺めていく前に、(主に個人的な計算用として)テータ関数の満たす関係式を簡単にまとめておきましょう。

　また
\begin{align} \t_2(q^\frac12)^2&=2\t_2\t_3\\ \t_3(q^\frac12)\t_4(q^\frac12)&=\t_4^2\\ \t_3(q^\frac12)^4+\t_4(q^\frac12)^4&=2(\t_2^4+\t_3^4) \end{align}
という半数公式が成り立つことや、ヤコビの恒等式
$$\t_3^4=\t_2^4+\t_4^4$$
から
\begin{align} 2\t_2^4\t_3^4&=\t_3^8+\t_2^8-\t_4^8\\ 2\t_3^4\t_4^4&=\t_3^8-\t_2^8+\t_4^8\\ 2\t_4^4\t_2^4&=\t_3^8-\t_2^8-\t_4^8\\ \end{align}
という変形ができることなどにも注意しましょう。

公式集：$d=2k-1$のとき

　以下の公式は
\begin{align} L_{+,-}(q^\frac12)&\to L_{+,-}\\ \to L_{+,+}(q^\frac12)&\to L_{+,+}\to L^1_{+,-}\to L^1_{+,+}\\ \to L_{-,-}(q^\frac12)&\to L_{-,-}\to L^2_{+,-}\to L^1_{-,-}\\ \to L_{-,+}(q^\frac12)&\to L_{-,+}\to L^4_{+,-}\to L^1_{-,+} \end{align}
の順番で並べています。

$k=1$

\begin{align} \t_2^4+\t_3^4&=1+24\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^n}{1+q^n}\\ \frac{\t_3^4+\t_4^4}2&=1+24\sum^\infty_{n=1}\frac{nq^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_3^4+\t_2^4&=1+24\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_4^4-\t_2^4&=1-24\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \\ \t_4^4&=1+8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{nq^n}{1+q^n}\\ \t_3^2\t_4^2&=1+8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{nq^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^2&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^2&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}} \end{align}

$k=2$

\begin{align} \t_4^8+16\t_2^4\t_3^4&=1+240\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^n}{1-q^n}\\ \frac{\t_3^8+\t_4^8+\t_2^8}2&=1+240\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \\ \t_4^8-14\t_2^4\t_3^4&=1-240\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^n}{1+q^n}\\ \t_3^4\t_4^4-\frac78\t_2^8&=1-240\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_4^8-\frac87\t_2^4\t_3^4 &=1-\frac{240}7\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^3q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^8+\frac87\t_2^4\t_4^4 &=1+\frac{240}7\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^3q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \\ \t_4^8&=1+16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^n}{1-q^n}\\ \t_3^4\t_4^4&=1+16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_3^4&=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^3q^n}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^4&=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{n^3q^n}{1-q^{2n}}\\ \\ \t_4^4(\t_2^4+\t_3^4)&=1-16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^n}{1+q^n}\\ \frac{\t_3^2\t_4^2(\t_3^4+\t_4^4)}2 &=1-16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^3q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^2(\t_3^4+\t_2^4) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^3q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^2(\t_4^4-\t_2^4) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^3q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}} \end{align}

$k=3$

\begin{align} (\t_2^4+\t_3^4)(\t_4^8-32\t_2^4\t_3^4) &=1-504\sum^\infty_{n=1}\frac{n^5q^n}{1-q^n}\\ \frac{(\t_2^4+\t_3^4)(\t_3^4+\t_4^4)(\t_4^4-\t_2^4)}2 &=1-504\sum^\infty_{n=1}\frac{n^5q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \\ (\t_2^4+\t_3^4)(\t_4^8+31\t_2^4\t_3^4) &=1+504\sum^\infty_{n=1}\frac{n^5q^n}{1+q^n}\\ \frac{\t_3^4+\t_4^4}2\l(\t_3^4\t_4^4+\frac{31}{16}\t_2^8\r) &=1+504\sum^\infty_{n=1}\frac{n^5q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ (\t_2^4+\t_3^4)\l(\t_4^8+\frac{16}{31}\t_2^4\t_3^4\r) &=1+\frac{504}{31}\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^5q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ (\t_2^4+\t_4^4)\l(\t_3^8-\frac{16}{31}\t_2^4\t_4^4\r) &=1-\frac{504}{31}\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^5q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \\ \t_4^8(\t_2^4+\t_3^4) &=1-8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^5q^n}{1-q^n}\\ \frac{\t_3^4\t_4^4(\t_3^4+\t_4^4)}2 &=1-8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^5q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_3^4(\t_2^4+\t_3^4) &=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^5q^n}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^4(\t_2^4-\t_4^4) &=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^5q^n}{1-q^{2n}}\\ \\ \frac{\t_4^4(\t_3^8+\t_4^8+\t_2^8)}2 &=1+8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^5q^n}{1+q^n}\\ \frac{\t_3^2\t_4^2(16\t_3^4\t_4^4+\t_2^8)}{16} &=1+8\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^5q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^2(16\t_2^4\t_3^4+\t_4^8) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^5q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^2(16\t_2^4\t_4^4-\t_3^8) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^5q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}} \end{align}

$k=4$

\begin{align} (\t_4^8+16\t_2^4\t_3^4)^2&=1+480\sum^\infty_{n=1}\frac{n^7q^n}{1-q^n}\\ \frac{(\t_3^8+\t_4^8+\t_2^8)^2}4&=1+480\sum^\infty_{n=1}\frac{n^7q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \\ \t_4^{16}-28\t_2^4\t_3^4\t_4^8-254\t_2^8\t_3^8 &=1-480\sum^\infty_{n=1}\frac{n^7q^n}{1+q^n}\\ \t_3^8\t_4^8-\frac74\t_2^8\t_3^4\t_4^4-\frac{127}{128}\t_2^{16} &=1-480\sum^\infty_{n=1}\frac{n^7q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_4^{16}+\frac{224}{127}\t_2^4\t_3^4\t_4^8-\frac{128}{127}\t_2^8\t_3^8 &=1-\frac{480}{127}\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^7q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^{16}-\frac{224}{127}\t_2^4\t_4^4\t_3^8-\frac{128}{127}\t_2^8\t_4^8 &=1+\frac{480}{127}\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^7q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \\ \t_4^8\l(\t_4^8+\frac{32}{17}\t_2^4\t_3^4\r) &=1+\frac{32}{17}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^7q^n}{1-q^n}\\ \t_3^4\t_4^4\l(\t_3^4\t_4^4+\frac2{17}\t_2^8\r) &=1+\frac{32}{17}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^7q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_3^4(2\t_4^8+17\t_2^4\t_3^4) &=32\sum^\infty_{n=1}\frac{n^7q^n}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^4(2\t_3^8-17\t_2^4\t_4^4) &=32\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{n^7q^n}{1-q^{2n}}\\ \\ \t_4^4(\t_2^4+\t_3^4)\l(\t_4^8+\frac2{17}\t_2^4\t_3^4\r) &=1-\frac{32}{17}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^7q^n}{1+q^n}\\ \frac{\t_3^2\t_4^2(\t_3^4+\t_4^4)}2\l(\t_3^4\t_4^4+\frac1{136}\t_2^8\r) &=1-\frac{32}{17}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^7q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^2(\t_2^4+\t_3^4)(\t_4^8+136\t_2^4\t_3^4) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^7q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^2(\t_2^4-\t_4^4)(\t_3^8-136\t_2^4\t_4^4) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^7q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ \end{align}

$k=5$

\begin{align} (\t_2^4+\t_3^4)(\t_4^8-32\t_2^4\t_3^4)(\t_4^8+16\t_2^4\t_3^4) &=1-264\sum^\infty_{n=1}\frac{n^9q^n}{1-q^n}\\ \frac{(\t_2^4+\t_3^4)(\t_3^4+\t_4^4)(\t_4^4-\t_2^4)(\t_3^8+\t_4^8+\t_2^8)}4 &=1-264\sum^\infty_{n=1}\frac{n^9q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \\ (\t_2^4+\t_3^4)(\t_4^{16}+17\t_2^4\t_3^4\t_4^8+511\t_2^8\t_3^8) &=1+264\sum^\infty_{n=1}\frac{n^9q^n}{1+q^n}\\ \frac{\t_3^4+\t_4^4}2 \l(\t_3^8\t_4^8+\frac{17}{16}\t_2^8\t_3^4\t_4^4+\frac{511}{256}\t_2^{16}\r) &=1+264\sum^\infty_{n=1}\frac{n^9q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ (\t_3^4+\t_2^4) \l(\t_4^{16}+\frac{272}{511}\t_2^4\t_3^4\t_4^8+\frac{256}{511}\t_2^8\t_3^8\r) &=1+\frac{264}{511}\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^9q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ (\t_4^4-\t_2^4) \l(\t_3^{16}-\frac{272}{511}\t_2^4\t_4^4\t_8^8+\frac{256}{511}\t_2^8\t_4^8\r) &=1-\frac{264}{511}\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^9q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \\ \t_4^8(\t_2^4+\t_3^4)\l(\t_4^8+\frac{16}{31}\t_2^4\t_3^4\r) &=1-\frac8{31}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^9q^n}{1-q^n}\\ \frac{\t_3^4\t_4^4(\t_3^4+\t_4^4)}2\l(\t_3^4\t_4^4+\frac1{31}\t_2^8\r) &=1-\frac8{31}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^9q^{2n}}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_3^4(\t_2^4+\t_3^4)(\t_4^8+31\t_2^4\t_3^4) &=16\sum^\infty_{n=1}\frac{n^9q^n}{1-q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^4(\t_2^4-\t_4^4)(\t_3^8-31\t_2^4\t_4^4) &=16\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^9q^n}{1-q^{2n}}\\ \\ \t_4^4\l(\t_4^{16}+\frac{77}{31}\t_2^4\t_3^4\t_4^8+\frac1{31}\t_2^8\t_3^8\r) &=1+\frac8{31}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^9q^n}{1+q^n}\\ \t_3^2\t_4^2\l(\t_3^8\t_4^8+\frac{77}{496}\t_2^8\t_3^4\t_4^4+\frac1{7936}\t_2^{16}\r) &=1+\frac8{31}\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{n^9q^{2n}}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^2(\t_4^{16}+1232\t_2^4\t_3^4\t_4^8+7936\t_2^8\t_4^8) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^9q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^2(\t_3^{16}-1232\t_2^4\t_4^4\t_3^8+7936\t_2^8\t_3^8) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^9q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \end{align}

公式集：$d=2k$のとき

$k=0$

\begin{align} \t_3^2&=1-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_4^2&=1+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_3^2&=1+4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_4^2&=1+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2 &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}} \end{align}

$k=1$

\begin{align} \t_3^2\t_4^4&=1+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^4\t_4^2&=1-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^2q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^4\t_3^2&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n)^2q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^2&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n)^2q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^4&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^2q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^4&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^2q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}} \end{align}

$k=2$

\begin{align} \t_3^2\t_4^4(\t_4^4+4\t_3^4) &=5-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^4q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^4\t_4^2(\t_3^4+4\t_4^4) &=5+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^4q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^4\t_3^2(\t_2^4+4\t_3^4)&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n)^4q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^2(\t_2^4-4\t_4^4)&=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n)^4q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^4(\t_3^4+4\t_2^4)&=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^4q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^4(\t_4^4-4\t_2^4) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^4q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}} \end{align}

$k=3$

\begin{align} \t_3^2\t_4^4(\t_4^8+44\t_3^4\t_4^4+16\t_3^8) &=61+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^6q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^4\t_4^2(\t_3^8+44\t_3^4\t_4^4+16\t_4^8) &=61-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^6q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^4\t_3^2(\t_2^8+44\t_2^4\t_3^4+16\t_3^8) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n)^6q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^2(\t_2^8-44\t_2^4\t_4^4+16\t_4^8) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n)^6q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^4(\t_3^8+44\t_2^4\t_3^4+16\t_2^8) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^6q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^4(\t_4^8-44\t_2^4\t_4^4+16\t_2^8) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^6q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}} \end{align}

$k=4$

\begin{align} \t_3^2\t_4^4(\t_4^{12}+408\t_4^8\t_3^4+912\t_4^4\t_3^8+64\t_3^{12}) &=1385-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^8q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^4\t_4^2(\t_3^{12}+408\t_3^8\t_4^4+912\t_3^4\t_4^8+64\t_4^{12}) &=1385+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^8q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^4\t_3^2(\t_2^{12}+408\t_2^8\t_3^4+912\t_2^4\t_3^8+64\t_3^{12}) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n)^8q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^2(\t_2^{12}-408\t_2^8\t_4^4+912\t_2^4\t_4^8-64\t_4^{12}) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n)^8q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^2\t_3^4(\t_3^{12}+408\t_3^8\t_2^4+912\t_3^4\t_2^8+64\t_2^{12}) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^8q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^2\t_4^4(\t_4^{12}-408\t_4^8\t_2^4+912\t_4^4\t_2^8-64\t_2^{12}) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^8q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \end{align}

$k=5$

\begin{align} \t_3^2\t_4^4 (\t_4^{16}+3688\t_4^{12}\t_3^4+30768\t_4^8\t_3^8+15808\t_4^4\t_3^{12}+256\t_3^{16}) &=50521+4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^{10}q^{2n-1}}{1-q^{2n-1}}\\ \t_3^4\t_4^2 (\t_3^{16}+3688\t_3^{12}\t_4^4+30768\t_3^8\t_4^8+15808\t_3^4\t_4^{12}+256\t_4^{16}) &=50521-4\sum^\infty_{n=1}(-1)^n\frac{(2n-1)^{10}q^{2n-1}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^4\t_3^2 (\t_2^{16}+3688\t_2^{12}\t_3^4+30768\t_2^8\t_3^8+15808\t_2^4\t_3^{12}+256\t_3^{16}) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n)^{10}q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^4\t_4^2 (\t_2^{16}-3688\t_2^{12}\t_4^4+30768\t_2^8\t_4^8-15808\t_2^4\t_4^{12}+256\t_4^{16}) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n)^{10}q^n}{1+q^{2n}}\\ \t_2^4\t_3^2 (\t_3^{16}+3688\t_3^{12}\t_2^4+30768\t_3^8\t_2^8+15808\t_3^4\t_2^{12}+256\t_2^{16}) &=4\sum^\infty_{n=1}\frac{(2n-1)^{10}q^{n-\frac12}}{1+q^{2n-1}}\\ \t_2^4\t_4^2 (\t_4^{16}-3688\t_4^{12}\t_2^4+30768\t_4^8\t_2^8-15808\t_4^4\t_2^{12}+256\t_2^{16}) &=4\sum^\infty_{n=1}(-1)^{n-1}\frac{(2n-1)^{10}q^{n-\frac12}}{1-q^{2n-1}}\\ \end{align}

おまけ

　ちなみにランベルト級数同士の関係は上で紹介した保型性だけでなく、初等的な変形により
$$L_{+,+}(q)=2L(q^2)-L(q)$$
のような倍数・半数を用いた関係式を無数に考えることができます。
　といってもそれらを構成するのに覚えるべき道具は
\begin{align} \sum^\infty_{n=1}f(n)&=\sum^\infty_{n=1}(f(2n)+f(2n-1))\\ \sum^\infty_{n=1}(-1)^nf(n)&=\sum^\infty_{n=1}(f(2n)-f(2n-1)) \end{align}
という級数変形と
\begin{align} \frac{q^{2n}}{1-q^{2n}}&=\frac12\l(\frac{q^n}{1-q^n}-\frac{q^n}{1+q^n}\r)\\ \frac{q^n}{1-q^{2n}}&=\frac12\l(\frac{q^n}{1-q^n}+\frac{q^n}{1+q^n}\r) \end{align}
という恒等式だけとなります(多分)。
　ただし実際に式変形を行うときにはこれらを上手く駆使する必要があり、例えば$d=2k-1$におけるランベルト級数を$L_{+,-}$を用いて表す、ということを考えると次のような式変形が考えられます。

　そしてこれによって次のような公式が得られます($L$や$L^1$の定数項は$1$であることに注意する)。

　また例えば$d=2k$におけるランベルト級数は$L^1_{-,-},L^2_{+,+}$を用いて次のように表せたりします。

　他にも色々な関係式が考えられると思うので、ランベルト級数をいい感じに変形したくなったときなどは上のような方法を試してみてはいかがでしょうか。

余談

　ちなみにこの記事を書き始めた当初は(ランベルト級数たちが満たしている保型性を知らなかったのもあって)$L_{+,-}$さえ求まっていれば上の公式とテータ関数の倍数・半数公式を用いることで、その他のランベルト級数を$\sn u$などの展開係数から求める手間を減らせて楽なのでは？と思っていました。
　ただ実際その方法を採用してみたところ$L_{+,+},L_{-,-},L_{-,+}$を求めるだけでも
$$\xymatrix{ L_{+,-}(q)\ar[d]&L_{+,+}(q)&L_{-,-}(q)\ar[dr]&L_{-,+}(q)\\ L_{+,-}(q^\frac12)\ar[r]\ar@/_20pt/[rr] &L_{+,+}(q^\frac12)\ar[u]&L_{-,-}(q^\frac12)\ar[u]&L_{-,+}(q^\frac12)\ar[u] }$$

という順番で計$7$つのランベルト級数を手計算で求める必要があったり、またその際$\t_2,\t_3,\t_4$が混在した式を整理するためヤコビの恒等式
$$\t_3^4=\t_2^4+\t_4^4$$
を用いて凄くめんどくさい計算を行わなければいけなかったりという問題が発生し、今考えると非常に無駄な苦労をすることになったので、くれぐれも皆さんはマネしないようにしましょう。